Формирование познавательных способностей на основе овладения методами решения иррациональных уравнений при личностно-ориентированном развивающем обучении
статья по алгебре (10 класс) по теме

Формирование познавательных способностей на основе овладения методами решения иррациональных уравнений при личностно-ориентированном развивающем обучении

Смышляева Наталья Петровна, учитель математики

          Важнейшим видом учебной деятельности в школе, в процессе которой усваивается содержание математического образования, является решение уравнений. Основные методы решения уравнений: разложение на множители, замена переменной, использование свойств функций. Методы решения иррациональных уравнений подразделяются на стандартные (возведение в степень, использование свойств функций) и нестандартные (применение других разделов математики). Рассмотрим некоторые методы решения иррациональных уравнений.

Метод, основанный на применении области определения иррационального выражения

Пример 1. Решите уравнение   = - 8.

     Решение. Рассмотрим функцию f(х) = . По определению арифметического квадратного корня, её значения неотрицательны. Следовательно, равенство f(х) = - 8 невозможно ни при каких значениях х. Значит, уравнение не имеет корней.

     Ответ: Ø.

Пример 2. Решите уравнение      -  =        

     Решение. Найдем область допустимых значений переменной. Для этого решим систему неравенств

           Откуда, х = 3

Область допустимых значений этого уравнения  состоит из одного числа. Проверка показывает, что оно  является решением исходного уравнения.

     Ответ: 3.

Метод, основанный на использовании ограниченности функций

Пример 3. Решите уравнение     + = 0

     Решение. Левая часть уравнения представляет собой сумму двух функций, каждая  из которых принимает неотрицательные значения. Значит, равенство возможно, только если обе эти функции равны нулю одновременно. Таких значений х нет, следовательно, уравнение не имеет корней.

     Ответ: Ø.

Метод, основанный на использовании  монотонности функций

Пример 4. Решите уравнение      +  + = 9

     Решение. Рассмотрим функцию f(х) =  +  +. Она возрастает на промежутке [0;∞), как сумма трех возрастающих функций. Значит, каждое свое значение принимает ровно один раз. Подбором находим, что х = 4 корень уравнения, и он единственный в силу монотонности функции.

     Ответ: 4.

Тригонометрическая подстановка

При решении некоторых иррациональных уравнений применяют тригонометрическую подстановку, суть которой состоит в замене неизвестной переменной  х  тригонометрической функцией, например, х = cos ω  или     х = tg ω. При использовании данного метода решение исходного уравнения сводится к решению тригонометрического уравнения. Следует отметить, что тригонометрическое уравнение имеет, как правило, бесконечное множество решений, а исходное уравнение – конечное их число.

Пример 5. Решите уравнение

                                      х +  = (2 - 1).

     Решение. Так как областью допустимых значений уравнения являются

          - 1 ≤ х  ≤ 1,            то можно сделать замену  х = cos ω, где    

            0 ≤ ω ≤ π.

    + = (2 - 1)               (*)

Поскольку  0 ≤ ω ≤ π , то  ≥ 0 и  =  . В этой связи из (*) получаем

         + =  ,

         + = ( +)( - ),

( +)( +  - 1) = 0.

     Пусть  + = 0, тогда  tg ω = -1  и  ω = -  + πn,  где  n – целое число. Однако, 0 ≤ ω ≤ π , поэтому ω1 =  .

     Пусть  ( +  - 1) = 0. Тогда

                   -   = - ,

 -   = - ,

 = - ,

ω -  = (-1)k + 1    + πk   и тогда получаем

ω =   + (-1)k + 1    + πk ,  где  k  – целое число.

Однако, 0 ≤ ω ≤ π , поэтому ω2 =  . Но х = cos ω, следовательно, х1= cos  = -   ,

х2 = cos.

     Ответ: -   , cos.

Метод выделения полного квадрата  

Пример 6. Решите уравнение

                +  = 7

     Решение. Попробуем отметить какие – либо особенности заданного уравнения, которые могли бы указать путь к решению. Такие особенности есть, а именно:

Найдем ОДЗ исходного уравнения

Решая первые два неравенства        

получаем, что х принадлежит отрезку                

На промежутке [-1;4] третье и четвертое неравенства системы истинны.

Значит, ОДЗ  х Π[-1;4].

Перепишем заданное уравнение так:2+ 2= 7

Откуда  |  | + | | = 7 ,

но         и      , поэтому получаем:

  +   = 7

или:  = 3 -

В ОДЗ правая часть неравенства всегда положительна, поэтому возведем в квадрат обе части неравенства     = 6 – х

решения этого уравнения х = 0, х = 3. Оба корня принадлежат ОДЗ.

     Ответ: 0; 3.

Метод функциональных уравнений.   Уравнения вида                    

                 = x      (1)    или       f(g(x)) = f(h(x)),          (2)

                          п раз                                              

                                                                               где f(x), g(x), h(x) -некоторые функции и п ≥ 2.

называются функциональными уравнениями.

Методы решения уравнений (1) и (2) основаны на четырех следующих утверждениях.

    Утверждение 1. Если f(x) - строго монотонная функция на отрезке  [а;в], то уравнение (1) равносильно уравнению f(x) = x для   х, принадлежащих отрезку [а;в].

     Утверждение 2. Если f(x) - строго монотонная функция, то уравнение (2) равносильно уравнению g(x) = h(x) на области допустимых значений уравнения (2).

   Утверждение 3. Если f(x) - строго монотонная функция и при этом является четной, то уравнение (2) равносильно совокупности двух уравнений g(x) = h(x) и g(x) = - h(x) на области допустимых значений уравнения (2).

    Утверждение 4. Если функция f(x) нечетная, то решение уравнения f(g(x)) + f(h(x)) = 0 сводится к решению уравнения f(g(x)) = f(-h(x)).

     Анализ функции у = f(x) на строгую монотонность можно осуществлять с помощью производной, т.е. если f`(x) > 0  (f`(x) < 0) на отрезке  [а;в], то функция у = f(x) является строго возрастающей (убывающей) для х, принадлежащих отрезку [а;в].

  Пример 7. Решите уравнение

                                      х =  ,          (*)

где квадратный корень берется  п раз (п ≥  1).

     Решение. Из условия задачи следует, что х > 0. Пусть  f(x) = , тогда уравнение (*) примет вид   =  х      (**).

                                        п раз          

Поскольку  f`(x) =    0 при х > 0, то уравнение (**) равносильно уравнению  

f(x) = х, т.е.   = х, положительным корнем которого является  

     Ответ:    .

Метод введения векторов, использование неравенства треугольника при решении иррациональных уравнений

     Применение векторов для решения различных уравнений и неравенств в общеобразовательной школе практически не рассматривается. Однако освоение этого метода имеет большое значение, т.к. позволяет показать взаимосвязь тем при изучении математики, а при итоговом повторении перейти к теории развития числа.

      Вектор   в трехмерном пространстве характеризуется тремя координатами (а1,а2,а3) и модуль (длина) вектора вычисляется по формуле ||=(а12+а22+а32)1/2

Суммой (разностью) двух векторов (а1,а2,а3) и  (в1,в2,в3)  называется вектор (с1,с2,с3), координаты которого вычисляются как суммы (разности) соответствующих координат векторов  и .

     Скалярным произведением векторов  и  называют

                                        = а1 в1 + а2 в2 + а3 в3  ,

Но с другой стороны, = || .

     Два отличных от нуля вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. У коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны. Верно и обратное утверждение: если у двух векторов соответствующие координаты пропорциональны, то векторы коллинеарные.

     Для векторов (а1,а2,а3) и  (в1,в2,в3) имеет место неравенство

                                           ||+|| ≥ ||,

т.е. (а12+а22+а32)1/2 + (в12+в22+в32)1/2 ≥ (а1 ± в1)2+(а2 ± в2)2+(а3 ± в3)2)1/2  .

     Данная формула обобщается на случай векторов, заданных в п-мерном пространстве, а также на случай суммы (или разности) более двух векторов. Геометрический смысл формулы состоит в том, что длина ломанной линии, соединяющей две точки в пространстве, больше или равна длине отрезка прямой, проведенной между этими точками. Следует особо помнить, что равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы  и  коллинеарные. В частности, из равенства в формуле следует, что

                                   =  = .

Иначе эту формулу называют неравенством треугольника [16].

Рассмотрим пример, в котором при решении иррационального уравнения применяется понятие вектора.

Пример 8. Решите уравнение

   (1)

     Решение. Перепишем уравнение (1) в виде:

 = 2+(х+2)   (2)

Введем векторы   (;1) и  (х+2;2).

Найдем их модули

  = ,    =  , а косинус угла между векторами  и  

равен:

 =

 ,

но  согласно уравнению (2), числитель и знаменатель дроби равны, следовательно,  = 1, откуда делаем вывод, что векторы  и  коллинеарные, а их соответствующие координаты пропорциональны

                        =  ,                        = ,

по свойству пропорции, при условии х ≠ -2, получаем            2 = х + 2,

Остается решить, используя метод возведения в соответствующую степень,    х=±4.

Проверкой устанавливаем, что х = -4 – посторонний корень.

     Ответ: 4 .

Метод решения симметрических систем

     К симметрическим системам относятся системы вида            

                  (1)        и                   (2)

     В ряде случаев в симметрических системах слагаемые или множители представлены в виде иррациональных выражений. Метод решения системы (1) состоит в сложении левых и правых частей уравнения. Тогда

                             (+,

затем из полученного уравнения поочередно вычитаются третье, второе и первое уравнения системы (1), в результате чего получаем систему

     При решении системы (2) необходимо перемножить левые и правые части уравнений, получим и .

Здесь необходимо потребовать, чтобы выполнялось условие  Если затем полученное уравнение поочередно на третье, второе, первое уравнения системы (2), то получаем две системы уравнений относительно  вида            и        

     Следует отметить, что данный метод обобщается на случай произвольного числа уравнений, содержащихся в симметрических системах.

Пример 9. Решите систему уравнений

                                                    (*)

     Решение. После сложения уравнений системы (*) получаем Если из полученного уравнения поочередно вычесть уравнения системы (*), то получаем систему уравнений

      Отсюда следует  х + у +  = 7   и  

      Ответ: (-2; 3; 6).    

          При изучении различных методов решения иррациональных уравнений происходит активное участие ученика в образовательной деятельности, обеспечивающее возможность самообразования, саморазвития в ходе овладения знаниями.

Использованная литература:

Марчевская Е.В, Марчевский И.К. Элементарная алгебра. Методы решения уравнений и неравенств: Учебное пособие. – Москва: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007 г.

Супрун В.Н.  Нестандартные методы решения задач по математике: - Минск: Полымя, 2000г.