Конспект урока с использованием исследовательской технологии
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

КОНСПЕКТ  УРОКА  МАТЕМАТИКИ  С  ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ  

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ

1.  Предмет:                   алгебра и начала анализа

2.  Класс:                        10

3.  Тема урока:              Применение производной для исследования функций

4.  Базовый учебник:  А.Г. Мордкович, П.В. Семенов «Алгебра и начала анализа. Профильный уровень»

5.  Цель урока:  сформировать умения применять методы дифференциального исчисления для нахождения промежутков возрастания, убывания и экстремумов функции; узнать, как связан график функции с графиком ее производной.

6.  Задачи:

образовательные: научить учащихся применять производную к исследованию функций; ввести признаки возрастания и убывания функции, точек экстремума функции;

развивающие: развивать творческую сторону мышления и навыков аналитической работы; способствовать развитию вкуса к исследованиям и поискам закономерностей, умению осуществлять наблюдения, формулировать гипотезы;

воспитательные: воспитывать индивидуальную ответственность за достижение результата.

7.  Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

8.  Формы работы учащихся: коллективная, индивидуальная.

9.  Оборудование урока:

      На каждой парте:

листы с рисунками графиков для самостоятельной работы в двух вариантах;

бланки для самостоятельной работы.

10.  Планируемый результат урока:

Знать: признак возрастания и убывания функции на интервале, признаки максимума и минимума функции.

Уметь: по графику производной и изображению знаков производной функции находить промежутки возрастания и убывания, точки экстремума функции.

Ход урока

Организационный момент

Фронтальная работа

– Математика изучает математические модели. Одной из главнейших математических моделей является функция.

– Какие способы задания функции вы знаете?

– табличный способ;

– графический способ;

– аналитический способ.

          – А какой способ является самым наглядным?

– графический.

          – Как можно построить график функции?

– по точкам.

         – Но этот способ подойдет, если мы знаем, как примерно выглядит график данной функции. Например, что является графиком линейной функции, квадратичной, прямой и обратной пропорциональностей, функции у = sin x, y = tg x? (На интерактивной доске демонстрируются графики функций).

         – А    как     быть,    если    необходимо     построить    график    функции

? Мы сможем найти лишь несколько точек, но не узнаем, как будет выглядеть график функции между этими точками.

Вызвать к доске троих учащихся и попросить их отметить на доске две точки и показать, как может выглядеть график между ними.

у                                          у                                            у

        а                  b                x                а                   b                 x                 а                   b                    

Выяснить поведение функции нам поможет ее производная.

III.      Актуализация опорных знаний учащихся.

– Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но прежде всего: для определения скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга И.Ньютон и Г.Лейбниц разработали аппарат, которым мы пользуемся и в настоящее время. Ньютон опирался в основном на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной, а Лейбниц использовал понятие бесконечной малой. Исчисление, созданное Лейбницем и Ньютоном, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд теоретической механики, физики, астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XVII века. С помощью тех же методов математики XVII-XVIII вв. изучали различные кривые, научились находить кривизну линий.

– Сегодня вы в процессе выполнения самостоятельной работы получите новую информацию о производной. Для начала давайте поговорим о том, что понадобится при ее выполнении.

– В чем заключается геометрический смысл производной?                

   – Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.        

– По графику, изображенному на доске, назовите:

нули функции;

промежутки возрастания функции;

промежутки убывания функции;

точки экстремума функции;

промежутки, на которых функция принимает положительные, отрицательные значения.  

IV.     Самостоятельная работа.

Рассмотрите график функции  f(x) = 2х4 – 9х2 + 7:

     Найдите производную функции и заполните таблицу:

Пользуясь полученной таблицей, схематически изобразите график функции

      y = f ´(x).

Исследуйте связь между графиками функций y = f(x) и y = f ´(x):

Рассмотрите интервалы, на которых функция  y = f(x) возрастает или убывает и поведение графика функции y = f ´(x) на этих интервалах. Сделайте вывод.

Заполните пропуски:

Если f ´(x) > 0 в каждой точке некоторого интервала, то функция y = f(x) _______________________________ на этом интервале.

Если f ´(x) < 0 в каждой точке некоторого интервала, то функция y = f(x) _______________________________ на этом интервале.

Рассмотрите точку максимума функции и соответствующие им точки на графике производной. Какие значения принимает производная: левее точки максимума, правее, в самой точке максимума?

Рассмотрите точку минимума функции и соответствующие им точки на графике производной. Какие значения принимает производная: левее точки максимума, правее, в самой точке максимума?

Как можно объединить эти выводы? Запишите:

Если х0 – точка экстремума функции y = f(x), то производная в этой точке _____

Если функция y = f(x) непрерывна в точке х0 и производная в этой точке меняет ______________________, то х0 – точка максимума.

Если функция y = f(x) непрерывна в точке х0 и производная в этой точке меняет ______________________, то х0 – точка минимума.

V.      Первичное закрепление

          1.  По графику производной  найдите промежутки возрастания и убывания функции,

               точки экстремума (а – фронтальная работа, б – индивидуальная):

               а)     б)  

Используя рисунок, найдите промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума (а – фронтальная работа, б – индивидуальная):

                                           а)  

                                           б)       

VI.     Итог урока

          Выводы по уроку. Проверить, достигнута ли цель. Все ли удалось?

VII.    Задание на дом

           Повторить теоретический материал по теме.