Принцип Дирихле
методическая разработка по алгебре (7 класс) по теме

Слайд 1

Слайд 2

Петер Густав Лежен Дирихле (13.2.1805 - 5.5.1859) - немецкий математик, иностранный член-корреспондент Петербургской Академии наук (1837), член многих других академий .

Слайд 3

Наиболее часто принцип Дирихле формулируется в одной из следующих форм: Если в n клетках сидят n + 1 "кроликов", то есть клетка, в которой не менее 2-х "кроликов"

Слайд 4

Алгоритм применения принципа Дирихле Определить что в задаче является "клетками", а что — "кроликами" Применить соответствующую формулировку принципа Дирихле ?

Слайд 5

У1. "Если в n клетках сидят не более n-1 "кроликов", то есть пустая клетка" У2. "Если в n клетках сидят n + 1 "кроликов", то есть клетка, в которой не менее 2-х "кроликов" " У3. "Если в n клетках сидят не более nk-1 "кроликов", то в какой-то из клеток сидят не более k-1 "кроликов " У4. "Если в n клетках сидят не менее n*k+1 "кроликов", то в какой-то из клеток сидят не менее k+1 "кроликов""

Слайд 6

У5. "Непрерывный принцип Дирихле. "Если среднее арифметическое нескольких чисел больше a, то, хотя бы одно из этих чисел больше a"; У6. "Если сумма n чисел меньше S, то по крайней мере одно из этих чисел меньше S/n". У7. "Среди p + 1 целых чисел найдутся два числа, дающие при делении на p один и тот же остаток".

Слайд 7

В коробке лежат шарики 4-х разных цветов (много белых, много черных, много синих, много красных). Какое наименьшее количество шариков надо наощупь вынуть из мешка, чтобы среди них заведомо оказались два одного цвета?

Слайд 8

Решение «Кролики» - шары. «Клетки» - черный, белый, синий, красный цвета. «Клеток» 4. Если «кроликов», хотя бы 5, то какие-то два попадут в одну клетку (будет 2 одноцветных шарика).

Слайд 9

Задача . В хвойном лесу растут 800000 елей. На каждой ели - не более 500000 иголок. Доказать, что существуют хотя бы две ели с одинаковым числом иголок.

Слайд 10

«Клетки» – иголки – 0, 1, 2, …, 500000. «Кролики» - ёлки – 800000. «Кроликов» больше, чем «клеток» , значит, есть "клетка", в которой сидит не менее двух "кроликов". Следовательно, существуют хотя бы две ели с одинаковым числом иголок. У2

Слайд 11

Задача .Количество волос на голове у человека не более 140 000. Доказать, что среди 150 000 человек найдутся 2 с одинаковым числом волос на голове.

Слайд 12

Решение. «Клетки» – число волос - 140 000 (у каждого человека может быть от 0 до 140 000 ). «Кролики» – количество людей – 150000. «Кроликов " больше, чем «клеток», значит, есть "клетка", в которой сидит не менее двух "кроликов". Следовательно, существуют хотя бы два человека с одинаковым числом волос

Слайд 13

В классе 35 человек. Можно ли утверждать, что среди них найдутся хотя бы два ученика, фамилии которых начинаются с одной буквы?

Слайд 14

Решение: «Кролики» – ученики -35. «Клетки» – буквы – 33. Фамилии не могут начинаться на «Ь» и «Ъ». «Кроликов» больше, чем «клеток», следовательно найдётся 2 ученика, у которых фамилии начинаются на одну букву. Решение:

Слайд 15

Верно ли, что из любых трёх целых чисел можно выбрать два, сумма которых чётна? Решение: Числа бывают чётные и нечётные, а всего чисел – 3, то , применяя принцип Дирихле, как минимум 2 из них будут оба чётные или нечётные. В первом и во втором случаях сумма чисел будет чётной. Значит, верно.

Слайд 16

В классе 37 учеников. Докажите, что среди них найдутся 4 ученика, отмечающие день рождения в одном месяце. Решение. 1 способ: «Кролики» – ученики – 37. «Клетки» - месяцы – 12. Так как 37 ≥ 12*3+1, то найдётся 3+1 ученика, родившихся в одном месяце.У4. 2 способ: если в каждый месяц родилось не более 3 учеников, то всего их будет не больше 36, что противоречит условию.

Слайд 17

Дано 9 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать 2, разность которых делиться на 8. Решение: «Клетки» – остатки от деления на 8 – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. «Кролики» – 9 целых чисел. Так как 9 ≥ 8, то 2 целых числа будут иметь одинаковый остаток при делении на 8, поэтому их разность будет делиться на 8.

Слайд 18

Геометрическая задача Внутри равнобедренной трапеции со стороной 2 расположено 4 точки. Доказать, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 1. Решение . Разобьем трапецию со стороной 2 на три треугольника со стороной 1. Назовем их "клетками", а точки – "кроликами". По принципу Дирихле из четырех точек хотя бы две окажутся в одном из трех треугольников. Расстояние между этими точками меньше 1, поскольку точки не лежат в вершинах треугольников

Слайд 19

желаю успехов!