урок в 9 классе "Уравнения и неравенства с параметрами"
методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме

Урок в 9 классе «Решение уравнений и неравенств с параметром»

Тема: Решение уравнений и неравенств с параметром

Тип урока: урок–лекция, материал концентрируется в блоки и преподносится как единое целое, контроль проводится по предварительной подготовке уч-ся.

Цели:

1. Расширить и систематизировать знания учащихся
2. Рассмотреть приёмы и методы решения уравнений и неравенств, содержащих параметр
3.  Направить на  углубленное изучение предмета и овладение его содержанием на повышенном уровне сложности
4. Приобрести в рамках предпрофильной подготовки навыки решения задач, содержащих параметры.

Задачи:

Обучающие:

1. расширение и углубление сложности задач, решаемых учащимися.

Развивающие:

1. развитие логического мышления, интуиции, познавательных и творческих способностей учащихся,
2. развитие умения анализировать ситуацию, разрабатывать способ решения, проводить рассуждения, обоснования.

Воспитательные:

1. повышение интереса к математике,
2. расположение к самостоятельной организации работы.

Формы и методы работы:

1. Использование приёмов, активизирующих работу школьников свободный выбор заданий для самостоятельной работы, дифференцированные задания для домашней  работы;
2. Использование групповых форм работы;
3. Формой контроля   обучающая самостоятельная работа, итоговое тестирование, исследовательская работа.

Ход урока:

1. Постановка цели урока.
2. Актуализация знаний, умений и навыков.

Учитель: Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению уравнений, содержащих параметр.

Решить уравнение (неравенство) с параметром – это значит установить соответствие, позволяющие для любого значения параметра найти соответствующее множество решений уравнения (неравенства).

3. Изложение материала.

Можно выделить различные типы уравнений и неравенств с параметром:

Линейные уравнения и неравенства.  (1 блок)

Рассмотрим примеры решения:

1. Решить уравнение: ax=2x+5.

Переносим неизвестные слагаемые в левую часть и приведём подобные слагаемые: (a–2)x=5.

Чтобы найти корни необходимо поделить уравнение на (a–2), при а=2, выражение а–2=0, т. к. делить на нуль нельзя, то  данное уравнение имеет решение только при :

Ответ: при а=2 решений нет, при :;

2.При каком значении параметра  а  уравнение 2а(a–2)x= а–2  не имеет  решений?

Решений  не имеет уравнение 0·х=b, где . Поэтому  2а(a–2)=0, а , отсюда следует, что а=0

Ответ: а=0

3. При каком значении параметра а уравнение (а2–4)х=а2+а–6  имеет бесконечно много решений?

 Уравнение будет иметь бесконечно много решений при:

Решив первое уравнение системы, получим а1,2=. Корни 2-го уравнения: а1=–3, а2=2.

Таким образом, одновременно оба равенства обращаются в 0 при а=2

Ответ: а=2

4. Задания для самостоятельного решения с последующей самопроверкой.

Учащимся на выбор предлагаются задания. Каждый выбирает любые 1–2 или несколько заданий для решения.

1. При каком значении параметра  а  уравнение 2а(a–2)x= а–2 имеет бесконечно много решений?
2. При каком значении параметра  (а2–4)х=а2+а–6  уравнение  не имеет решений?
3. Решить  неравенство ax<2x+5 при всех значениях параметра а.
4. При каком значении параметра а неравенство 2aх<1–х выполнятся при любых значениях х?
5. При каком значении параметра a неравенство a2 x< а + x не имеет решений?

Обсуждение решений вместе с учащимися. При необходимости проверить с помощью проектора. Оформить решения в виде слайдов.

5. Изложение материала.

Квадратные уравнения и неравенства. (2 блок)

Число корней квадратного уравнения определяют по знаку дискриминанта:

Если D>0 то уравнение имеет два различных корня;

Если D=0 то уравнение имеет один  корень (или два совпадающих);

Если D<0 то уравнение не имеет корней;

Это правило используется и при решении квадратных уравнений и неравенств, содержащих  параметр.

1.  При каких значениях параметра а уравнение 4x2–4ax+1=0 имеет два корня?

Найдем дискриминант исходного выражения.

D=16а2–4·4·1=16а2–16; Так как уравнение имеет два корня, не обязательно различных, то D=16а2–16≥0, а2–1≥0

Ответ: а

2.При каких значениях параметра b уравнение(b-1)x2+(b+4)x+b+7=0 имеет один корень?

При b=1 уравнение становится линейным. Подставив  b=1 в исходное уравнение, и получим: 5x +8=0; x=16.

При b1имеем квадратное уравнение. Квадратное уравнение имеет один корень при D=0. Находим дискриминант и приравниваем его к нулю. D=(b+4)2–4(b-1)( b+7)=–3 b2+16 b+44=0.

Решаем уравнение3 b2 –16 b–44=0, находим корни b=2; b=.

Ответ: При b=1; b=2; b= уравнение имеет только один корень.

3.При каких значениях параметра неравенство аx2–4ax+50не имеет решений?

При а=0 получаем:50. Это неверно. Значит при а=0 исходное неравенство не имеет решений.

При аисходное неравенство будет квадратным. Графиком функции у=аx2–4ax+5 является парабола. Чтобы неравенство аx2–4ax+5не имело решений нужно чтобы парабола была полностью расположена выше оси абсцисс. Условия соответствующие данному расположению параболы:

   
Решением системы является промежуток (0;1,25). Объединяя решения получаем ответ.

Ответ:

6. Задания для самостоятельного решения с последующей самопроверкой.

Учащиеся выборочно решают самостоятельно задания:

1.При каком значении параметра  а  уравнение x2–ax+16=0 не имеет корней.

2. При каких значениях параметра b уравнение(2b–5)x2–2(b–1)x+3=0 имеет два различных корня?

3.При каких значениях а неравенство x2–(a+2)x+8а+1>0не имеет решений?

4. При каких значениях а неравенство x2–(a+2)x+8а+1>0 выполняется при любых значениях х?

Обсуждение решений. При необходимости проверка решений с помощью проектора. Решения оформить я в виде слайдов.

7. Изложение материала

Применение теоремы Виета. (3 блок)

1.Найти все значения параметра b при которых уравнение x2–2bx+b+6=0 имеет положительные корни?

Пусть x1 и x2–корни уравнения, тогда по теореме Виета x1+ x2=2b и x1 x2= b+6.  Имеем систему неравенств:                   

Решением системы неравенств будет промежуток  

Ответ:bуравнение имеет положительные корни.

2.Найти  все значения p, при которых разность корней уравнения x2+px+12=0 равна 1.

Пусть x1 и x2–корни уравнения, тогда по теореме Виета  имеем систему:

Из первого и третьего уравнений выразим параметр p и подставим во второе уравнение:

Решаем квадратное уравнение:; 1– p2=–48; p2=49;Уранение имеет два корня 7 и –7

Ответ: p= разность корней равна 1.

8. Задания для самостоятельного решения с последующей самопроверкой.

1.Найти все значения параметра b при которых уравнение x2–2bx+b+6=0 имеет отрицательные  корни?

2. Найти все значения параметра b при которых уравнение x2–2bx+b+6=0 имеет корни разных знаков?

3. Найти  все значения p, при которых разность корней уравнения 2x2–px+1=0 равна 1.

Обсуждение решений. При необходимости проверка решений с помощью проектора. Решения оформлены на слайдах.

9. Создание проблемной ситуации.

Учитель: Теперь исследуем расположение корней квадратного уравнения в задачах с параметром.

На экране запись:f(x)=ax2+bx+c

–Какую информацию о графике функции можно получить, зная коэффициенты квадратного трёхчлена?

Дети отвечают:

–если а0, то ветви параболы направлены вверх, если а<0, то ветви параболы направлены вниз

– если а=0, то графиком будет являться не парабола, а прямая и соответствующее уравнение нужно решать как линейное;

–если  D>0, то парабола  пересекает ось абсцисс в 2-х точках

–если  D<0, то парабола  не пересекает ось абсцисс

–абсцисса параболы равна

Эти свойства используются нами при решении задач о расположении корней квадратного уравнения относительно заданных точек.

Задача: При каких значениях параметра  а оба корня  уравнения  x2–ax+7=0 меньше 7.

Учитель: Попробуйте схематически изобразить параболу записать необходимые условия соответствующие этому расположению параболы. Учащиеся пытаются составить соответствующую систему неравенств и схематически изобразить график.

Проверка с помощью проектора                                                                                 y

                                                                                                                                                      7           x

Решаем соответствующую систему неравенств. Учащиеся самостоятельно находят решение системы неравенств. Сверяют ответы.

Ответ: При а оба корня уравнения меньше 7.

Учитель:  Решим ещё одну подобную задачу:

Задача: При каких значениях параметра  а число 7 находится между корнями уравнения  x2–ax+7=0 ?

Учитель: Попробуем схематически изобразить график и составить соответствующую систему неравенств.

Проверка с помощью проектора:         y

                                                                                7                           x 

      Находим решение системы неравенств.                                                                          

          Ответ: При а  8  число 7 находится между корнями уравнения.    

10. Итог урока.

Учитель: Сегодня на уроке мы разобрали основные приёмы решения линейных и квадратных уравнений и неравенств, содержащих параметр, научились использовать теорему Виета при решении задач с параметрами, научились получать геометрическую интерпретацию задачи с параметром, составлять подходящую систему неравенств. Для решения данной задачи.

11. Домашнее задание.

Домашнее задание состоит из 3-х разделов, различного уровня сложности.

Учащиеся получают домашнее задание на карточках. Достаточно выполнить любые 6 заданий. При оценивании работы учитывается раздел уровня сложности, из которого были решены задачи.

Анализ усвоения материала учащимися.

Учащиеся проявляют интерес к предложенной теме, так как задачи с параметрами нечасто встречаются при изучении курса алгебры 7–9 классов. Решение задач с параметрами вызывает большие трудности, так как их изучение не является отдельной составляющей школьного курса математики. Трудности при изучении данного вида заданий связаны со следующими их особенностями: обилие формул и методов, используемых при решении уравнений и неравенств данного вида; возможность решения одного и того же уравнения, содержащего параметр различными методами.

Материал  урока позволил обобщить и систематизировать задачи с параметрами, встречавшиеся ранее в курсе алгебры 7–9 классов. Были выработаны навыки решения простейших линейных и квадратных уравнений и неравенств, содержащих параметр. Учащиеся получили представление о разнообразии задач такого рода и разнообразии методов их решения, научились использовать при решении графические представления. Знакомясь условием задачи, научились применять теоретические разделы математики, необходимые для решения данной задачи.

Эти навыки  безусловно будут полезны в первую очередь учащимся в рамках предпрофильной подготовки особенно тем, кто ориентирован на профиль обучения, связанный с математикой.