Решение уравнений с параметрами при особых условиях
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Решение уравнений 2 степени с параметрами при особых условиях.

Мудрецы, мужи науки

пробивают толщу знаний,

достигая вечной славы

постоянством и дерзаньем.

Р.Тагор

Экзамены в 11 классе являются одновременно выпускными для учащихся и вступительными для всех абитуриентов. Задания продвинутого уровня соответствуют уровню учащихся специализированных школ и классов с углубленным изучением математики. Однако, только выполнение таких заданий позволит абитуриенту набрать конкурентоспособные баллы в борьбе за бюджетные места в ВУЗах, поэтому подготовка к экзамену в форме ЕГЭ становится актуальной проблемой, для школьников обычных образовательных школ.

В настоящее время на экзаменах по математике всё чаще применяются задания с параметрами, которые вызывают большие затруднения при их решении.

Существует несколько вариантов условий параметрических заданий: исследование уравнений, решение уравнений, определение количества решений, нахождение положительных корней и т.д. Всё многообразие уравнений и систем уравнений приводится квадратным уравнениям (реже к линейным), корни которых находятся на ограниченном множестве переменной величины.

Решение можно вести двумя путями:

1. Решение в «лоб», т. е. подставляем корни уравнения на множество ограничения.
2. Применение косвенных приёмов: применение теоремы Виета, теорем о расположении корней квадратного уравнения, графических методов.

Второй путь более универсален и проще. На основе теорем о расположении корней квадратного уравнения созданы условия для нахождения значений параметра при одном решении и т. д. на множестве х больше или равном L. Эти условия - основа большинства задач, поэтому этим теоремам следует уделить особое внимание.

Квадратные уравнения при особых условиях.

Квадратные уравнения имеют вид: ax2+bx+c=0, где a, b, c - числа, a не равно 0, x - переменная. Для их решения следует использовать свойства корней квадратного уравнения.

1. Если D больше 0, a больше 0, то существуют два действительных корня знаки которых при положительном с противоположны со знаком b, а при отрицательном с разные, причём, по абсолютной величине больше тот из корней, знак которого противоположен знаку b.
2. Если D=0, но a положительное, то уравнение имеет действительные и равные между собой корни, знак которых противоположен знаку коэффициента.
3. Если D меньше 0, a меньше 0, то действительных корней нет.

Аналогичные свойства можно установить для корней уравнения, если a меньше 0.

Справедливы следующие утверждения:

1. Если в квадратном уравнении поменять местами a и c, то получим уравнение, корни которого обратны данным.

2.Если в квадратном уравнении поменять знак второго коэффициента, то получится уравнение, корни которого противоположны корням данного уравнения.

3.Если коэффициенты а и с разных знаков, то оно имеет действительные корни.

4. Если a больше 0 и D =0, то левая часть полный квадрат. Верно и обратное.

5. Если все коэффициенты рациональны и D - точный квадрат, то корни уравнения рациональны.

Решение квадратных уравнений с параметром при особых условиях.

Уравнение F(х)=0 назовём уравнением с параметром а, если нужно решить уравнение относительно x, а под а понимаем любое действительное число.

Особыми значениями параметра назовём такие значения, в которых происходят качественные изменения решения уравнения.

ПРИМЕР. 3a(а-3)х=а-3

1. а=0, тогда 0(-3)х=-3, 0=-3 (ложь)

2. а=3, тогда 9 .0 .х=0, 0=0 (истина)

3. а кроме 0 и 3, тогда х=1/3а.

Рассмотрим F(х)=0.

F(х)=f(а)х2+q(а)х+h(а).   (*)

Формулировки многих заданий помимо решений уравнений (*), cтавят задачи поиска значений параметров, для которых его общее решение удовлетворяет одному из условий:

1. корни уравнений одного знака или разных знаков;
2. корни принадлежат промежутку или лежат вне его;
3. корни располагаются определённым образом относительно корней другого уравнения.

В формулировках таких заданий присутствует действительное число, требуется найти значение параметра а, обеспечивающее для корней x1 и х2 одно из требований:

L лежит между корнями уравнения;

L меньше меньшего из корней;

L больше большего из корней.

Расположение корней многочлена F(a,x) относительно L.

1. D>0 и

f(a)F(L)<0

1. D>0 и

f(a)F(L)>0

хв>L

3. D>0

                        F(a)F(L)>0

хв

ПРИМЕР. В уравнении (а-1)x2-2(а-1)х+а-3=0. Найти все а, для которых оба корня принадлежат промежутку (-1;5).

Ответ: а > 2,375.

ПРИМЕР. Сколько корней меньше 1 имеет уравнение

(1+а)x2-3ах+4а=0 в зависимости от a?

Ответ: 1 корень, если a=0, а принадлежит (-1;-0,5);

2 корня, если a принадлежит (-0,5;0).