Типовые задачи В12, которые могут встретиться на настоящем ЕГЭ.
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Задача Высота, на которой находится камень, брошенный с земли вертикально вверх, меняется по закону h(t) = 2 + 12t − 5t2, где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень будет находиться на высоте более 6 метров?

Решение   Из условия следует, что надо решить уравнение h(t) = 6. Получаем обычное квадратное уравнение:     2 + 12t − 5t2 = 6;        5t2 − 12t + 4 = 0 — собрали все с одной стороны;
... (решаем обычное квадратное уравнение)    t1 = 0,4; t2 = 2.  Итак, у нас два корня. Что это значит? В момент времени t1 = 0,4 камень был на высоте 6 метров, затем — очевидно, больше 6, и, наконец, в момент t2 = 2 снова 6 метров. Короче говоря, в период с t1 = 0,4 до t2 = 2 камень находился на высоте более 6 метров. Найдем длину отрезка: l = t2 − t1 = 2 − 0,4 = 1,6.                  Ответ   1,6

Задача    Камень брошен вниз с высоты 24 метра. Пока камень не упал, его высоту можно находить по формуле h(t) = 24 − 7t − 5t2, где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень будет падать?

Решение   Что значит, что камень упал? Это означает, что его высота над поверхностью земли стала равна нулю. Итак, надо решить уравнение h(t) = 0. Имеем: 24 − 7t − 5t2 = 0 — обычное квадратное уравнение;      ... (решаем квадратное уравнение) t1 = −1,6; t2 = 3;   Очевидно, корень t1 = −1,6 нам не подходит, поскольку время не может быть отрицательным. Поэтому камень будет падать 3 секунды.                                                                               Ответ  3

Почему-то в последней задаче многие (на самом деле, почти все) хотят решить уравнение h(t) = 24. Аргументация такая: мол, число 24 встречается в тексте, да еще и в самом начале. Так вот: это число не имеет никакого отношения к решению. Вообще. А требуемое значение функции надо искать в вопросе.  В самом деле, сколько секунд камень будет падать? Ну, до тех пор, пока не упадет. А что значит, что камень упал? Это значит, что его высота над землей равна нулю. Вот такие неслабые размышления.   Когда искомое значение функции определено, решить задачу не составит труда. В заключение рассмотрим еще 2 типовые задачи, которые любят давать на пробных экзаменах, и которые вполне могут встретиться на настоящем ЕГЭ.

Задача       В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем меняется по закону:    H(t) = 5 − 1,6t + 0,128t2        где t — время в минутах. В течение какого времени вода будет вытекать из бака?

Решение      Эта задача очень похожа на предыдущую — про камень, брошенный с высоты 24 метра. Вода будет вытекать из бака до тех пор, пока высота столба не станет равной нулю. Поэтому H(t) = 0. Подставляем это значение в функцию и решаем уравнение:   0 = 5 − 1,6t + 0,128t2;
0 = 625 − 200t + 16t2 — умножили все на 125;
16t2 − 200t + 625 = 0 — стандартное квадратное уравнение; Поскольку коэффициенты получились неслабые, причем a = 16 ≠ 0, работаем через дискриминант. Имеем:
D = b2 − 4ac = (−200)2 − 4 · 16 · 625 = 40 000 − 40 000 = 0 — уравнение имеет ровно 1 корень.
t = −b : (2a) = −(−200) : (2 · 16) = 200 : 32 = 6,25. Таким образом, вода перестанет вытекать из бака через 6,25 минуты — это и есть ответ.            Ответ 6,25

Задача  После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик определяет его, измеряя время падения t небольших камушков в колодец и рассчитывая по формуле h = −5t2, где t измеряется в секундах, а h — в метрах.  До дождя время падения камушков составляло 1,4 секунды. На какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше чем на 0,1 секунды? Ответ выразите в метрах.

Решение   Это немного нестандартная задача с функцией. По условию, аргумент t может принимать 2 значения:      t1 = 1,4 — исходное, дано в условии задачи;  t2 = 1,4 − 0,1 = 1,3 — новое значение. Теперь подставим эти значения в функцию h(t). Так мы найдем расстояние от верхней кромки колодца до поверхности воды до и после дождя. Имеем: h(t1) = −5 · (1,4)2 = ... = −9,8;
h(t2) = −5 · (1,3)2 = ... = −8,45.   Итак, есть два значения: −9,8 метра и −8,45 метра. Если вычесть из большей высоты меньшую, получим искомую минимальную высоту Δh, на которую должен подняться уровень воды:    Δh = −8,45 − (−9,8) = 9,8 − 8,45 = 1,35 — это и есть ответ.         Ответ  1,35

Небольшое пояснение к последней задаче. Откуда взялось число t2 = 1,3? По условию, уровень воды повышается, а значит, расстояние от воды до верхней кромки колодца становится меньше. Следовательно, уменьшается и время полета камня.  Именно поэтому мы уменьшаем исходное время (t2 = 1,4 − 0,1 = 1,3).

Комбинированные задачи B12                 5 января 2012

Часто бывает, что в одной задаче B12 присутствует и функция, и формула. В таких задачах кроме основной переменной присутствуют дополнительные неизвестные, значения которых надо искать где-то в тексте.  Общая схема решения почти ничем не отличается от задач с формулами. В двух словах: найти в тексте числа и подставить их в исходную формулу. Если все сделать правильно, получится стандартное уравнение с одной переменной.

Задача  В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону:      где m0 (мг) — начальная масса изотопа, t (мин) — время, прошедшее от начального момента, T (мин) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа m0 = 56 мг. Период его полураспада T = 7 мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 7 мг?

Решение    По условию, известны следующие величины: m0 = 56; T = 7. Подставим их в функцию — получим m(t) = 56 · 2−t/7. Требуется найти момент, когда m(t) = 7 мг. Составим и решим уравнение:
56 · 2−t/7 = 7;       2−t/7 = 1/8 — разделили все на 56;  2−t/7 = 2−3 — представили 1/8 как 2−3;
−t/7 = −3;  t = 21.                                       Ответ   21

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Задача          Для одного из предприятий-монополистов зависимость объема спроса на продукцию q (единиц в месяц) от ее цены p (тыс. руб.) задается формулой: q = 75 − 5p. Определите максимальный уровень p цены (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r = q · p составит не менее 270 тыс. руб.

Решение   Итак, у нас есть функция r = q · p, причем q — неизвестная величина. Более того, переменная q сама является функцией: по условию, q = 75 − 5p. Подставим это выражение в функцию r. Получим: r = (75 − 5p) · p = 75p − 5p2.  
Теперь у нас есть функция, выражающая прибыль через цену. Все цены установлены в тысячах рублей — это следует из условия. Также, по условию, прибыль должна быть не менее 270 тыс. руб., поэтому можно написать r = 270. Составим и решим уравнение: 270 = 75p − 5p2;   5p2 − 75p + 270 = 0 — перенесли все влево; p2 − 15p + 54 = 0 — разделили все на 5;                ... (решаем квадратное уравнение)        p1 = 6; p2 = 9.     Поскольку нас интересует наибольшая цена, выбираем p2 = 9.        Ответ  9

Задача       При температуре 0 °С рельс имеет длину l0 = 20 метров. При прокладке путей между рельсами оставили зазор в 9 мм. При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса, и его длина будет меняться по закону l(t) = l0 · (1 + a · t), где a = 1,2 · 10−5 (°C)−1 — коэффициент теплового расширения, t — температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре зазор между рельсами исчезнет? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Решение  Изначально нам известны две величины: l0 = 20 и a = 1,2 · 10−5. Самый тонкий момент — понять, чему равно l(t). А именно: зазор исчезнет, когда рельс удлинится на эти самые 9 мм. Была длина 20 метров, а стала — 20 метров + 9 мм.  
Переведем все в метрическую систему. В одном метре 1000 мм, поэтому 9 мм = 9 · 10−3 м. Итого, l(t) = 20 + 9 · 10−3. Оставим эту запись именно в таком виде, не будем складывать. Получилось уравнение: 20 + 9 · 10−3 = 20 · (1 + 1,2 · 10−5 · t). Раскроем скобки — и после очевидных преобразований уравнение станет совсем простым: 20 + 9 · 10−3 = 20 + 20 · 1,2 · 10−5 · t;
9 · 10−3 = 24 · 10−5 · t — убрали с обеих сторон число 20.  Умножим обе стороны на 105 и получим:
9 · 10−3 + 5 = 24 · 10−5 + 5 · t;
9 · 102 = 24t — обычное линейное уравнение;
t = 900/24 = 37,5.                                                                               Ответ  37,5

Как видите, задача про рельсы оказалась довольно сложной. И многие, кто писал пробный ЕГЭ по математике, с этой задачей не справились. В большинстве случаев ученики забывали, что итоговая длина l(t) — это сумма исходной длины l0 и удлинения, которое еще надо перевести в метры.

Общие выводы из приведенных решений:

1. Иногда в задачах о радиоактивных изотопах указывают название вещества — не обращайте внимания на это. Хоть медь-64, хоть ксенон-133 — что угодно. Эти числа не участвуют в решении, а только засоряют текст задачи. Возможно, составители задач делают это намеренно;
2. В задачах о предприятиях-монополистах не стоит пугаться единиц измерений. Даже если это сотни тысяч рублей, не надо приписывать нули к указанным в задаче числам. Используйте то, что дано — и получите правильный ответ;
3. Когда речь идет о рельсах, важно понимать, что l(t) — это длина всего рельса, а не только его удлинение. Само удлинение (или зазор) надо перевести в метры. Например, 4,5 мм — это 4,5 · 10−3 м. Кроме того, не спешите складывать длину рельса и зазор. Лучше раскройте скобки — формула сложная, но объем вычислений сократится многократно. И не надо вычислять 10−5, а то получится одна стотысячная и будет очень грустно.

Сложные задачи B12

Но рельсы — это еще не все! Существуют еще более сложные задачи, требующие действительно грамотных размышлений. По сравнению с ними даже рельсы отдыхают. Вероятность нарваться на подобную задачу в настоящем ЕГЭ невелика, но знать, как они решаются, совершенно необходимо.  
Рассмотрим две такие задачи. Они действительно предлагались на пробном ЕГЭ по математике. Справились с ними лишь единицы.
Задача  Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвертой степени температуры:   , где σ = 5,7 · 10−8 — постоянная, площадь измеряется в квадратных метрах, температура — в градусах Кельвина, а мощность — в ваттах. Известно, что некоторая звезда имеет площадь S = (1/128) · 1020 м2, а излучаемая ею мощность P не менее 1,14 · 1025 Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Ответ дайте в градусах Кельвина.

Решение  Конечно, формула с четвертой степенью и числа, содержащие степени десятки, выглядят угрожающе. Но в действительности все не так плохо. Нам известна мощность P, площадь S и постоянная σ. Подставим их в формулу — получим: 1,14 · 1025 = 5,7 · 10−8 · (1/128) · 1020 · T 4.
Единицы измерения не пишем — они только засоряют уравнение. Чтобы упростить решение, умножим обе стороны на 128, а затем по возможности сократим количество множителей. Имеем:
1,14 · 1025 · 128 = 5,7 · 10−8 · (1/128) · 1020 · T 4 · 128;
1,14 · 128 · 1025 = 5,7 · 10−8 · 1020 · T 4 — сократили множители, отмеченные красным;
1,14 · 128 · 1025 = 5,7 · 1012 · T 4;
1,14 · 128 · 1025 − 12 = 5,7 · 1012 − 12 · T 4 — разделили все на 1012;
1,14 · 128 · 1013 = 5,7 · T 4;
1,14 · 128 · 1013 : 5,7 = 5,7 · T 4 : 5,7 — делим все на 5,7;
0,2 · 128 · 1013 = T 4 — потому что 1,14 : 5,7 = 0,2;
2 · 10−1 · 128 · 1013 = T 4 — записали 0,2 = 2 · 10−1;
256 · 1012 = T 4 — группируем двойки и десятки;
T 4 = 1012 · 28 — поскольку 256 = 28;          T = 103 · 22 = 1000 · 4 = 4000.
На последнем шаге мы находим корень 4-й степени. Напомню: извлечение корня понижает степени у каждого множителя.    Вообще говоря, действительных корней в уравнении будет два: T1 = 4000 и T2 = −4000. Но температура в Кельвинах не может быть отрицательной, поэтому второй вариант нас не интересует.                                                                        Ответ  4000

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Задача   В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону:    ,  где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H0 = 20 м — начальная высота столба воды, k = 1/50 — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с2). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объема воды?

Решение Для начала выясним, чему равно искомое H(t). По условию, в баке должна остаться четверть первоначального объема воды. Поэтому H(t) = (1/4) · 20 = 5 м.    
Теперь, когда все параметры известны, подставим числа в функцию. Чтобы не усложнять выкладки, заметим следующее:    .  
Таким образом, вместо корня можно смело писать число 20. Имеем:
5 = 20 − 20 · (1/50) · t + (10/2) · (1/50)2 · t2;
0 = 15 − 20 · (1/50) · t + 5 · (1/50)2 · t2 — перенесли все в одну сторону;
(1/50)2 · t2 − 4 · (1/50) · t + 3 = 0 — разделили все на 5.
Сделаем замену переменной: (1/50) · t = x. Тогда (1/50)2 · t2 = x2, и все уравнение перепишется следующим образом: x2 − 4x + 3 = 0; (x − 3) · (x − 1) = 0 — корни квадратного уравнения легко угадываются без всякого дискриминанта;   x1 = 3; x2 = 1.
Теперь вспоминаем, что такое x. Поскольку мы выполняли замену x = (1/50) · t, имеем: t = 50x;
t1 = 50 · 3 = 150;   t2 = 50 · 1 = 50.  Итак, у нас два кандидата на ответ: числа 50 и 150. Заметим, что в момент времени t = 100 высота столба воды равна:
H(100) = 20 − 20 · (1/50) · 100 + 5 · (1/50)2 · 1002 = 20 − 40 + 20 = 0.
Другими словами, через t = 100 секунд вода полностью вытечет из бака, и уравнение H(t) теряет физический смысл. Поэтому вариант t = 150 нас не интересует. Остается только t = 50.  Ответ  50

В заключение хочу еще раз заострить внимание на последней задаче. Мы отсеяли корень t = 150, поскольку он расположен слишком далеко от старта — там, где исходная формула теряет всякий физический смысл. Сравните:

1. С точки зрения математики, перед нами стандартная квадратичная функция, график которой — парабола. И вполне нормально, что квадратное уравнение имеет два корня;
2. Но с точки зрения физики, после отметки t = 100 графика вообще не существует. Потому что через 100 секунд вода полностью вытекает из бака, и функция H(t) перестает описывать рассматриваемый процесс. Все, что расположено дальше этой отметки — бред, который нас не интересует.

В задаче про звезды мы выбрали положительный корень, также руководствуясь физическим смыслом. Данные примеры наглядно демонстрируют, насколько опасно «увлекаться» математическими уравнениями без оглядки на реальные условия задач. Будьте внимательны!

 Задачи B12, сводящиеся к линейным уравнениям

Линейные уравнения — простейшие конструкции, которые изучаются в школьном курсе математики. Многие задачи B12, которые встречаются в ЕГЭ и выглядят достаточно угрожающе, в итоге сводятся к этим самым линейным уравнениям.

Как правило, линейные уравнения возникают, если:

1. При подстановке переменных в исходную формулу задачи сводится к пропорции. В этом случае достаточно вспомнить основное свойство пропорции — умножение «крест-накрест» — и мы получим классическое линейное уравнение;
2. Формула изначально была линейной. Достаточно редкий случай. Думаю, тут все понятно: записываем уравнение, решаем, находим ответ.

В любом случае, помните основное правило, одинаково полезное для решения всех задач B12:

Избавляйтесь от дробей и отрицательных степеней в формулах. Если можно умножить — умножайте; можно сократить — сокращайте. Дроби (особенно десятичные) можно записывать только в ответе.

Многие, кто впервые слышит это правило, начинают возмущаться. Мол, к чему такие сложности? Ведь это дополнительные действия, в которых можно допустить еще больше ошибок!

Но статистика неумолима: число ошибок, связанных с преобразованием дробей, меркнет по сравнению с огромным множеством ошибок, которые возникают:

1. Из-за дробных коэффициентов в уравнениях;
2. При умножении степеней с отрицательными показателями;
3. Как ни странно, при сложении и вычитании обыкновенных дробей.

Отдельная проблема — переход от правильной дроби к неправильной и обратно. Подобные операции встречаются во многих задачах ЕГЭ по математике, поэтому настоятельно рекомендую изучить их.

Задача    Некоторая компания продает свою продукцию по цене p = 700 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v = 400 руб., постоянные расходы предприятия f = 800 000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле: π (q) = q(p − v) − f. Определите наименьший месячный объем производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 1 000 000 руб.

Решение  Классическая задача на подстановку переменных в формулу. По условию, нам известно следующее:  π (q) = q(p − v) − f; p = 700; v = 400; f = 800 000.
Требуется, чтобы месячная операционная прибыль π (q) = 1 000 000. Подставляем значения переменных p, v и f в формулу и решаем уравнение: 1 000 000 = q(700 − 400) − 800 000;
1 000 000 + 800 000 = q · 300;   300q = 1 800 000;  q = 6000.  Итак, для получения требуемой месячной прибыли необходимо производить 6000 единиц продукции в месяц — это и есть ответ.                                               Ответ  6000

Задача  Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома:        где U — напряжение в вольтах, R — сопротивление электроприбора в Омах.  В электросеть включен предохранитель, который плавится, если сила тока превышает 11 А. Определите, какое минимальное сопротивление (в Омах) должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать.

Решение  Избавимся от дробей в формуле, переписав ее в виде I · R = U. Далее подставим в эту формулу известные величины: силу тока I = 11 и напряжение U = 220 (единицы измерения писать не надо). Имеем:         11 · R = 220 ⇒ R = 20.
Итак, сопротивление электроприбора должно быть не менее 20 Ом — это и есть ответ.
Ответ      20

Задача    Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой:   где T1 — температура нагревателя (в градусах Кельвина), T2 — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя T1 КПД этого двигателя будет не меньше 35%, если температура холодильника T2 = 260 К? Ответ выразите в градусах Кельвина.

Решение  Снова избавляемся от дроби в формуле. Получим:     η · T1 = (T1 − T2) · 100%
Теперь решаем задачу. Нам известны КПД двигателя η = 35 и температура холодильника T2 = 260. Единицы измерения писать не надо, т.к. по условию все числа уже приведены в СИ. Имеем:   35 · T1 = (T1 − 260) · 100;
35T1 = 100T1 − 26 000 — раскрыли скобки;
26 000 = 100T1 − 35T1;
26 000 = 65T1;       T1 = 400 — это ответ.               Ответ   400

Задача  При температуре 0 °C рельс имеет длину l0 = 15 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону:
      l(t°) = l0(1 + α · t°),  где α = 1,2 · 10−5 (°C)−1 — коэффициент теплового расширения, t° — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 6,3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Решение   Довольно зверская задача, поскольку и формула, и числа в ней весьма сложные. Для начала выясним, что означает фраза «рельс удлинится на 6,3 мм». Итак, был рельс длиной 15 метров. Затем рельс удлинился на 6,3 мм = 6,3 · 10−3 метра (т.к. 1 мм — это 10−3 метра), и теперь общая длина равна 15 + 6,3 · 10−3 метра.         Теперь, когда мы разобрались, что значит «рельс удлинится», можно решить задачу. Имеем: l0 = 15; l(t°) = 15 + 6,3 · 10−3; α = 1,2 · 10−5. Подставляем в исходную формулу — получаем:15 + 6,3 · 10−3 = 15 · (1 + 1,2 · 10−5 · t);
15 + 6,3 · 10−3 = 15 + 15 · 1,2 · 10−5 · t — раскрыли скобки;
6,3 · 10−3 = 18 · 10−5 · t — убрали 15 с обеих сторон;
6,3 · 10−3 · 105 = 18 · 10−5 · 105 · t — умножили все на 105;
6,3 · 102 = 18 · t — избавились от отрицательных степеней;
18t = 630 — получили нормальное уравнение;
t = 35 — решили уравнение.                                                                  Ответ     35

Как видите, при аккуратном подходе даже самые сложные задачи (например, с рельсами) решаются быстро. В заключение — небольшое замечание касательно единиц измерения. Вопрос: когда их надо преобразовывать, а когда на это можно забить? В ЕГЭ по математике существует лишь две потенциально «опасные» величины:

1. Скорость. Может измеряться в метрах в секунду, а может — в километрах в час;
2. Расстояние. В разных задачах измеряется в метрах, километрах и даже миллиметрах (как в случае с рельсами).

Остальные числа — время, температура и другие физические величины — всегда даются в СИ. Исключения существуют, но их единицы, и такие задачи сразу бросаются в глаза.

Работа с формулами в задаче B12

Если в задаче B12 дано уравнение, которое содержит несколько переменных, ни одна из которых не рассматривается как «основная» — перед нами задача на работу с формулами. За примерами далеко ходить не надо:    

Как видно, формулы могут связывать по три, а то и по четыре переменных. Но решаются такие задачи всегда одинаково.  Взгляните на них: значения переменных, входящих в формулу, указаны прямо в тексте. За исключением одной — ее-то и требуется найти. Таким образом, решение задачи B12 с формулой состоит из трех шагов:

1. Найти и выписать из текста все известные переменные. Не забудьте перевести все в единую систему измерений. Если одна величина указана в км/ч, а другая — в м/с, то все надо перевести в м/с.
2. Подставить эти переменные в формулу. Получится уравнение с одной неизвестной.
3. Решить полученное уравнение — получим ответ.

И еще: прежде чем решать задачу, постарайтесь преобразовать исходную формулу в максимально простой вид — избавляйтесь от корней, дробей и прочего бреда. Это правило распространяется на все задачи ЕГЭ по математике.

Задача  В электросеть включен предохранитель, рассчитанный на силу тока 20 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Сила тока в цепи I связана с напряжением U соотношением:
           где R — сопротивление прибора. Ответ выразите в Омах.

Решение     Для начала перепишем формулу: U = I · R. По условию, нам известно напряжение U = 220 В и сила тока I = 20 А. Ничего переводить в другую систему счисления не надо — все и так переведено. Поэтому находим R:       220 = 20 · R; R = 11.               Ответ  11

Задача  Если наблюдатель находится на небольшой высоте h над поверхностью Земли, то расстояние от него до линии горизонта можно найти по формуле:  , где R = 6400 км — радиус Земли. Найдите наименьшую высоту, с которой должен смотреть наблюдатель, чтобы он видел линию горизонта на расстоянии не менее 6,4 км. Ответ выразите в метрах.

Решение  Перепишем формулу: l2 = 2Rh. Поскольку нам известны две величины — l = 6,4 км и R = 6400 км — и обе выражены в километрах, можно подставить в формулу и найти h:
6,42 = 2 · 6400 · h;  40,96 = 12 800 · h;   h = 0,0032.      
Итак, h = 0,0032 км. Но ответ просят дать в метрах. В одном километре 1000 метров, поэтому имеем:    h = 0,0032 · 1000 = 3,2 м.                                                             Ответ       3,2

Задача     Коэффициент полезного действия некоторого двигателя определяется по формуле:  .     При каком наименьшем значении температуры нагревателя T1 КПД этого двигателя будет не меньше 70%, если температура холодильника T2 = 150?

Решение        Перепишем формулу, избавившись от дроби: η · T1 = (T1 − T2) · 100. В этой формуле известны КПД η = 70 и температура холодильника T2 = 150. Подставляем — получаем уравнение относительно T1:                             70 · T1 = (T1 − 150) · 100;
70 · T1 = 100 · T1 − 15 000;           −30 · T1 = −15 000;                T1 = 500.             Ответ    500

Задача              В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет 60 Ом. Параллельно с ними в розетку хотят подключить обогреватель. Определите наименьшее допустимое сопротивление этого обогревателя, если для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не менее 10 Ом.
При этом известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями R1 и R2 их общее сопротивление определяется по формуле:              

Решение            Преобразуем формулу, избавившись от дроби: R · (R1 + R2) = R1 · R2.  Теперь разберемся с терминологией. Общее сопротивление должно быть не менее 10 Ом — значит, R = 10. Что касается R1 и R2, то, не умаляя общности (в силу симметрии формулы), положим R1 = 60. Соответственно, R2 — сопротивление обогревателя, которое требуется найти. Имеем:              10 · (60 + R2) = 60 · R2;                   600 + 10 · R2 = 60 · R2;    50 · R2 = 600;             R2 = 12.                    Ответ    12

Задача        Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f = 30 см. Расстояние d1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние d2 от линзы до экрана — в пределах от 180 до 210 см. Изображения на экране будет четким, если выполнено соотношение:      .   Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.

Решение      Снова перепишем формулу, избавившись от дробей:  f · (d1 + d2) = d1 · d2.        Итак, нам нужно найти d1. При этом значение f = 30 нам дано, а вот d2 изменяется от 180 до 210. Получим два уравнения:          30 · (d1 + 180) = d1 · 180;  30 · d1 + 5400 = 180 · d1;         150 · d1 = 5400;      d1 = 36.       30 · (d1 + 210) = d1 · 210;       ... (решается аналогично предыдущему)      d1 = 35.
По условию, оба значения d1 допустимы, поэтому выбираем наименьшее: d1 = 35.              Ответ    35

Небольшое пояснение к задаче с линзами. Многие, увидев волшебную фразу «в пределах от ... до ... », даже не приступают к решению этой задачи. А на самом деле это обычная формула — просто для переменных указаны два значения, поэтому надо составить два уравнения. Получим два значения искомой величины — из них выбираем нужное с учетом ограничений.