Авторская программа на тему «Элементы теории множеств»
методическая разработка (алгебра, 9 класс) по теме

МОУ Стародрожжановская средняя  школа №2

Дрожжановского муниципального района Республики Татарстан

                                                                 Утверждена   31 августа 2008 года.

«Элементы теории множеств»:

курс  по выбору для учащихся 9 классов

(Авторская программа)

                                                              Ханзярова Гельфира Харисовна-

                                            учитель математики

                                                               первой квалификационной категории

                                                   2008 год

                       Пояснительная записка

Во всякой школе есть ребята, которые хотят поступить в технические вузы, и поэтому готовы заниматься математикой значительно больше остальных учащихся. Таким ребятам тесны рамки обычной программы для общеобразовательных школ. Поэтому основной задачей обучения математике в школе является обеспечить прочное и сознательное овладение учащихся системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения сложных дисциплин и продолжения образования. А программа, составленная мною, предусматривает формирования у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой. Интерес и склонность учащихся к математике всемирно подкрепляется, чтобы по окончании IX класса он смог сделать сознательный выбор в пользу дальнейшего углубленного, либо обычного изучения математики.

    В научно-популярной математической литературе большое внимание уделено свойствам бесконечных множеств. Знакомство с понятием эквивалентности множеств, мощности множества и т.д. рекомендуется и программой факультативной занятий по математике в школе. У теории множеств есть, однако, более элементарная часть, в которой различие между конечными и бесконечными множествами не выступает явно. Это в первую очередь «алгебра множеств», в которой изучаются свойства операций над множествами. Как мы увидим, она ближе к проблематике школьной алгебры.

     В настоящей работе вводятся основные определения, терминология и символика теории множеств и на хорошо известном школьном материале показано применения этих понятий. Язык теории множеств позволяет взглянуть с общих позиций на такие важные разделы школьного курса математики, как решить уравнений, неравенств и др., и способствует устранению устойчивых логических ошибок, встречающихся часто при изучении этих тем в средней школе.

    Материал, изложенный в данной программе, рассчитан на 8 часов. Рекомендуемое распределение материала по урокам носит примерный характер. Может быть внесены коррективы в ход урока. Каждое занятие, а также все они в целом направлены на то, чтобы развить интерес школьников к предмету, познакомить их с новыми идеями и методами, расширить представление об изучаемом в основном курсе материале, а главное, порешить интересные задачи.

   Понятия «множество» и «подмножество» употребляются не только в курсах алгебры и геометрии, а также при изучении других предметов, например, физики, химии, биологии, истории и др. Но ни в одном из них не дается определения этих понятий, не даются свойства множеств, операции над ними. В каждой из дисциплин понятие «множество» употребляется как термин при изучении отдельных тем данного предмета. Например, в курсе биологии учащиеся сталкиваются с таким понятием как «множество млекопитающих»; в курсе истории – с понятием «этническое множество» и т.д. У учащихся нет четкого представления о понятии «множество».

    Предлагаемый  курс дает учащимся необходимую базу для дальнейшего использования его составляющих при изучении, как математики, так и других предметов. Учащиеся осознанно и умело смогут употреблять понятия «множество», «подмножество» и др., использовать их свойства, совершать операции над ними для решения задач любых изучаемых школьных курсов.

    Материал для занятий подобран таким образом, чтобы можно было проиллюстрировать применение математики на практике, показать связь математики с другими областями знаний, познакомить с некоторыми историческими сведениями, подчеркнуть эстетические аспекты изучаемых вопросов.

Как показывает опыт, эти вопросы интересны и доступны учащимся IXкласса и требует знаний только базового курса. Уровень сложности предлагаемых вопросов таков, что к их рассмотрению можно вовлечь значительное число школьников, а не только наиболее сильных. Для кого-то из школьников, которые пока не проявляют заметной склонности к математике, эти занятия могут стать толчком в развитии интереса к предмету и вызвать желание узнать больше.

Хотя при изучении курса по выбору не ставится цель, выработки каких либо специальных умений и навыков, при достаточно полном рассмотрении вопросов курса, несомненно, появится прогресс в подготовке учащихся.  

Заметим, что проверка усвоения материала предполагается в форме зачета, но соответственные оценки не должны включаться на контрольные работы и выноситься на экзамены.  

Цели курса по выбору:

– на популярном уровне познакомить учащихся с теоретико-множественной идеей в математике;

–  познакомить учащихся с приложением элементов теории множеств при решении уравнений и неравенств, построении графиков уравнений и неравенств;

– помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшего обучения.

- формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики.

- развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, а также последующего обучения в высшей школе.

Задачи курса по выбору:

- ввести в математическую практику учащихся такие понятия, как множество, элемент множества, пустое множество, подмножество, конечные и бесконечные множества;

- научить учащихся выполнять основные действия с множествами; находить пересечение, объединение, дополнение и разность множеств;

- научить учащихся применять элементы теории множеств при решении уравнений и неравенств, построении графиков уравнений и неравенств;

- оказание обучающимся квалифицированной помощи в расширении, углублении, систематизации и обобщении их знаний по данному предмету.

- развитие у учащихся интуиции, формально-логического мышления, навыков использования математических методов для изучения смежных дисциплин.

- формирование в процессе обучения познавательной активности, умения приобретать и творчески распоряжаться полученными знаниями, потребностей к продолжению образования и самообразованию.

     Данный курс рассчитан на 8 часов. На каждом уроке предполагается изложение теории с большим количеством примеров, решение типовых задач, самостоятельная работа. Основные формы организации уроков: лекция с применением информационно – коммуникационных технологий, практическая и самостоятельная работы, творческие задания. В курсе заложена возможность дифференцированного обучения, как путем использования задач различного уровня сложности, так и на основе различной степени самостоятельности освоения нового материала.

Программа курса способствует развитию познавательных интересов, мышления школьников, предоставляет возможность подготовиться к сознательному выбору профиля обучения и дальнейшей специализации.

 В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

- грамотно формулировать и обосновывать теоретические положения теории;

- применять изученные алгоритмы для решения соответствующих задач;

- применять теоретико-множественные подходы при решении уравнений и неравенств, построении графиков уравнений и неравенств.

Учебный тематический план курса по выбору

           «Элементы теории множеств»

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ПО ОКОНЧАНИИ ИЗУЧЕНИЯ

 КУРСА  ВЫБОРУ   «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ»

В итоге изучения курса учащиеся должны:

-  знать определения основных понятий курса;

-  знать свойства множеств и уметь их применять при решении задач;

-  знать основные операции над множествами и уметь их применять при решении задач;

-  уметь дать характеристику множества;

-  уметь применять составляющие курса при решении задач алгебры и геометрии.

Рецензия

на авторскую программу курса по выбору по теме:

«Элементы теории множеств»

      Возраст детей, предусмотренный в программе для обучения 13-15 лет.

 Реализуемая программа по математике состоит из пояснительной записки, цели курса по выбору, задачи курса по выбору, учебного тематического плана курса, содержательной части курса по выбору.

  Анализ содержания программы позволяет, констатировать её соответствие программам по математике, рекомендованным МО РФ. Программа предполагает некоторое расширение  и углубление содержания обучения, что позволяет учителю разнообразить задачный материал.

Данный курс способствует интеллектуальному и творческому развитию, формированию логического  и теоретического мышления. Положительная особенность программы является то, что её реализация является хорошей основой для дальнейшего углубления изучения математики в 10-11 классах, а так же приобретенные знания способствуют сдаче итоговой аттестации на более высоком уровне. Основные темы и задачи, заявленные в программе, направлены на прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений. Таким образом, программа удовлетворяет всем основным требованиям к программе.

Программа рекомендуется к использованию в школе.

 Рецензент: _______ /Абязова Зоя Васильевна/

Руководитель районного методического объединения учителей математики Дрожжановского муниципального района РТ, учитель высшей квалификационной категории.

                                              31.08. 2008год.

               Содержательная часть курса по выбору

                            Занятие №1.

Тема: Множество, элемент множества. Характеристическое свойство множеств.

Понятие “Множество ” является одним из  основных понятий математики. Это понятие в явном виде не определяется, хотя на интуитивном уровне его можно описать, задать. Над множествами можно  выполнять многие операции, которые будут рассмотрены при изучении этой темы.

Под множеством можно понимать - неупорядоченную совокупность элементов, набор объектов.

Примерами множеств может служить:

Множество людей.  Группа детей одного класса – элементами служат учащиеся именно данного класса. Множество берез в лесу.

2.  Совокупность всех классов некоторой школы – элементами являются именно группы детей, образующих каждый их этих классов.

3. N- Множество натуральных чисел.  Натуральные числа – числа от 1 до бесконечности.

4.Z- множество целых чисел, Q -множество рациональных чисел, R - множество действительных чисел 

5. Множество треугольников – любой треугольник является элементом этого класса.

6.  Знаки препинания, буквы алфавита, цифры для записи чисел

7.  D= {2, 4, 6, 8, 10, 12…} – множество четных чисел

8.  V= {3, 6, 9, 12…} – множество чисел кратных трем

9.  M={Иванов, Петров, Сидоров…} – множество спортсменов

10.  Множество делителей числа 24.

11.Множество письменных принадлежностей

Если множество задано, каждый элемент (объект) его уникален, т. е. отличим от других; причем для любого объекта существует возможность установить, принадлежит ли он множеству или нет.

Множества обозначаются заглавными буквами, как правило,  латинского алфавита. При этом элементы множества принято заключать в фигурные скобки.

Принадлежность  элемента а множеству А обозначается символом €, например, а € А , не принадлежность символом.

Например: Х={1,2,3,4,5,6}.

3€Х –  число 3 принадлежит множеству Х. 9X  - число 9 не принадлежит множеству Х.

Совокупность {1,2,3,4,5,6} является множеством, последовательность (порядок) записи элементов не имеет значения, поэтому оно неотличимо от множества {1, 3, 5, 2, 4, 6}

Совокупность {1,2,3,1,3,3,5} множеством не является, здесь некоторые элементы записаны не единичным образом.

Множество считается заданным, если относительно любого объекта можно установить, является ли он элементом данного множества или нет. Рассмотрим способы, которыми может быть задано множество. Если множество состоит из конечного числа элементов, то оно может быть задано: а) перечислением; б) указанием отличительных свойств, которые выделяют элементы множества.

Может случиться, что ни один элемент не обладает отличительным свойством, определяющим А. Например, не существует ни одного натурального числа меньше ½. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается Ø. Говорят, множество А натуральных чисел меньше ½, есть пустое множество; пишут А= Ø.

Если все элементы А являются и элементами множества В, то множество А называется подмножеством множества В или, говорят, что множество А содержится в множестве В и записывают так: АВ или ВА. Например, множество всех натуральных чисел N есть подмножество всех целых чисел Z: NZ.

 Из определения следует, что само множество также является своим подмножеством, т.е. АА.

Полагают также, что пустое множество является подмножеством любого множества А: ØА для любого А. В самом деле, так  как пустое множество не содержит ни одного элемента, то в нем нет и элементов, которые бы принадлежали множеству А.

Если А В и В А, то множества А и В называют равными и обозначают А=В. Например, множество А всех корней уравнения х2 – 2х +1 = 0 и множество В всех натуральных чисел, меньших чем 3/2, равны: и множество А, и множество В содержит один элемент- натуральное число 1.

Итак, свойство, с помощью которого задано множество, называется характеристическим свойством. Этим свойством должны обладать все элементы данного множества. А именно, все элементы заданного множества обладают характеристическим свойством и если некоторый из элементов не принадлежат этому множеству, то он не  обладают заданным свойством.

Это условие является и основой методов проверки равенства двух множеств. Необходимость в проверке равенства множеств может возникнуть тогда, когда множество описано   через различные свойства, и необходимо убедиться, что этим свойствам соответствует одно и то же множество. В общем случае задача проверки равенства множеств является достаточно сложной задачей, требующей больших вычислительных затрат.

 Упражнения для самоподготовки.

1. Приведите примеры на множества, которые состоят из двух, трех элементов, одного элемента, пустого множества.

                     Занятие №2.

Тема:  Числовые множества. Множество точек на прямой, задаваемые алгебраическими уравнениями и неравенствами с одной переменной.

При решении задач очень часто приходится иметь дело с множествами, элементами которых являются числа. Такие множества называют числовыми, все они являются подмножествами основного множества действительных чисел R. Множество натуральных чисел N, множество целых чисел Z, множество корней уравнения х2 – 5х +6 = 0 – все это числовые множества.

Пусть а и b – действительные числа, а

Задачи для самостоятельного решения:

1.Каково множество решений каждого из уравнений:

Х2 -1 = 0               х2 -2х + 1 =0;                  х2 + х +1 =0;  IxI +x =0

Дайте в каждом случае геометрическую иллюстрацию.

                        Занятие №3

Тема: Операции над множествами.  Алгебра множеств

Часто в курсе алгебры мы сталкиваемся с такой ситуацией, когда решение некоторого алгебраического уравнения или неравенства сводилось к решению других более простых уравнений или неравенств.

Например, пусть требуется решить уравнение (х2 –х)(х2 – 3х +2) =0. Чтобы произведение было равно нулю, необходимо и достаточно, чтобы обращался в нуль хотя бы один из множителей. Имеем, 1) х2 –х =0  ИЛИ 2)х2 -3х +2 =0. Связка ИЛИ здесь употреблена в неразделительном смысле, т.е. не исключается одновременное обращение в нуль обоих множителей.

Над множествами можно выполнять действия (операции), напоминающие сложение и умножение чисел. Но не тождественные им.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество, обозначаемое через АÈВ, содержащее те и только  те элементы, которые принадлежат множеству А или В.

Краткая запись: АÈВ = {x | xΠA или х ΠВ}.

Соответствующая диаграмма Эйлера – Венна:

АÈВ- заштрихованная область

Пример: А = {2, 5, 7, 9}, В = {3, 5, 8, 9, 12}.

АÈВ = {2, 5, 7, 9}È{3, 5, 8, 9, 12}= {2, 5, 7, 9, 3, 8, 12}.

Соответствующая диаграмма:

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только из тех элементов, которые принадлежат множеству А и множеству В.

Краткая запись: АÇВ = {x | xΠA и хΠВ}.

Соответствующая диаграмма Эйлера- Венна:

АÇВ – заштрихованная область

Пример:  АÇВ= {2, 5, 7, 9}Ç{3, 5, 8, 9, 12}= {5,9}.

Диаграмма:

 Алгебра множеств. Свойства операций объединения и пересечения множеств.

Можно заметить, что объединение и пересечение множеств обладают свойствами, аналогичными свойствам суммы и произведения чисел( рассматриваются все свойства)

                   Упражнения для самопроверки:

1. Выполнить операции объединения и пересечения над множествами

a) А = {-1;0} B= {0;1}    b) A={-1; 2; 3; 4}, B = {0;4}

2. Найти объединение и пересечение множества всех рациональных чисел и множества   иррациональных чисел.

                           Занятие №4.

Тема: Разность двух множеств.

В теории множеств рассматривается также и разность двух множеств.

Разностью множеств А и В называется множество, обозначаемое через А\В и состоящее из тех и только из тех элементов, которые принадлежат А и не принадлежат В.

Краткая запись: А\В = {x| xΠA и xÏ B}.

Соответствующая диаграмма Эйлера- Венна:

А\В- заштрихованная область

Пример: А\В = {2, 5, 7, 9}\{3, 5, 8, 9, 12}= {2, 7}.

Диаграмма:

Если АÇВ = Æ, то А\В= А и В\А = В.

А

В

Если А В, то А\В = Æ.                                                  

                               Примеры для самопроверки:  

Проиллюстрировать на кругах Эйлера:

1. Разностью множества четных чисел вида 2к и множества чисел 3к является множество четных чисел, не делящихся на 3 , т.е. чисел вида 6к ± 2.
2. Разностью множества четных чисел и множества нечетных чисел является множество четных чисел.
3. Разностью множества четных чисел и множества целых чисел является пустое множество.

                                Занятие №5

Тема: Дополнение множества. Универсальное множество.

Часто рассматриваются множества, элементами которых являются только некоторые действительные числа, т.е. по существу подмножества всех действительных чисел. Тогда имеет смысл ввести новое понятие – дополнение Ā к данному множеству А. Элементами его являются все действительные числа, не принадлежащие множеству А. Так, например, дополнением к множеству положительных чисел является множество всех неположительных чисел, состоящее из нуля и всех отрицательных чисел. Дополнением к отрезку [0;1] служит объединение двух открытых лучей (-∞; 0) и (0; +∞ ).

Для любых двух подмножеств А и В основного множества Е справедливы равенства, которые называются законам Моргана.

                             1.АВ = Ā В  2. АВ = Ā В,

Таким образом, определение дополнения существенно зависит от того, до чего мы данное множество дополняем. Это множество всех элементов, рассматриваемых в данном вопросе, называют универсальным, мы обозначим его буквой U.  Именно относительно него и берутся дополнения, без его указания понятие дополнения остается неопределенным.

Из приведенных определений вытекает, что объединение множества и его дополнения есть универсальное множество ( АĀ = U), а пересечение множества и его дополнения пусто (АĀ = Ø)

Если U – универсальное множество и А U, то разность U\A называется дополнением множества А до множества U и обозначается .

Краткая запись: Ā= {x| xÎU и xÏ A}.

Соответствующая диаграмма Эйлера- Венна:

Очевидно, что для любого подмножества, можно указать его дополнение до данного множества.

Рассмотрим множество двузначных чисел:

А={10;11;12;…98;99}

В={10;20;30;40;50;50:70;80;90} – двузначные числа, оканчивающиеся нулем, являются подмножеством множества двузначных чисел.

C- {11; 12…} – двузначные числа, не оканчивающиеся нулем, которые и будут являться дополнением подмножества В до множества А

Если некоторое множество D дополняется до некоторого другого множества R, то такое множество R называется универсальным множеством.  Предполагается, что дополнение происходит до некоторого универсального множества, определяемого предметной областью задачи. Универсальное множество часто  обозначается символом U. Любое множество является подмножеством универсального множества. Например:

1. Для множества натуральных чисел универсальным множество можно считать множество действительных чисел.

2.  Для множества детей человеческого общества, универсальным множеством является множество всех людей.

3. Для множества учащихся 9 класса, универсальным множеством является множество школьников района.

Задача по теме:

Доказать законы де Моргана с помощью кругов Эйлера.

                            Занятие №6.

Тема: Конечные множества.

Множество называется конечным, если оно содержит конечное число элементов. Пусть А – некоторое конечное множество. Обозначим m(A) количество элементов в множестве А. Если А={xR|x2 -1 = 0}, то m(A) =2. Число элементов пустого множества рано нулю: m(Ø)=0.

Если конечное множество Ф представлено в виде объединения непересекающихся множеств А1, А2, ….Аi, то А1А2….Аi и А1Аi = Ø, то

m(A) = m(A1)+m(A2) +….+ m(Ai)

      Проиллюстрируем теперь применение операций над множест вами для решения задач о нахождении числа элементов мно жеств, заданных несколькими условиями. Ниже мы будем рас сматривать только конечные множества.

Пример:  В классе 30 учащихся, 16 из них занимаются му зыкой, 17 увлекаются теннисом, а 10 занимаются и музыкой, и теннисом. Есть ли в классе ученики, равнодушные и к музыке, и к теннису, и если есть, то сколько их?

Решение: Если сложить число учащихся, интересующихся музыкой, с числом учащихся, занимающихся теннисом, т. е. 16+17=33, то учащиеся, интересующиеся и музыкой, и тенни сом, окажутся учтенными дважды. Поэтому, чтобы определить число учащихся, интересующихся музыкой или теннисом, нужно из суммы 16+17 вычесть число учащихся, учтенных дважды, т. е. тех, кто интересуется и музыкой, и теннисом. По условию их 10. Таким образом, число интересующихся теннисом или музы кой равно: 16+17—10=23 ученика. А так как в классе всего 30 учащихся, то 30—23 ==7 учащихся равнодушны и к музыке, и к теннису.

Задача решена по следующему алгоритму: пусть имеется два конечных множества А и В. Тогда:

m(АÈВ) = m(А) + m(В )- m(АÇВ) (1)

В нашем случае А — множество учащихся, интересующихся му зыкой, и m(A) = 16, В—множество учащихся, интересующихся теннисом, и m(B) = 17, m(AÇB) =10, и тогда по полученной формуле  m(AUВ)=16+17-10=23.

Усложним задачу: пусть к тем, кто интересуется в классе му зыкой — множеству А, и к тем, кто увлекается теннисом — мно жеству В, добавляются еще и те, кто интересуется театром— множество С. Сколько учеников увлекается или музыкой, или теннисом, или театром, т. е. чему равно число m{AÈBÈC)?

Если множества А, В и С пересекаются лишь попарно, т. е. АÇВÇС=Æ, то подсчет можно вести, как и прежде: снача ла сложить m(А)+m(В)+m(С), а затем вычесть число тех эле ментов, которые подсчитаны дважды, т. е. вычесть число m{AÇB}+m(AÇC)+m(BÇC). Если же множество АÇВÇС¹Æ,, то его элементы оказались неучтенными: сначала их трижды учли, когда складывали m(А}+m (В)+m(С), а затем трижды отнимали их, вычитая m{AÇB}+m(AÇC)+m(BÇC). Таким об разом, число                                                           m(А)+m(В)+m(С )- (m{AÇB}+m(AÇC)+m(BÇC))

меньше истинного результата ровно на число элементов в пере сечении множеств АÇВÇС, которое и следует добавить для по лучения верного результата:

m(А)+m(В)+m(С )- (m{AÇB}+m(AÇC)+m(BÇC))+m(АÇВÇС) (2)

     Аналогичная формула может быть получена для любого числа множеств.

В формулах (1) и (2) подсчитывается, сколько раз каждый элемент включается и исключается, поэтому их называют фор мулами включений и исключений.

Рассмотрим несколько примеров применения полученных формул.

Пример1: На вступительном экзамене по математике были предложены три задачи: по алгебре, планиметрии и стереометрии. Из 1000 абитуриентов задачу по алгебре решили 800, по планиметрии — 700, а по стереометрии — 600 абитуриентов. При этом задачи по алгебре и планиметрии решили 600 абитуриен тов, по алгебре и стереометрии — 500, по планиметрии и стерео метрии — 400. Все три задачи решили 300 абитуриентов. Суще ствуют ли абитуриенты, не решившие ни одной задачи, и если да, то сколько их?

Решение. Пусть U — множество всех абитуриентов, А —. множество абитуриентов, решивших задачу по алгебре, В — множество абитуриентов, решивших задачу по планиметрии, С — множество абитуриентов, решивших задачу по стереометрии. По условию n(U) =1000, n(A) = 800, n(В)=700, n(С)=600, n(AÇB)= 600, n(AÇC) = 500, n(BÇC) = 400, n(AÇBÇC) =300. В множество AÇBÇC  включены все абитуриенты, решившие хо тя бы одну задачу. По формуле (2) имеем:

m(А U В U С) == 800 + 700 + 600 - 600 - 500 - 400 + 300 =900.

Отсюда следует, что не все поступающие решили хотя бы одну задачу. Ни одной задачи не решили

m(U) - m(AUBUC)=1000 - 900==100 (абитуриентов).

Пример2: Социологи опросили 45 учащихся девятых клас сов, среди которых 25 юношей. При этом выяснилось: 30 человек имеют за полугодие оценки 4 и 5, из них 16 юношей, спортом занимаются 28 учеников, среди них 18 юношей, и 17 учеников, успевающих только на хорошо и отлично, 15 юношей учатся на хорошо и отлично и занимаются спортом.    Первый математик класса взглянул на результаты и заявил, что там есть ошибки. Как это ему удалось выяснить?

Решение: Обозначим через А множество юношей, В — множество успевающих на 4 и 5, С — множество спортсменов. По условию задачи m(A)=25,m(В)=30, m(С)=28, m(AÇB)=16, m(AÇC)=18, m(BÇC)=17, m(AÇBÇC)=15. Найдем общее чис ло учащихся, которые или являются юношами, или занимаются спортом, или успевают на 4 и 5. По формуле (2) получаем:

m (A UBUC)=25+30+28- 16- 18- 17+15=47. Этого быть не может, так как обследовалось всего 45 учеников! Следовательно, в данных сведениях есть ошибки.

На рисунке  это решение проиллюстрировано с помощью диаграммы Эйлера — Венна. В пересечении множеств А, В и С за пишем число 15, так как по условию m(AÇBÇC)=15. В мно жестве AÇB\С запишем число 16—15=1, в множестве BÇC\А - число 18-15=3, в множестве BÇC\А—число 17-15=2, в множестве A\(BÈC)— число 25-(1+15+3)=6, в множестве В\(А ÈC) — число 30-(1 + 15+2)= 12, в множест ве С\(АÈВ)— число 28-(3+15+2)=8. Чтобы найти m(АÈВÈС), достаточно сложить записанные числа, поскольку они соответствуют множествам, не пересекающимся между со бой. Получим число 47 > 45, что невозможно по условию задания

                            Задачи для самостоятельного решения:

1. В классе 30 учеников. Известно, что 18 ребят имеют спртивный разряд по лыжам, а 16 –по плаванию. Десять учеников не имеют разряда ни по плаванию, ни по лыжам. Сколько ребят имеют спортивный разряд по плаванию, и по лыжам?

2. В группе туристов, посетивших нашу страну, 30 женщин, 25 человек из Польши, 15 мужчин из Канады, 43 человека из Европы. Треть женщин группы из Польши, а две женщины из Канады. Сколько туристов в этой группе, если каждый попал, хотя бы в одну из упомянутых групп?

                                  Занятие №7

Тема: Эквивалентность множеств. Счетные и несчетные множества.

Основная  характеристика множества есть его количество  его элементов или  его  мощность.

Количество элементов в некотором множестве называется его численностью. Запись вида m(D)=12 обозначает, что число элементов в этом множестве D равно12.

Множества, имеющие одинаковую мощность, называются равномощными или эквивалентными множествами

Множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Множество называется счетным, если оно равномощно множеству натуральных чисел.  В противном случае множество называется несчетным.

Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным множеством, а множество, содержащее бесконечное число элементов – бесконечным множеством.

Множества называется  конечным, если  элементы их можно пересчитать.

Множество называется бесконечным, если  число их элементов нельзя пересчитать или нельзя, по крайней мере, указать правило, которое позволяет теоретически установить число их элементов.

Проблема установления конечности или бесконечности множества, на первый взгляд кажется очевидной, но с точки теории множеств  очень сложная.

Рассмотрим несколько примеров.

Число песчинок в стакане очень большое, но, тем не менее, их можно пересчитать, значит, их конечное число.

Множество N – натуральные числа бесконечно. В этом можно легко убедиться, если понять, что к любому, пусть даже самому большому натуральному числу всегда можно прибавить,  по крайней мере, число 1.

Бесконечными являются и другие основные числовые множества:

Q -рациональные числа    Z – целые числа R – действительные числа

Правомочен вопрос о сравнении числа элементов в этих множествах. А, именно, какое из основных числовых множеств “более бесконечное”, чем другие. Ответы на такие вопросы представляют чисто теоретический аспект и далеко выходят за рамки данного предмета разговора.

Рассмотрим способ сравнения множеств, который будет применим как к конечным, так и к бесконечным множествам. Допустим, к вам пришли гости, и вы должны накрыть стол. Для этого совсем не обязательно сначала пересчитать гостей, а потом отсчитать нужное количество тарелок и приборов. Можно просто рассадить гостей и перед каждым поставить тарелку и положить прибор. Такое попарное сочетание элементов разных множеств называется взаимно однозначным соответствием.

Теорема о количестве подмножеств конечного множества.

Рассмотрим множество А = {1, 2, 3 }, где |A| = 3, и множество В = {5, 6, 7, 8}, где |B| = 4.

Составим всевозможные подмножества множества А:

А, Æ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.

Всего получили 8 подмножеств.

Составим всевозможные подмножества множества В:

В, Æ, {5}, {6}, {7}, {8}, {5,6}, {5,7}, {5,8}, {6,7}, {6,8}, {7,8}, {5,6,7}, {5,7,8}, {6,7,8}, {5,6,8}.

Получили 16 подмножеств.

Используя результаты рассмотренных примеров, можно предположить справедливость следующего равенства: n = 2m, где n – количество подмножеств данного конечного множества, m – мощность множества.

Справедливость предположения подтверждает теорема, которую мы примем без доказательства.

Теорема: Если для конечного множества А его мощность равна m, то количество всех подмножеств данного множества, обозначаемое Р(А), равно 2m.

Пример: Вычислить количество подмножеств множества М – делителей числа 20.

Составим множество М и найдем его мощность:

М = {1,2,4,5,10,20}. Мощность |M| = 6, тогда количество подмножеств равно Р(М) = 26 = 64.

Задачи для самостоятельного решения

1.Покажите, что множество рациональных чисел счетно.

2. Покажите, что множество чисел, кратных 4 счетно.

3.Покажите, что множество нечетных положительных чисел и множество положительных чисел, дающих при делении на 8 остаток 2, равномощны.

4. Покажите, что множества (1,4) и (-2,1) равномощны

                          Занятие №8

    Зачетное занятие

                   Контрольные вопросы:

Объясните понятие множества. Приведите примеры множеств. Как обозначаются множества и их элементы?

Какие существуют способы задания множеств?

С помощью характеристического свойства задайте конечное, бесконечное несчетное, бесконечное счетное и пустое множества.

Как обозначается принадлежность элемента множеству и не принадлежность?

Какие существуют отношения между двумя множествами?

Перечислите операции над множествами с приведением соответствующих диаграмм Эйлера – Венна.

Перечислите тождества алгебры множеств.

Сформулируйте теорему о количестве подмножеств конечного множества.

Запишите формулы количества элементов в объединении двух и трех множеств.

                              Задачи

1.Задайте множества перечислением их элементов:

A={x €R$ (x4-1)(x4-9)=0}

B={x € Q$ (x3+1)(x4-4)=0}

Найдите АВ, А\В

2.Пусть А,В,С,Д – подмножества основного множества Е.

Найдите выражение для Д через А,В,С, если известно, что:

а) хД, и х принадлежит В, но не принадлежит А и С.

б) хД, и х принадлежит по крайней мере одному из множеств А,В,С.

в)хД, и х принадлежит ровно одному из множеств А,В,С.

г) хД, и х принадлежит ровно двум из множеств А,В,С.

3. Из 26 учеников класса 16 человек сдали норматив по лыжам, а 12 человек – по плаванию. Сколько учеников сдали оба норматива, если 4 ученика не смогли сдать ни одного.

4. Покажите, что множество рациональных чисел счетно.

Покажите, что множество чисел, кратных 4, счетно.

Покажите, что множество нечетных положительных чисел и множество положительных чисел, дающих при делении на 8 остаток 2 равномощны.

Покажите, что множества (1,3) и [4,8] равномощны.

                               Предлагаемая литература:

1. Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики. Создатель: Калужин Л. Издательство: Просвещение. 1978 год.

2. Дополнительные главы по курсу математики. Составитель: Стратилатов П.В. Москва. Просвещение. 1974 год.

3. Математическая логика. Автор: Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Издательство: КомКнига. 2006 год.

4. Беседы о математике. Создатель: Болтянский В.Г., Савин А.П.. Издательство: МЦНМО. 2002 год.

Программу составила:

УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ                             Ханзярова Гельфира Харисовна

МОУ СТАРОДРОЖЖАНОВСКАЯ СОШ № 2