Методика изучения случайных величин и их характеристик в курсе алгебры и начале анализа
презентация к уроку по алгебре (10 класс) по теме

                           Методика изучения случайных величин и их характеристик в курсе алгебры и начала анализа.        

                                                         Содержание

1. Необходимость введения стохастической линии………………………2

    1.1. Программные требования……………………………………………

    1.2. Примерные варианты планирования………………………………..

2. Случайные величины. Законы распределения случайных величин…..
3. Изучение случайных величин в школьном курсе………………………
4. Практическая часть………………………………………………………
5. Литература………………………………………………………………

В содержание среднего образования России вносятся существенные изменения, в частности, в программу по математике основной школы включаются теория вероятностей и элементы статистики. Теория вероятностей — это математическая наука о случайном и закономерностях случайного. В школьном курсе математики и других естественных наук господствовала только одна идея — о существовании жестких связей между явлениями и событиями. Эти связи представлены в форме законов физики, химии, математики; даже в курсе истории нет места случайности: он построен так, что складывается впечатление, что все события предопределены и закономерны.

Но окружающий нас мир полон случайностей. Это землетрясения, ураганы, подъемы и спады экономического развития, войны, болезни, случайные встречи и так далее. Впрочем, мысль о том, что в окружающем мире много случайного, останется очевидной, но бесплодной, если не научиться измерять случайность числом, вычислять шансы различных событий. Теория вероятностей в средней школе — это признание обществом необходимости формирования современного мировоззрения, для которого одинаково важны представления и о жестких связях, и о случайном. Без знания понятий и методов теории вероятностей и статистики невозможна организация эффективного конкурентоспособного производства, внедрение новых лекарств и методов лечения в медицине, обеспечение страховой защиты граждан от непредвиденных обстоятельств, проведение обоснованной социальной политики.

Теория вероятностей как наука начала складываться в XVII веке. Источником задач для нее служили азартные игры. В частности, игра в кости, которая тогда была очень распространена в Западной Европе. В этих задачах главное — выбор равновозможных элементарных событий и правильный подсчет комбинаций этих элементарных событий. До сих пор, как анахронизм, во многих начальных курсах теории вероятностей сохраняется «родимое пятно» — преобладание комбинаторных задач, связанных с азартными играми. Такие задачи есть и в курсе теории вероятностей, но они даны, в основном, для упражнений и иллюстраций.

Одновременно с развитием теории вероятностей стала развиваться статистика. К XVII веку относятся и первые научные применения статистики в демографии и страховании, идеи о случайных ошибках в измерениях.

Для нашего времени весьма актуален вопрос о введении в школьную программу элементов теории вероятностей. На первый взгляд особой проблемы здесь нет. Основные формулы этой теории довольно просты, и школьники могут довольно быстро научиться решать задачи, используя эти формулы. Но «сколь мало знание формул комбинаторики и классической вероятностной модели способствует развитию вероятностной интуиции» [8, с. 54]. Более того, следует вспомнить, что «опыт преподавания основ теории вероятностей в школе в период реформы математического образования 60—70 гг. на абстрактно-формальном уровне, в традиционной схеме урока дал в основном негативные результаты и привел к изъятию этого материала из школьных программ» [8, с. 54]. Поэтому «необходимо не просто научить решать какие-то частные задачи, но выработать элементы вероятностно-статистического мышления» [8, с. 65].

Элементы теории вероятностей пытались ввести в отечественную школу на протяжении XIX—XX вв. Но каждый раз эти попытки оканчивались неудачей. Математики и психологи пытались объяснить эти неудачи по-разному. Например, Д.В.Маневич утверждает, что вероятностные понятия вызывают ощущения протеста из-за того, что они неустойчивы как опорные образы мышления. В самом деле, многие математические понятия усваиваются с детства на основе житейской практики, а вот стихийно-эпизодических наблюдений случайностей оказывается недостаточно для восприятия вероятностных идей и методов.

Изучению вероятностных понятий должен предшествовать процесс накопления необходимых интуитивных представлений о конкретных случайных явлениях окружающего мира. Причем такой процесс не должен быть стихийным и кратковременным.

А.Плоцки, например, утверждает, что изучению стохастики в школе должен предшествовать «долгий период формирования интуитивных основ понятий и методов, образования некоторых идей и развития особой интуиции как нового важного аспекта математической культуры» [2, с. 39].

Как же следует организовывать этот процесс «интуитивных накоплений»? Прежде всего путем широкого эксперимента, проводимого самими учащимися. Нельзя «давать ученику знания», а потом ждать, что он начнет применять их, в том числе и творчески. Как утверждает А.Плоцки, «из-за своей специфики стохастика может быть математикой, понимаемой каждым учеником как математика, открытая им самим» [2, с. 42].

Одна из важнейших целей обучения школьников элементам стохастики состоит в целенаправленном развитии идеи о том, что в природе наличествуют статистические закономерности. Выполнение этой задачи нельзя сводить к изучению соответствующего математического аппарата, к деятельности учащихся в мире абстрактных моделей. Более важно помочь им правильно осознать реальную действительность, открыть для себя вероятностную природу окружающего мира, показать, что в мире случайностей можно не только хорошо ориентироваться, но и активно действовать.

В стандартах для базового уровня обязательный минимум по теме «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» предусмотрено следующее.

Табличное и графическое представление данных. Числовые характеристики рядов данных.

Поочерёдный и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества. Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений. Решение комбинаторных задач. Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

Элементарные и сложные события. Рассмотрение случаев и вероятность суммы несовместных событий, вероятность противоположного события. Понятие о независимости событий..Вероятность и статистическая частота наступления события. Решение практических задач с применением вероятностных методов.

Требования к уровню подготовки выпускников

Уметь

1. Решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул;
2. Вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчёта числа исходов;

Использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

1. Анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков;
2. Анализа информации статистического характера.

Профильный уровень

Табличное и графическое представление данных. Числовые характеристики рядов данных.

Поочерёдный и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества. Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений. Решение комбинаторных задач. Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

Элементарные и сложные события. Рассмотрение случаев и вероятность суммы несовместных событий, вероятность противоположного события. Понятие о независимости событий..Вероятность и статистическая частота наступления события. Решение практических задач с применением вероятностных методов.

Требования к уровню подготовки выпускников

Уметь

3. Решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул, треугольника Паскаля; вычислять коэффициенты бинома Ньютона по формуле и с использованием треугольника Паскаля;
4. Вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчёта числа исходов (простейшие случаи)

Использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

3. Анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков; для анализа информации статистического характера.

Преподавание данного материала –это новая линия для любых классов и для обычных и для профильных, поэтому требования практически не отличаются. Преподавание начинается с разных классов.

Примерное планирование курса «Теория вероятностей и статистика»

Поэтапное введение и апробация теории вероятностей и статистики вводятся в 7 класс, исходя из трехгодичного планирования по 16—18 часов в год. В 8 класс курс вводится, исходя из двухгодичного планирования (18 часов в 8 классе и 9 или 17 часов в 9 классе). Кроме того, в сокращенном варианте темы вводятся в программу 10—11 классов. Обзорно часть тем можно включать в программу 9 класса. С учетом этого приводятся различные варианты планирования курса. В базовом варианте не предполагается изучение тем, связанных со случайными величинами.

Вариант 1 Примерный вариант планирования на три года для 7—9 классов

Предполагает изучение данного раздела в объеме, достаточном для выбора естественно-научного, социально-экономического и физико-математического профиля. Требует выделения не менее 50 часов в течение трех лет.

 Вариант 2

Сокращённый вариант планирования на три года для 7-9 классов

Вариант 3                                                    Вариант планирования для двухгодичного курса (8—9 класс)

Вариант 4

Вариант планирования для одногодичного обзорного курса

(9 класс)

Рекомендуется для предпрофильной подготовки школьников, ранее не изучавших данный раздел, и планирующих выбрать социально-экономический профиль.

Вариант 5                                                                                                                                                               Вариант планирования для 10—11 классов

Предназначен для школьников, начинающих изучать данный материал в 10—11 классе и выбравших социально-экономический или естественно-научный профиль.

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Понятие случайной величины. Законы распределения случайных величин

Определение. Случайной величиной, связанной  с данным опытом называется величина, которая при данном осуществлении данного опыта принимает то или иное числовое значение, заранее не известное какое именно.

Случайные величины обозначаются  Х, Y и т.д.

Примеры.

1) Опыт - бросается игральная кость один раз. Случайная величина Х - число выпавших очков. Множество значений случайной величины Х={1,2,3,4,5,6}.

2) Опыт стрельба по цели до первого попадания. Случайная величина Y  -  число израсходованных патронов – имеет множество значений {1,2,3,…}=N.

3) Рост наудачу выбранного человека можно рассматривать как случайную величину, измеряя его, например, в сантиметрах.

4) Стрелок стреляет в мишень. В каждом круге на этой мишени написано некоторое число очков. Случайной величиной можно считать количество очков, выбитых при одном выстреле. Другой случайной величиной можно считать сумму очков при нескольких выстрелах.

5) Срок службы телевизора или стиральной машины - случайная величина. Срок службы отсчитывается в днях от момента выпуска или продажи. Свойства этой случайной величины важны, например, при установлении гарантийного периода на новый прибор.

6) Число бракованных деталей в партии из 100 одинаковых деталей, взятых на контроль – случайная величина.

7) Напряжение в бытовой электрической сети – случайная величина, значения которой колеблются около 220 вольт.

8) Вес расфасованных продуктов может несколько отличаться от веса, указанного на упаковке. Шоколадный батончик массой 50 г на самом деле может весить чуть больше или чуть меньше. Потребитель такие отличия не заметит. Зато производителю батончиков колебания в весе небезразличны. В случае серьёзного смещения среднего веса в ту или иную сторону производитель может понести убытки.

9)Важным примером случайной величины является число успехов в серии испытаний Бернулли.

Пусть, например, проводится 10 испытаний Бернулли. Число успехов в этой серии может принимать любое целое значение от 0 до 10. Число неудач также является случайной величиной.

10) Будем бросать монету до первого выпадения орла. Число бросаний будет случайной величиной, значением которой может быть любое натуральное число.

Определение. Случайная величина называется дискретной, если она принимает конечное или счетное множество значений.

В примерах 1,2 случайные величины  являются дискретными.

Определение. Случайная величина называется непрерывной, если она принимает все значения из некоторого промежутка.

Разные случайные величины могут иметь одно и тоже множество возможных значений.  Чтобы полностью охарактеризовать случайную величину,  кроме множества значений необходимо указать, с какой вероятностью случайная величина принимает то или иное своё значение.

Определение. Любое правило, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения случайной величины.

        Для дискретной случайной величины Х закон распределения может быть задан в виде таблицы.

        В верхней строке перечисляются все возможные значения  случайной величины Х (обычно в порядке возрастания), а в нижней строке указываются  вероятности  соответствующих значений:  - это вероятность того, что случайная величина Х принимает значение .

Так как в результате каждого опыта  случайная величина Х обязательно  принимает только одно из значений: ,,…,,(…), то события  ,…,,(…) образуют полную группу попарно несовместных событий. Значит, .

Определение. Дискретная случайная величина Х считается заданной, если указано конечное или счетное множество чисел ,,…,,(…), и  каждому из них поставлено в соответствие некоторое положительное число , причем .

       Для наглядности закон распределения можно изобразить графически – на плоскости отмечаются точки с координатами  и соединяются отрезками. Полученная ломаная называется  многоугольником распределения СВ.

Пример 1.  Случайная величина Х – число выпавших очков при однократном бросании игральной кости. Её закон распределения имеет вид:

.

    Это пример так называемого равномерного распределения.

Пример 2. Опыт – стрельба по мишени до первого попадания, причем вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна  р,  – вероятность  промаха при каждом отдельном выстреле. Случайная величина X – число израсходованных патронов.

Проверим выполнение условия .

.

Пример 3.  Биномиальное распределение.

Производится серия испытаний по схеме Бернулли: проводится n независимых опытов, в каждом из которых интересующее нас событие А наступает с одной и той же вероятностью p,  – вероятность наступления события  в каждом отдельном опыте. Случайная величина X – число наступлений события  А в рассматриваемой серии опытов, то есть число «успехов».

    Вероятность каждого возможного значения случайной величины X находится по формуле Бернулли:  (вероятность 0 успехов и n успехов можно найти и через вероятность произведения независимых событий).

Условие  получается непосредственно по формуле бинома Ньютона:

Пример 4. Распределение Пуассона. Как и в предыдущем примере производится серия испытаний по схеме Бернулли, но теперь число опытов n очень велико (считают, что ). Случайная величина Х - число успехов, только теперь вероятность каждого возможного значения СВ X вычисляется не по формуле Бернулли, а по приближенной формуле Пуассона:

.

Проверим выполнение условия .

.

Функция распределения случайной величины

(интегральный закон распределения случайной величины)

Закон распределения случайной величины не всегда может быть задан таблицей. Например, для непрерывной случайной величины все её значения перечислить невозможно (у НСВ множество значений несчётно). Кроме того, каждое свое определенное значение непрерывная случайная величина принимает с нулевой вероятностью, поэтому непрерывная случайная величина характеризуется не вероятностями отдельных значений, а вероятностями того, что случайная величина принимает значение из некоторого интервала.

Пусть дана произвольная случайная величина Х. Рассмотрим событие, заключающееся в том, что случайная величина Х принимает значение, меньшее некоторого числа х: . Вероятность этого события является функцией от х и обозначается F(x). Таким образом,

.        (1)

Определение. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), определяемая вероятностью того, что случайная величина Х принимает значение, меньшее х.

Из определения следует, что .

Следует отметить, что формула (1) связывает математический анализ (слева в формуле - функция одной действительной переменной) и теорию вероятностей (справа  - вероятность события).

Функцию F(x) иногда называют интегральным законом распределения случайной величины Х.

  Математическое ожидание дискретной случайной величины

В некоторых задачах теории вероятности не обязательно знать весь закон распределения. Их можно решать, оперируя только некоторыми числовыми характеристиками.

        Основными числовыми характеристиками случайной величины являются математическое ожидание и дисперсия.

        Пусть Х – дискретная случайная величина,  возможные значения которой  принимаются с вероятностями соответственно  , причем  .

Определение. Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной  величины  Х  называется число

,                         (1)

равное сумме произведений возможных значений величины X на вероятности этих значений.

Причем если в правой части равенства ( находится ряд, то он должен сходиться абсолютно (чтобы М[Х] было неизменным при перестановке столбцов в таблице распределения величины Х). Если ряд расходится, то М[Х] не существует. Смысл числа М[Х]: около числа М[Х] колеблется среднее арифметическое значений, принимаемых величиной Х в больших сериях опытов.

Пример 1. Найти математическое ожидание случайной  величины Х – числа очков, выпадающих при одном бросании игральной кости.

Решение. Составим закон распределения этой случайной величины.

Тогда  .

        В данном примере М[Х] не совпадает ни с одним возможным значением случайной величины Х.

Пример 2.        Пусть Х – число выстрелов по цели до первого попадания, причем вероятность попадания при каждом отдельном выстреле постоянна и равна р. Найти М[Х].

Решение. Случайная величина  X  имеет геометрическое распределение:

Найдем математическое ожидание:

.

Ряд  получен из ряда  почленным дифференцированием. Так как

        ,

то  .

Получаем, что .         

        Таким образом, среднее число требующихся для попадания в цель выстрелов равно . То есть при проведении большого числа серий выстрелов для попадания в цель в среднем  потребуется  выстрелов. Это число может служить исходным при расчете числа необходимых снарядов.

        Пример 3. Найти математической ожидание дискретной случайной  величины Х, распределенной по закону Пуассона.

.

.

      Таким образом, параметр , характеризующий данное пуассоновское распределение, есть не что иное, как математическое ожидание величины Х.

Математическое ожидание непрерывной случайной  величины

        Для непрерывной случайной величины нельзя применить определение  математического ожидания дискретной величины (вероятность каждого отдельного значения  непрерывной случайной величины равна нулю).

Определение. Пусть Х  – непрерывная случайная величина с плотностью вероятности  . Если сходится интеграл , то математическим ожиданием непрерывной случайной величины  X называется число

.

        Таким образом, теоретико-вероятностный смысл параметра a, входящего в выражение для нормального закона: параметр а является математическим ожиданием величины  Х.

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины совпадает с самой постоянной: .

Справедливость этого свойства очевидна, если рассмотреть постоянную величину как дискретную случайную величину, принимающую лишь одно значение с вероятностью единица. Тогда .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М[cХ]=сМ[Х] .

Так как определение математического ожидания для ДСВ и для НСВ разное, то доказательство необходимо провести для каждой из этих величин отдельно.

 Пусть X – ДСВ, то есть её закон распределения и закон распределения величины сХ можно представить в виде таблицы:

Тогда .

Для непрерывной случайной величины с плотностью вероятности :

.

3.Для любых случайных величин X и Y  .

                                       Дисперсия случайной величины

        Различные случайные величины могут иметь одно и то же математическое ожидание, которое характеризует среднее значение случайной величины.

Например:

М[Х]= •(-0,01)+ •0,02=0

М[Y]=200•+(-200)• =0

М[Х]=М[Y]

        Математические ожидания равны, но характер их распределения существенно различен: разброс величины Х вокруг ее математического ожидания намного меньше разброса величины Y.

        В двух различных  географических местностях  могут быть одинаковые средние уровни осадков, в двух учреждениях с различным соотношением низко- и высокооплачиваемых ситуациях  может оказаться одна и та же средняя заработная плата и т.д.

        Чтобы охарактеризовать отклонение случайной величины от ее среднего значения (т.е. разброс значений этой величины), вводят другую ее числовую характеристику дисперсию (или рассеяние).

        На первый взгляд наиболее естественно характеризовать рассеивание с помощью разности между случайной величиной и ее средним значением. Эта разность Х-М[Х] то же является случайной величиной называется отклонением. А если взять ее математическое ожидание М[Х] – М[М[Х]]= М[Х]- М[Х]=0

              Свойства математического ожидания:

Среднее значение отклонения получилось равным нулю, потому что положительное и отрицательное отклонения (т.е. отклонение в ту или иную сторону от среднего) взаимно уравновешиваются.

        В действительности, степень рассеивания должна определяться его абсолютной величиной . Но с трудно ориентировать. Поэтому рассмотрим квадраты отклонения.

Определение: Дисперсией сложной величины х называется число D[Х]=  

    М[(Х-М[Х])2]        (1)

Число  - называется средним квадратичным отклонением случайной величины х.

Если дисперсия характеризует средний размер квадрата отклонения, то средний квадрат отклонения характеризует само отклонение, а точнее .

              Свойства дисперсии:

10        D[cХ]=M[c-M[c]]2=(c-M[c])2•1=0

Дисперсия постоянной величины равна нулю.

            20        D[cХ]=c2D[Х]

           Доказательство:

D[cХ]=Mc(cХ-M[cХ])2]= M[(cХ-cM[Х])2]= M[c2(Х-M[Х])2]=c2D[Х].

              30        D[Х]=M[Х2]-M2[Х]                (2)

Доказательство:

D[Х]=M[(Х-M[Х])2]=M[Х2]-2(M[Х])2+M[M[Х]2]=M[Х2]-2(M[Х])2+(M[Х])2=M[Х2]-(M[Х])2=M[Х2]-M2[Х]

Формула (2) более удобна для вычисления дисперсии, чем формула (1).

            40        Х,  -  независимых случайных величин D[Х]=D[x]+D[]!

Пример 1.                Число очков, выбиваемых при одном выстреле каждым из двух стрелков, подчиняется законам распределения.

М[Х]=1•0,3+2•0,2+3•0,5=2,2

M[Y]=1•0,1+2•0,6+3•0,3=2,2

Математическое ожидание числа очков для обоих стрелков одинаково.

D[Х]=M[(Х-M[Х]2)=1.44•0.3+0.04•0.2+0.64•0.5=0.76

D[Y]=1,44•0,1+0,04•0,6+0,64•0,3=0,36

Следовательно, при одинаковом среднем для числа очков, выбиваемых обоими стрелками, рассеяние результатов у первого превышает рассеяние у второго. Таким образом, у второго стрелка большая кучность, то есть результаты его стрельбы более устойчивы.

Заметим, что чем меньше дисперсия, тем лучше значения случайной величины характеризуется ее математическим ожиданием.

D[Х] и D[Y] проще было считать по формуле (2)

D[Х]= (1•0,3+4•0,2+9•0,5)-2,22=5,6-4,84=0,76

Таким образом, D[Х]=. Следовательно, смысл параметра , входящего в выражение для нормального закона, заключается в том, что  является средним квадратичным отклонением величины Х.

    Рассмотрим изложение материала в различных учебных пособиях.

Главы пособия Ю.Н.Тюрина «Теория вероятностей и статистика»  «Случайные величины» и «Числовые характеристики случайных величин» в значительной степени избыточны и могут не включаться учителем в курс основной школы или даваться обзорно. Однако именно этот материал, включая закон больших чисел, устанавливает обратную связь между понятиями теории вероятностей и статистики. Если этот материал не включается учителем в программу в 7—9 классах, то  рекомендуется изучить в 10—11 классах. Отметим, что первое неявное представление о случайных величинах дается  при изучении элементов статистики, оно формализуется для дискретных случайных величин. Вводятся понятия распределения случайной величины и его числовых характеристик — математического ожидания и дисперсии. Одной из важнейших случайных величин, которую следует рассматривать, является «число успехов» в испытаниях Бернулли. Вычисление математического ожидания и дисперсии для «числа успехов» дают нам возможность сформулировать один из основных законов теории вероятностей — закон больших чисел. Он важен не только с точки зрения математики, но несет еще и большую мировоззренческую нагрузку, показывая, что усреднение случайных величин позволяет нам получить более точное представление об окружающем мире. На бытовом уровне одной из иллюстраций закона больших чисел служит поговорка: семь раз отмерь — один раз отрежь! Заметим, что неявное обсуждение закона больших чисел  начинается при разборе ряда статистических задач, обсуждая случайную изменчивость различных величин. Уже тогда обращается внимание на то, что средние значения однотипных наборов различных случайных величин заметно меньше отличаются друг от друга, чем сами случайные величины в наборах. Другими словами закон больших чисел показывает возникновение закономерности в случайном, устанавливает связь между ними.

             Результаты обучения. В результате изучения материала главы XI. «Случайные величины» учащийся должен:

• уметь приводить примеры случайных величин;

0. выделять на интуитивном уровне из множества различных случайных
   величин дискретные (с конечным или ^счетным множеством значений; разу
   меется, термин «счетное» здесь использован не для школьника);
1. понимать, что число успехов в серии из п испытаний Бернулли является
   случайной величиной с множеством значений 0,1,2,... ,я.
2. понимать, что такое распределение вероятностей случайной величи
   ны и уметь составлять таблицы распределения для случайных величин с
   небольшим числом возможных значений;

0. знать, что такое распределение Бернулли.

 В результате изучения материала главы XII «Числовые характеристики случайных величин» учащийся должен:

•знать определение математического ожидания конечной случайной
величины, понимать, что математическое ожидание является обобщением
среднего арифметического значений величины;

•знать свойства математического ожидания и уметь использовать их при
решении простых задач;

•знать, что важным свойством распределения случайной величины
является рассеивание величины. Уметь вычислять дисперсию и стандартное
отклонение;

• знать формулы математического ожидания и дисперсии числа успехов в серии испытаний Бернулли.

У Тюрина более классическая схема изучения: сначала случайные величины в чистом виде, а потом статистика, использующая случайные величины. Нормальный закон распределения не рассматривается.

                           Литература

1. Маневич Д.В. Совершенствование содержания общего среднего образования на основе теории вероятности и статистики: Дис…д-ра пед. наук.-Ташкент, 1990.-416с
2. Плоцки А. Стохастика в школе как математика в создании созидания и как новый элемент математического и общего образования: Дис. …д-ра пед. наук в форме науч. докл.-С.-Петербург, 1992.-52с.
3. Никольский С.М., Потапов М.К. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10 кл. общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд.- М.: Просвещение, 2005
4. Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. Элементы статистики и вероятность: учеб. пособие для 7-9кл. общеобразоват. учреждений.- 2-е изд.- М.: Просвещение, 2005
5. Тюрин Ю.Н. и др. Теория вероятностей и статистика.- М.: МЦНМО:АО «Московские учебники» 2004
6. Мордкович А.Г., Семёнов П.В. Алгебра и начала анализа. 10кл.: В двух частях. ч.1.: Учеб. для общеобразоват. учреждений (профильный уровень).- М.: Мнемозина, 2005
7. Мордкович А.Г., Семёнов П.В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: Доп. параграфы к курсу алгебры 7-9кл. общеобразоват. учреждений.- 3-е изд.- М.: Мнемозина, 2005
8. Математика в школе.- 2002.- №4
9. Математика в школе.- 2002.- №5
10.  Математика в школе.- 2003.- №3
11.  Математика в школе.- 2004.- №6