Решение квадратных уравнений с параметрами в 9 классе
методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме

Слайд 1

Решение квадратных уравнений содержащих параметры в 9 классе.

Слайд 2

При решении задач с параметрами приходится всё время производить несложные, но последовательные рассуждения, составлять для себя логическую схему решаемой задачи. Поэтому такие задачи – незаменимое средство для тренировки логического мышления. Их решение позволяет намного лучше понять обычные, без параметров, задачи. А привычка к математическим рассуждениям очень полезна при изучении высшей математики и использовании полученных знаний впоследствии.

Слайд 3

Для квадратного уравнения a в ыделяем три случая: 1. Если D= - 4 ac < 0, то действительных решений у квадратного уравнения нет. 2. Е сли D = решение квадратного уравнения принимает вид 3. Если D = то квадратное уравнение имеет два корня и для этих корней справедливо соотношение =

Слайд 4

1. Важную роль при решении задач с параметром для квадратных уравнений играет теорема Виета . Для квадратного уравнения a , а - корни уравнения (случай D ≥0), выполнено равенство a )(х - ). Отсюда вывод теоремы Виета: + = - = .

Слайд 5

2. Второе важное замечание состоит в том, что при решении задач, сводящихся к исследованию квадратных уравнений, нужно помнить о геометрической интерпретации квадратного уравнения a , где ( ; ) – координаты вершины параболы. При а >0 ветви параболы направлены вверх, причем абсцисса вершины параболы является точкой минимума. При а <0 ветви параболы направлены вниз, причем абсцисса вершины параболы является точкой максимума.

Слайд 6

Пример 1 . ( ЕГЭ, 2005, ). При каких значениях а функция у = имеет максимум при х = 4? Решение . Исходную функцию представим в виде у = . Поскольку 2>1, то данная функция монотонно возрастает и максимум данная функция достигает в той точке, что и у квадратичной функции f(x) = - + ax + 7. У этой параболы ветви направлены вниз, следовательно, максимум достигается в вершине параболы, т.е. в точке = . Согласно условию = 4, следовательно a = 8. Ответ: а = 8.

Слайд 7

Пример 2 . Решите уравнение (а – 1 ) + 2(2a + 1)x +(4a + 3) = 0. Решение . По виду это уравнение представляется квадратным. Но (внимание!) значение параметра а нам неизвестно, и оно вполне может оказаться равным 1; в этом случае коэффициент перед обращается в нуль и уравнение становится линейным. Квадратные и линейные уравнения решаются по разным алгоритмам. Итак нам надо рассмотреть два случая: а = 1 и а ≠ 1.

Слайд 8

Пусть а =1, тогда уравнение принимает вид: 0· Решив это уравнение , получаем: х = - . Частичный ответ : если а = 1, то х = - .

Слайд 9

Пусть а ≠ 1. Мы имеем квадратное уравнение (а – 1 ) + 2(2a + 1)x +(4a + 3) = 0 . Найдем его дискриминант: D =( - Итак, D = . Дальнейшие рассуждения зависят от знака дискриминанта. Если D <0 , то квадратное уравнение не имеет действительных корней; если D = 0 , то уравнение имеет один корень; если D >0 , то уравнение имеет два корня. Дискриминант обращается в нуль при а = - , положителен при а > - , отрицателен при а < - . Именно эти три случая нам предстоит теперь рассмотреть .

Слайд 10

Пусть а < - квадратное уравнение не имеет корней. Частичный ответ : при а < - корней нет. Пусть а > - (но, напомним а ≠ 1). В этом случае дискриминант больше нуля и квадратное уравнение имеет два корня, которые мы найдем по формуле корней квадратного уравнения: = Частичный ответ : при а > - ( а ≠1) =

Слайд 11

Осталось рассмотреть случай, когда а = - . Используя формулу корней квадратного уравнения, получаем = = - . Частичный ответ : при а = - , х = - . Ответ: если а =1, то х = - если а = - , то х =- если а > - ( а ≠1 ), то = если а < - корней нет.

Слайд 12

Пример 3. При каких значениях параметра а корни уравнения - Решение. Если а = 0, то уравнение примет вид 2 х – 2 = 0. Корень этого уравнения будет х = -1. Этот корень удовлетворяет условию x <1. Частичный ответ: при а = 0, х = - 1 .

Слайд 13

Если а ≠0, то заданное уравнение является квадратным. График функции у= f(x) , где f(x)= - 2x-3a-2 является парабола с ветвями вверх, если 2 а > 0, и ветвями вниз, если 2а < 0. Поскольку корни этого уравнения, по условию, должны быть меньше 1, то парабола на координатной плоскости должна располагаться как показано на рис. 1 ( для 2 а > 0) или на рис. 2 (для 2а < 0).

Слайд 15

Дадим аналитическое описание геометрической модели, представленной на рис.1. Во-первых, напомним, при 2 а > 0 ветви параболы направлены вверх. Во-вторых, парабола обязательно пересекается с осью Ох ( в крайнем случае касается её), иначе у квадратного уравнения не будет корней. Корни есть, значит дискриминант не отрицателен. В-третьих, в точке х =1 имеем f(1)>0. В четвертых, < 1 .

Слайд 16

Итак получаем систему неравенств – аналитическую модель, дающую описание геометрической модели, представленной на рис.1.

Слайд 17

Аналогичные рассуждения позволяют составить вторую систему неравенств – аналитическую модель, дающую описание геометрической модели, представленной на рис. 2:

Слайд 18

Решим первую систему неравенств. Найдем дискриминант. D =4-4·2 а ·(-3а-2)=24 +16 a +4. Найдем f(1). f (1)=2 a · -2·1-3 a -2=- a -4. Найдем = . Так как , получаем: a Таким образом, первая система неравенств имеет следующий вид :

Слайд 19

Эта система не имеет решений, поскольку из первого её неравенства получаем а >0, а из третьего получаем а < - 4, что не может одновременно выполняться ни при каких значениях а . Вторая система неравенств имеет следующий вид:

Слайд 20

Сразу обратим внимание на то, что квадратный трехчлен имеет отрицательный дискриминант ( D= - 4·4 24 < 0) и положительный старший коэффициент. Значит при всех значениях а выполняется неравенство 24 + 16 a +4>0 , а потому квадратное неравенство в данной системе неравенств можно отбросить. Далее имеем: Решением данной системы является -4 < a <0.

Слайд 21

Итак, мы нашли все интересующие нас значения параметра а: а=0; -4

Слайд 22

Пример 4 . Какие значения может принимать сумма квадратов действительных, различных корней уравнения +2 ax +2 - 2 – 12 =0? Решение. Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, когда дискриминант больше нуля. Решим неравенство D >0. -4 -2-12)>0, п олучаем а (-3;4). По теореме Виета + = -2a ; · =2 - a -12. Следовательно, + = ( -2 = 2 a +24. Т.к. a О твет :

Слайд 23

Вывод: основой для усвоения материала является здравый смысл ученика, а не только и не столько его предварительные знания. Спасибо за внимание .