методическая разработка
методическая разработка по алгебре (7 класс) по теме

Районная ярмарка методической продукции «Методическая ярмарка: Развитие детской одарённости»

Методическая разработка «Старинной задаче красивое решение»

Составила учитель первой категории по математике

 МБОУ «Ряпинская ООШ» Журавлёва Т.В.

2012г.

Искусство составлять уравнения

Пояснительная записка.

При обучении математике на решение задач отводится достаточная часть учебного времени. Каждый ученик мечтает о том, чтобы хорошо решать задачи. Но со временем интерес к математике у части учеников падает, что отрицательно сказывается на успеваемости.  Очень важно в этой ситуации вести  целенаправленное обучение школьников решению задач с помощью специально подобранных упражнений, следует учить их наблюдать, пользоваться аналогией, сравнением и делать соответствующие выводы.

Главная цель задач - развить творческое и математическое мышление учащихся, заинтересовать их математикой, привести к открытию математических фактов.

Задачи :

1.расширение и углубление знаний по предмету

2.привитие интереса к изучению математики

3.выявление одарённых детей

4.формирование у детей необходимых для дальней успешной учёбы качеств, как упорство в достижении цели, трудолюбие, любознательность, внимательность, аккуратность, культура личности.

Достичь решения этой цели с помощью одних стандартных математических задач невозможно, хотя стандартные задачи, безусловно полезны и необходимы, если они даны вовремя и в нужном количестве. Поэтому большую помощь нам могут оказать старинные задачи , которые могут вызвать  у учащихся устойчивый интерес к изучению математики, творческого отношения к учебной деятельности математического  характера.

Методическая разработка содержит старинные математические задачи, решаемые алгебраическим способом и само это решение.

Этот материал может быть применённым при работе с одарёнными детьми 5-8 классов при подготовке к олимпиадам и различным математическим конкурсом на факультативах, на предметных неделях по математике. Занятия могут проходить в форме бесед, игр, консультаций, обычных уроков. Они придают уроку некую изюминку, привносят новизну, вызывают у учеников интерес к предмету На таких занятиях применяются АРМУ( автоматизированное рабочее место учителя) , плакаты. За каждое правильно решеное задание должна выставляться оценка.

К моменту решения таких задач ученики должны хорошо знать правила решений простейших уравнений, основные свойства действий над числами.

Язык алгебры – уравнения. «Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или к отвлечённым отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический», - писал великий Ньютон в своём учебнике алгебры «Всеобщая арифметика». Перевод у с родного языка на алгебраический Ньютон показал на примере;

Чтобы определить первоначальный капитал купца, остаётся решить только последнее уравнение. И искусство составлять уравнения  действительно сводится к умению перевода «с родного языка на алгебраический».

Задача «Жизнь Диофанта»

История сохранила нам мало черт биографии замечательного древнего математика Диофанта. Всё, что известно о нём, почерпнуто из надписи на его гробнице- надписи, составленной в форме математической задачи:

Решив уравнение и найдя , что х=84, узнаем следующие черты биографии Диофанта; он женился 21 года, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80-ом и умер 84 лет.

Вот ещё одна старинная задача, легко переводимая  с родного языка на язык алгебраический.

Задача «Лошадь и мул»

«Лошадь и мул шли бок о бок с тяжёлой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерную тяжёлую ношу. « Чего ты жалуешься? – отвечал ей мул. – Ведь если я возьму у тебя один мешок, моя ноша станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей  спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинакова с моей».

Скажите же ,мудрые математики, сколько мешков несла лошадь и  сколько нёс мул?»

Решение

Мы привели задачу к системе уравнений  с двумя неизвестными:   У + 1=2(Х – 1)

                                                                                                                   У – 1= Х +1

Решив её ,находим: х = 5 и у = 7. Лошадь несла 5 мешков, а мул нёс 7 мешков.

Задача «Четверо братьев»

У четырёх братьев 45 рублей. Если деньги первого увеличить на 2 руб., деньги второго уменьшить на 2 руб., деньги третьего увеличить вдвое, а деньги четвёртого уменьшить вдвое  , то у всех окажется поровну. Сколько было у каждого?

Решение

Из последнего уравнения получаем 3 новых уравнения:

x+2= y-2

x+2= 2z

x+2= t/2

откуда  у= х+4

              z= (x+2)/2

              t= 2х+4

подставляем эти значения в первое уравнение и получаем  х+ х+4+ (x+2)/2+2х+4=45

откуда х=8. далее находим : у=12, z= 5, t= 20. итак, у братьев было : 8 руб., 12 руб., 5 руб., 20 руб.

Курьёзы и неожиданности

При решении уравнений мы иногда наталкиваемся на ответы, которые могут поставить в тупик малоопытного математика. Вот несколько примеров. 1. найти двузначное число, обладающее следующими свойствами. Цифра десятков на 4 меньше цифры единиц . если из числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке , вычесть искомое число, то получится 27.

 Решение.

Обозначив цифру десятков через х , а цифру единиц- через у, мы легко составим систему уравнений для этой задачи:   х= у-4

                                                 ( 10у+х)-(10х+у)=27

Подставив во второе уравнение значение х из первого уравнения ,найдём:

                                                  10у+у-4- ( 10(у-4)+у) = 27, а после преобразований: 36=27.

У нас не определились значения неизвестных, зато мы узнали, что 36=27… что это значит? Это означает лишь, что двузначного числа, удовлетворяющего поставленным условиям . не существует и что составленные уравнения противоречат друг другу.

Ещё одна из таких задач

Число десятков двузначного числа составляет две трети числа единиц, а число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке, больше первоначального на 18. найти число. Находится это число при помощи уравнения.

Задача на числа.

Пете в 1987г. было 19ху лет, какова сумма цифр года его рождения. В каком году он родился?

Решение.

Пусть Петя родился в 19ху. Тогда в 1987г. Ему было 1987-19ху, или  (1+9+х+у) лет.    Имеем уравнение 

          87- (10х+у) = 10 + х + у, или  77 – 11х = 2у.

 Откуда  у = (77-11х)/2 = 38 – 911Х -1)/2

Учитывая, что х  и  у – цифры десятичной системы счисления, подбором находим х=7 и у=0.  Ответ: Петя родился в 1970году.

Искусство отгадывать числа

Часто на уроках математики встречаются задачи на отгадывание числа, например,

Увеличили некоторое число на 2, затем умножили полученную сумму на 3,далее отняли 5, затем отняли ещё задуманное число, результат умножили на 2 и вычли 1, в итоге получилось 33. найдите первоначальное число.

Решаем задачу по известной схеме

В итоге получаем уравнение  4х+1= 33, отсюда х=8- задуманное число.

Часто составление уравнения и решение задачи облегчаются построением соответствующего условию задачи чертежа. Вот несколько таких задач.

Задача о трёх мальчиках – велосипедистах

Из места А в место В отправляются 3 мальчика. Расстояние от А до В 36км. Мальчики имеют велосипед , на котором могут усесться только двое. При такой езде велосипед двигается в 2 раза быстрее, чем пеший.

Мальчики решили отправиться следующим образом. Двое едут на велосипеде, третий отправляется пешком.  Велосипедист, доехав до некоторой точки С, отпускает второго мальчика, который продолжает путь пешком. Велосипедист возвращается обратно, навстречу третьему мальчику, в некоторой точке Д встречает его, усаживает его на велосипед и отправляется к точке назначения В.

На каком расстоянии от начальной точки А находятся точки поворота С и Д, если требуется, чтобы все три мальчика пришли к месту назначения В одновременно?

Предполагается, что велосипедист имеет постоянную скорость и пешеходные скорости всех мальчиков одинаковые.

Решение.

Задача легко решается, если воспользоваться чертежом.

А___________________Д_______________________С____________________В

А____________________________________________С____________________В

А___________________Д____________________________________________В

Пусть первый мальчик правит велосипедом и весь путь проедет на велосипеде. От т.А до С второй мальчик ехал на велосипеде и затем от т.С до В шёл пешком. Третий мальчик от А до Д шёл пешком, а от Д до В на велосипеде.

Все три мальчика поделали путь в один и тот же промежуток времени.

За время, в которое второй мальчик прошёл пешком путь СВ, велосипедист проехал путь СД+ДС+СВ. так как велосипедист движется в три раза быстрее пешехода, то путь, пройденный велосипедом СД+ДС+СВ, равен тройному пути СВ,

                  т.е. СД+ДС+СВ+3СВ, но СД+ДС=2 ДС, откуда 2 ДС +СВ= 3СВ

                                                                                                     2 ДС = 2СВ, т.е. ДС=СВ.

За то время, в которое 3-й мальчик прошёл путь АД, велосипед успел сделать путь АД+ДС+СД, который по по условию задачи равен утроенному пути АД:

             АД+ДС+СД=3АД

Отсюда, так же и в предыдущем рассуждении,  имеем:

 СД+ДС=2 ДС

АД+2ДС=3АД

2ДС=2АД

ДС=АД.

Таким образом, получили результаты: ДС=СВ и ДС=АД, т.е. имеем: АД=ДС=СВ. поворотные точки движения велосипедиста Д иС делят весь путь на 3 равные части: АД=12км, АС=24км.

Арабская задача:

На обоих берегах реки растёт по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой -20 локтей. Расстояние между их основаниями- 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую па поверхность воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли её одновременно. На каком расстоянии от основания высокой пальмы появилась рыба?

Решение задачи упрощается с применением чертежа:

 SHAPE  \* MERGEFORMAT

Пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем:

        АВ²=30² + х² ,  АС²= 20²+(50-х)²,

Но АВ=АС, т.к. обе птицы пролетели эти расстояния в одинаковое время. Поэтому 30²+х²= 20²+(50-х)². раскрыв скобки и сделав упрощения, получаем уравнение первой степени 100х=2000, откуда х=20. Значит, рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.

Задача Керролла

Курьеры из мест А и В двигаются , каждый равномерно, но с разными скоростями, друг другу навстречу. После встречи для прибытия к месту назначения одному нужно было ещё 16ч, другому- 9часов. Сколько времени требуется тому и другому для прохождения всего пути между А и В?

Чертим чертёж:

                  А_______________________________________________________________В

Решение.

Обозначим скорости курьеров через u  и  v, а время от начала движения до встречи курьеров через t. Первому курьеру для прохождения всего пути нужно t +16 часов, второму  t +9 часов. Расстояние между точками А и В можно выразить тремя различными способами: (t +16) u, (t +9) v и (v+ u) t.

Имеем равенства: (t +16) u=(v+ u) t или 16 u= t v или t.= 16 u/ v,

                               (t +9) v=  (v+ u) t или 9 v= t u или t = 9 v/ u.

Отсюда  16 u/ v = 9 v/ u., u²/ v²= 9/16, u/ v= ¾.

Подставив найденное значение в первое выражение для  t, имеем  t= 16*3/4=12.

Первому курьеру для прохождения всего расстояния необходимо 12+16 часов, второму 12+9 часов. Можно выполнить проверку по условию задачи.

Русская задача

Купец купил 138 аршин чёрного и синего сукна на 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 руб., а чёрное 3 руб?

Решается задача легко при помощи перевода задачи с родного языка на язык алгебраический. Для этого обозначим  цену 1м                     синего сукна за х руб.и цену 1м черного сукна за у руб. в итоге получим систему  из двух уравнений:

                            х+у=138  и  5х+3у=540, результатом решения системы получаем два числа: 75 и 63.

Древнеегипетская задача

Количество и его четвёртая часть дают 15. найти количество.

Древнеиндийская задача

Есть кадамба цветок

На один лепесток пчёлок пятая часть опустилась.

Рядом тут же росла вся в цвету сименгда, и на ней третья часть поместилась.

Разность их ты найди, трижды их ты сложи,

На кутай этих пчёл  посади.

Лишь одна не нашла себе места нигде,

Всё летала то взад, то вперёд

И везде ароматом цветов наслаждалась.

Назови теперь мне, подсчитавши в уме,

Сколько пчёлок всего здесь собралось?

И эта задача легко решается составлением уравнения.

Старинная русская задача

Вопросил некто некоего учителя: «Сколько имеешь учеников у себя, так как хочу отдать сына к тебе в училище». Учитель ответил: «Если ко мне придёт учеников ещё столько же , сколько имею, и полстолько, и четвёртая часть, и твой сын, тогда будет у меня учеников 100». Сколько было учеников у учителя?

Индусская задача

 На две партии разбившись,

Забавлялись обезьяны.

Часть восьмая их в квадрате

В роще весело резвилась;

Криком радостным двенадцать

Воздух свежий оглашали.

Вместе сколько, ты мне скажешь, обезьян там было в роще?

Решение.

Если за х принять общее количество обезьян, то имеем квадратное уравнение

( х/8)² + 12 = х

 Задача имеет два положительных решения: в стае может быть 48 или 16 обезьян. Оба ответа подходят.

Может ли алгебра понадобиться в парикмахерской? Оказывается, может.

Задача «В парикмахерской»

                    Однажды в парикмахерской произошёл случай. Мастер подошёл к одному из посетителей с неожиданной просьбой:

-не поможете ли нам разрешить одну проблему, а то мы никак не можем справиться с ней.

-уж сколь раствора испортили из-за этого!- добавил другой.

- в чём задача?

- у нас имеется два раствора перекиси водорода: 30 процентный и 3 процентный. Нужно их смешать так, чтобы составился 12 процентный раствор. Не можем подыскать правильной пропорции…

Посетитель успешно решил эту проблему.

Дети озадаченны и с удовольствие начинают искать правильное решение этой задачи:

Алгебраически она решатся проще и быстрее. Для этого вводим переменные  х и у. Пусть для составления 12% смеси требуется х гр. 3% раствора и у гр. 30% раствора. Тогда в первой пропорции содержится 0,03х гр. чистой перекиси водорода, а во второй 0,3у гр., а всего 0,03х + 0,3у. В результате получается (х+у)гр. раствора, в котором чистой перекиси водорода должно быть 0,12(х+у). 

Имеем следующее уравнение       0,03х + 0,3у = 0,12(х+у).  Из этого уравнения находим

  х = 2у,  т.е. 3% раствора надо взять вдвое больше, чем 30% раствора.

Задача на целые уравнения с двумя переменными.

При каких натуральных значениях  х и у верно равенство 3х + 7у = 23?

Решение.

Выразим из уравнения одну из переменных, например у:  у=(23-3х)/7= (21+2-3х)/7= 3+ (2-3х)/7.

Подбором находим наименьшее натуральное значение х, при котором у- натуральное число: х=3, у=2. ( это значение у  единственное т.к. при х>3( х- натуральное число) получаем у – не натуральное число.

Задача на части.

Кусок проволоки длиной 102см нужно разрезать на части длиной 15см и 12см так, чтобы была использована вся проволока. Как это сделать?

Решение.

За х берём число частей проволоки длиной 15 см, за у - берём число частей проволоки длиной 12 см. Имеем уравнение  15х + 12у =102 , выделяя переменную х через у получаем следующее уравнение  х= ( 34-4у)/5= 6 +( 4-4у)/5= 6 + 4(1-у)/5

Имеем 2 решения : у₁=1 ,х₁ = 6 и у₂=6 , х₂=2. Выполнив проверку, делаем заключение: задача имеет 2 решения.

Использованная литература.

1.«За страницами учебника алгебры» Пичурин Л.Ф. Москва,Просвещение 1990г.

2. «Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 кл.» Н.П. Кострикина, Москва Просвещение 1991г.

3. «Рассказы о решении задач» И.Я.Депман , Государственное издательство детской литературы Министерства Просвещения РСФСР, Ленинград 1957г.

4. «Занимательная алгебра» Я.И.Перельман , Чебоксары:ТОО «Арта» 1994г.