Элективный курс "Рациональные уравнения и неравенства"
элективный курс по алгебре (9 класс) по теме

Программа элективного курса

для учащихся 9-х классов

основной школы

«Рациональные уравнения

и неравенства»

                                                                  Выполнила : Шмелева О.Н.,учитель математики

                                                                                                   Лицея №35 ОАО «РЖД» г.Ржева                                                                                            

Ржев

2008

Актуальность проблемы

Концепция модернизации российского образования на период  до 2010 года предусматривает создание «системы специализированной подготовки (профильного обучении) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения  и  социализацию учащихся, в том числе с учётом реальных потребностей рынка труда, отработки гибкой системы профилей». Широкий переход на профильное обучение в старших классах общеобразовательных учреждений Российской Федерации начался с 2006-2007 учебного года, а с 2005-2006 учебного года введена предпрофильная подготовка в 9-х классах.

Одной из важнейших задач введения элективных курсов является развитие личности ребёнка, распознавание и раскрытие его способностей. Если в результате занятий элективным курсом, ученик выбирает путь продолжения образования, связанный с математикой, - ориентационная цель достигнута. Но если выпускник математического класса осознанно не выбирает «математическое будущее», то цель также достигнута. Недостигнутой она может считаться лишь в том случае, если ученик так и не понял, нравиться ему математика или нет.

В качестве приоритетных задач предпрофильной подготовки обозначены:  

-  выявление интересов и склонностей, способностей учащихся, формирование практического опыта в различных сферах познавательной и профессиональной деятельности, ориентированного на выбор профиля обучения в старшей школе;

-  развитие широкого спектра познавательных и профессиональных    интересов, ключевых компетенций, обеспечивающих успешность в будущей профессиональной деятельности;

- формирование способности принимать адекватное решение о выборе дальнейшего направления образования.

 Выявление личностного потенциала ученика невозможно без его деятельного участия в тренировочных и проверочных работах. Одним из видов такого рода деятельности может быть изучение элективных курсов, дополняющих и углубляющих базовые учебные предметы. Хотя более глубокие знания были бы полезны каждому ученику для успешной сдачи экзаменов за курс основной и средней школы, для успешного обучения в профильных классах, для участия в математических олимпиадах. Элективные курсы призваны помочь девятиклассникам сориентироваться в выборе профиля, помочь им восполнить пробелы предыдущей подготовки,  предоставить каждому ученику проявить себя и добиться успеха.

      Цели:

  - создание программы элективного курса и УМК для ее реализации в предпрофильной подготовке учащихся;

   - обеспечение реализации программы предпрофильной подготовки в 9-х классах;

      Задачи:

 -  изучение концепции профильного обучения;

 -  знакомство со структурой и принципами построения программы ЭК;

 -  выбор темы курса, доступной для понимания учащимися 9-х классов и значимой для их дальнейшего математического образования;

  -   создание условий для развития личности ученика, распознавания и раскрытия его способностей;

  - обеспечение формирования и развития интеллектуальных и организационных способностей и навыков учащихся.

Планируемые результаты:

 - программа элективного курса, готовая к реализации;

 - создание учебно-методических материалов для полноценной успешной работы курса.

Инструментарий:

-  опорный конспект;

-  система заданий для решения на занятиях и дома;

- итоговый зачет;

- сертификат слушателя курса.

 Программа

элективного курса для предпрофильной

подготовки учащихся 9-х классов

основной школы

«Рациональные уравнения

и неравенства»

Пояснительная записка

Одной из важнейших задач введения элективных курсов является развитие у учащихся интереса собственно к математике. Содержание элективного курса должно соответствовать, с одной стороны, познавательным возможностям девятиклассников. С другой стороны, развивать их творческие способности, предоставляя ученикам возможность работать на уровне повышенных требований к предмету, помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения этим курсом, чтобы по окончании 9-го класса учащиеся могли сделать сознательный выбор в пользу дальнейшего углубления или обычного изучения математики.

Решение уравнений и неравенств – одна из важных тем школьного курса математики. Тема «Рациональные уравнения и неравенства» впервые изучается в 8-ом классе, а тема «Дробно-рациональные неравенства» - в 9-ом. Целью изучения этих тем является формирование умения решать простейшие целые, дробно- рациональные уравнения и неравенства и применять их к решению задач.

Однако, более глубокого и содержательного изучения этой темы школьный курс математики не предусматривает, вопросы, связанные с решением дробно-рациональных уравнений и неравенств в действующих учебниках недостаточно освещены и проработаны. В то же время, дробно-рациональные уравнения и неравенства в дальнейшем широко используются при решении логарифмических, показательных, иррациональных уравнений и неравенств, часто встречаются в задачах повышенной трудности, в заданиях математических олимпиад, в вариантах выпускных и вступительных экзаменационных работ в вузы.

Предложенный курс создаст целостное представление о теме «Уравнения и неравенства», расширит спектр задач, посильных для учащихся. Запланированный программой данного курса объем знаний необходим для овладения учащимися методами решения дробно-рациональных уравнений и неравенств, для формирования у учащихся умений и навыков, необходимых для решения более широкого спектра задач и тем самым будет способствовать созданию условий для успешного обучения в профильных классах, достижению лучших результатов обучения по выбранному профилю, способствовать качественной подготовке к конкурсным экзаменам в вузы, устранению расхождений между уровнем знаний выпускников школы и требованиями, которые предъявляются на вступительных экзаменах в ВУЗы.

    Цели курса:

создание целостного представления о теме «Рациональные уравнения и неравенства»;

 расширение методов решения рациональных уравнений и неравенств, необходимых для успешного усвоения профильной  программы 10-11 классов;

создание условий для осознанного выбора профиля обучения.

Задачи:

обобщение, систематизация и углубление знаний по теме «Рациональные уравнения и неравенства»;

развитие интереса к обучению;

развитие интеллектуальных и творческих способностей учащихся;

предоставление возможностей учащимся  определиться в уровне изучения предмета.

Формы и методы работы.

Формы и методы работы, используемые при изучения курса направлены на повышения интереса к изучению предмета, на получение учениками такой практики, которая поможет им лучше овладеть умениями и навыками, позволяющими  успешно осваивать программу старшей профильной школы. Для реализации поставленных задач нужно использовать наиболее эффективные методы и формы обучения, которые активизируют и стимулируют работу учащихся:

учет индивидуальных особенностей и потребностей учащихся;

обучение через опыт и сотрудничество;

 использование интерактивных форм обучения (работа в парах, малых   группах);

усиление развивающей функции задач.

Ведущее место в обучении отводится методам поискового и исследовательского характера, развивающим творческий потенциал и интуицию учащихся. В курсе заложена возможность дифференцированного обучения. При решении задач необходимо рассматривать несколько способов решения уравнений и неравенств (если возможно), что позволяет усилить развивающую функцию задач и дифференцировать работу. 

Используемые педагогические технологии:

Технология проблемного обучения (такая организация занятий, которая предполагает создание под руководством учителя проблемных ситуаций и активную самостоятельную деятельность учащихся по их разрешению, в результате чего происходит творческое овладение знаниями и развитие мыслительных способностей).

Технология коллективного способа обучения (такая организация занятий, при которой происходит общение учащихся в мини-группах по 2-3 человека, когда каждый учит каждого).

Технология индивидуального обучения (такая организация занятий, при которой происходит как взаимодействие учителя с каждым учащимся, так и взаимодействие каждого учащегося с источниками информации).

Технология развивающего обучения с направленностью на развитие творческих качеств личности (такая организация занятий, при которой каждая личность воспринимается непризнанным гением).

Технология поэтапного формирования умственных действий (такая организация занятий, при которой познание нового происходит за несколько этапов).

Технология уровневой дифференциации (такая организация занятий, при которой происходит обучение каждого учащегося на уровне его возможностей и способностей).

Планируемые результаты:

расширение и углубление знаний учащихся по теме «Уравнения и неравенства»;

приобретение прочных навыков решения уравнений, неравенств и их систем;

развитие интеллектуальных и творческих способностей учащихся на основании опыта самостоятельного приобретения новых знаний;

 осознанный выбор профиля;

сфомированность положительной мотивации обучения у ребенка на планируемом курсе.

Измерительные достижения планируемых результатов.

Для контроля уровня достижений учащихся могут быть использованы  такие способы как анкетирование на различных этапах курса, для обнаружения пробелов в изучении и интереса к содержанию и сложности предлагаемого курса. А также анализ творческих и исследовательских работ, результатов выполнения диагностических заданий, наблюдение активности учащихся на занятиях, беседа с учащимися и их родителями. При этом важно использовать оценку промежуточных достижений учащихся как инструмент положительной мотивации и своевременной коррекции их деятельности.

Для подведения итогов изучения курса будет проведена специальная зачетная работа эвристического плана на определение успешности усвоения материала.

Содержание.

Предлагаемый курс направлен на углубление и развитие приобретенных программных знаний. Содержание курса реализуется на принципах системности и последовательности. Программа содержит три блока, связанные одной идеей. Блоки построены по модульному принципу. Это позволит учителю использовать для изучения все блоки или любой из них в зависимости от уровня подготовленности учащихся и их запросов.

Первый блок обобщает и систематизирует ранее полученные знания по теме: «Целые уравнения», расширяет и углубляет теоретический материал. Изучаются способы решения уравнений третьей и четвертой степени с одним неизвестным, используя теорему Безу, свойств монотонности функции, рассматривается метод решения возвратных уравнений.

Во втором блоке рассматривается решение дробно-рациональных  уравнений введением новой переменной. Основная цель этого блока – научить учащихся решать дробно-рациональные уравнения, сделав удачную подстановку.

Третий блок знакомит учащихся с решением дробно-рациональных неравенств. Решаются они приведением к общему знаменателю, после чего надо разложить числитель и знаменатель на простейшие множители и применить метод интервалов. При изучении третьего блока ранее приобретенные знания и умения актуализируются и получают применение в новых ситуациях.

Каждый блок включает в себя набор рациональных и дробно-рациональных уравнений и неравенств для учащихся, интересующихся математикой и планирующих поступать в вузы.

Курс является открытым, в него можно добавлять новые фрагменты, развивать тематику или заменять какие-либо сюжеты другими. Главное, чтобы  они были небольшими по объему, интересными для учащихся, соответствовали их возможностям. Программа мобильна, т.е. дает возможность уменьшить количество заданий по данной теме (так как многие задания предназначены на отработку навыков по одному типу задач) при установлении степени достижения результатов. Блочное построение курса дает возможность учащимся, пропустившим по каким-либо причинам часть курса, спокойно подключиться к работе над другим разделом.

На изучение, трех блоков отводится 16 часов, 1 час из них на определение успешности усвоения материала.

Тематическое планирование.

Дидактические материалы.

Блок 1.

Решите уравнения:

№1.  а);              

        б);  

         в);    

         г).

№2.  а);      

         б);

         в).

№3. .            

№4. а) ;  

       б) .

№5.а) ;                              д) ;

       б) ;                             е) ;

       в) ;                              ж) ;

       г) ;                      з) ;

№6.а)  

      б) .              

№7. Используя свойство монотонности функций, решите уравнение:

      а) ;                         в) ;

      б) ;                          г) .

№8.Решите уравнение:

       а) ;                 б) .

№9. Докажите, что уравнение является возвратным, и решите его:

       а) ;                в) ;

      б) ;               г) .

№10. Решите уравнение:

      а) ;                  б) .

№11. Решите уравнение относительно х:

      а) ;                    в) ;

      б) ;                    г) .

Самостоятельная работа №1.

Вариант 1.

1) Определите степень уравнения и число его корней.

а)

б)  

в)  

г)  

д)  

е)  

      2) Решите уравнение, разложив левую его часть на множители:

а)

б)  

в)  

г) 

 3) Решить уравнение, введя новую переменную:

а)

б)  

в)  

г) 

4) При каких значениях параметра с уравнение  

а) не имеет корней,

б) имеет два корня,

в) имеет четыре корня?

Вариант 2.

1)  Определите степень уравнения и число его корней.

а)

б)  

в)  

г)  

д)  

е)  

2) Решите уравнение, разложив левую его часть на множители:

а)

б)  

в)  

г)  

3) Решить уравнение, введя новую переменную:

а)

б)  

в)  

г)  

4) При каких значениях параметра с уравнение  

а) не имеет корней,

б) имеет два корня,

в) имеет четыре корня?

Самостоятельная  работа №2

Вариант 1.

1) Найти целые корни уравнения:

а)

б)  

в)  

г) 

2) Решить симметричные уравнения:

а)  

б) 

3) Решите уравнение, используя свойства монотонности функции:

а)

б)  

в)  

г) 

4) Найдите координаты точек пересечения графика функции

  с прямой   у = 2.

5) Решите уравнение относительно х

а)

б) 

 Вариант 2.

1) Найти целые корни уравнения:

а)

б)  

в)  

г) 

2) Решить симметричные уравнения:

а)  

б) 

3) Решите уравнение, используя свойства монотонности функции:

а)

б)  

в)  

г) 

4) Найдите координаты точек пересечения графика функции

  с прямой   у = 3.

5) Решите уравнение относительно х

а)

б)

Блок 2.

№1 Решите уравнение:

а)

б)

в)

г) 

№2  Найдите корни уравнения:

а)

б)

в)

г)

№3 Найдите целые корни уравнения

а)

б)

в)

г)

№4 Решите уравнение:

а)

б) 

№5 Найдите корни уравнения:

а)  ;

б)    .

№6 Решите уравнение:

а)    ;                                        

         б)   

№7 Найти корни уравнения:

а)  

б)  

в)

г)

№8 Решите уравнение:

а)

б)

Самостоятельная работа

Вариант 1    

 1) Решите уравнение:

     а)  

    б)     

2) Сумма двух взаимно обратных обыкновенных дробей      равна.     У первой дроби числитель на 4 меньше знаменателя. Найти эти дроби.

3) Решите уравнение методом замены переменной:

  Найти рациональные корни уравнения:

5) Решите уравнение:

6) Решите уравнение, предварительно выделив из дроби целую часть:

Вариант 2

1) Решите уравнение:

      а)  

      б)

2) Сумма двух взаимно обратных обыкновенных дробей равна.   Числитель первой дроби на 6 меньше знаменателя. Найти эти дроби.

3) Решите уравнение методом замены переменной:

  Найти рациональные корни уравнения:

5) Решите уравнение:

6) Решите уравнение, предварительно выделив из дроби целую часть:

 а)

б)

а)

б)

Блок 3.

Решите неравенства:

№1

№2

№3

№4 Решить неравенства:

№5 Найдите область определения функции:

№6 Найдите целые решения неравенства:

№7 Докажите , что множества решений неравенства состоит из одного числа:

№8 Сколько решений имеет неравенство

№9 При каком значении параметра а решения неравенства образуют множество ?

Самостоятельная работа

Вариант 1

№1 Решите неравенства:

№2 Докажите, что множество решений неравенства

а) состоит из одного числа  

б) есть множество действительных чисел

№3Найдите область определения функции

№4 Найдите целые решения неравенства

Вариант 2

№1 Решите неравенства:

№2 Докажите, что множество решений неравенства

а) состоит из одного числа  

 б) есть множество действительных    чисел

 №3Найдите область определения функции

№4 Найдите целые решения     неравенства

Зачет

 Вариант 1.

Решите уравнение:

а)  

б)  

Используя свойство монотонности функции, решите уравнение

 Решите неравенство

а)          б)        в)  

4)  Найдите область определения функции  

 Вариант 2.

Решите уравнение:

а)  

б)  

Используя свойство монотонности функции, решите уравнение

 Решите неравенство

а)          б)        в)  

Найдите область определения функции  

Вариант 3.

 Решите уравнение:

а)  

б)  

Используя свойство монотонности функции, решите уравнение

 Решите неравенство

а)          б)        в)  

Найдите область определения функции  

Литература

Н.Я.Виленкин, А.Н.Виленкин. Алгебра для 8 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. «Просвещение»,1995.

Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк. Алгебра. Дополнительные главы к учебнику 9 класса. «Просвещение»,2001.

М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре для 8-9 кл. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.

В.В.Ткачук. Математика – абитуриенту. МЦ НМО,1997.

Л.Я.Боревский. Алгебра для школьников и абитуриентов. Медиа Хауз,2000.

О.Ю.Черкасов, А.Г.Якушев. Математика. Методические указания для поступающих в вузы. МГУ. Москва, 1996.

 Г.В.Дорофеев. Краткое пособие для поступающих в МГУ. Москва, 1996.