Для работы на уроках
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Тема доклада:

«Отработка вычислительных навыков в старших классах»

Подготовила Кручинина В.Б.

2010 год

Согласно программе по математике школьники 9 - 11 классов уже овладели способами вычислений с многозначными числами, с обыкновенными и десятичными дробями, с приближёнными значениями величин. В 9х классах наряду с навыками выполнения устных и письменных вычислений рассматриваются приёмы работы с таблицами, калькулятором. Это значит, что учащиеся должны овладеть определённым уровнем вычислительной культуры, дальнейшее развитие которой будет вестись в направлении формирования более сложных умений. К ним относятся умения спланировать вычислительную работу, организовать необходимые вычисления и выполнить их, используя подходящие вычислительные средства.

Однако контрольные опросы учащихся, письменные контрольные работы по алгебре в 9 классе, алгебре и началам анализа в 10 и 11 классах, геометрии, физике, химии, другим учебным предметам показывают недостаточный уровень развития вычислительных умений старшеклассников.

При обучении в старших классах встречаются все виды вычислений: устные, письменные, с помощью таблиц, калькулятора. Каждый из них применяется в сочетании с другими в зависимости от сложности вычислительной части заданий. Существенно то, что затруднения в вычислениях отвлекают учащихся от понимания изучаемого материала,   т. е. фактически мешают учиться. Иногда учащиеся не могут выполнить преобразование, решить уравнение или неравенство, построить график функции, воспроизвести теоретические выкладки из-за того, что допускают ошибки в простейших устных вычислениях.

Так при отыскании производных функций  х-6, х,  и т. п. Некоторые неправильно выполняют действия с целыми числами и обыкновенными дробями. При решении иррационального уравнения (например,  ), где целесообразно часть вычислений выполнять устно, учащиеся затрудняются при возведении чисел в квадрат, при умножении и сложении чисел, в прикидке знака значения числового выражения.

Важность владения устными вычислениями не ослабевает даже в работе с калькулятором, так как они окажутся полезными для прикидки ожидаемого результата, для ускорения работы при устном выполнении некоторых операций. Эти факты говорят о необходимости усиления  внимания к совершенствованию вычислительных навыков учащихся старших классов. Приведу примеры навыков, которые помогают организовать эту работу на уроках алгебры и начал анализа.

При знакомстве учащихся с новым материалом важно сосредоточить их внимание на сути изучаемого вопроса. Этому способствует устранение отвлекающих факторов, в частности громоздких вычислений. При введении новых понятий, подведении к новым утверждениям, при рассмотрении примеров только что изученной теории целесообразно ограничиться минимально необходимыми вычислительными выкладками. Только по мере усвоения учащимися учебного материала могут вводиться упражнения, требующие более сложных вычислений. Так при отработке алгоритма отыскания экстремумов функции желательно обращаться к упражнениям, требующим незначительных вычислений, легко выполняемых устно. Например, при нахождении экстремумов функции    легко вычислить устно критические точки и экстремумы функции. Исследование функции  на отрезке  потребует несколько более сложных вычислений, которые также выполняются устно. При решении задач на применение производной встречаются вычисления, выполняемые письменно или с помощью доступных вычислительных средств.

В целях экономии учебного времени иногда приходиться отказываться от завершения на уроке работы, связанной с получением числового результата. К сожалению, это сказывается отрицательно не только на вычислительных умениях учащихся, но и на отношении к выполняемой работе. Для разгрузки вычислительной работы в классе можно поручить учащимся подготовить некоторые предварительные расчёты дома. Тем самым можно не только обеспечить полное решение задачи, но и проконтролировать уровень вычислительных умений отдельных учащихся. Так, для построения графика функции  потребуется найти точки экстремума, отыскание которых сводится к решению уравнения   и вычислению значений функции при найденных  и .  При этом могут возникнуть значительные вычислительные трудности. Поэтому, если задание предполагается выполнять  на уроке, то с целью экономии учебного времени рекомендуется предусмотреть в домашней работе индивидуальные задания к данному уроку: одному учащемуся можно поручить найти корни уравнения  с точностью до 0,1 , другому – вычислить значения функции  в точках  и  с точностью до 0,1 , нескольким учащимся можно поручить вычислить значения рассматриваемой функции в заданных точках для возможной коррекции графика.

Наряду с упражнениями, имеющимися в учебнике, целесообразно предлагать учащимся ряд новых заданий для иллюстрации приёмов решения вычислительных задач. В ходе их выполнения учащиеся смогут проявить вычислительные умения и приобрести новые. Однако чрезмерное увлечение такими заданиями может привести к неоправданной затрате учебного времени, что нанесёт ущерб изучению всего курса в целом. Поэтому отбор подобных заданий для решения в классе должен производиться в рамках рассмотрения программных вопросов. Например, при выводе формулы НЬЮТОНА-Лейбница показано, что площадь криволинейной трапеции может быть найдена приближённо суммированием площадей прямоугольников, заполняющих определённым образом криволинейную трапецию. Для подтверждения этого теоретического факта представляет интерес рассмотрение конкретного примера. Здесь желательно обратить внимание учащихся на то, что рассматриваемый подход к вычислению интеграла известен в вычислительной математике как метод прямоугольников. Пусть, к примеру, требуется вычислить значение интеграла  методом прямоугольников, разбивая отрезок на 10 равных частей. Точками разбиения будут:  Согласно формуле

Если же вычисления провести по формуле

                                   , то получим

Геометрически ясно, что площадь в первом случае найдена с избытком, а во втором – с недостатком, поэтому значение интеграла можно получить как среднее арифметическое первого и второго результатов:

Следует заметить, что рассматривалась площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой  и осями координат, т.е. площадь четверти круга с радиусом, равным 1, которая, как известно, равна . Используя знание этого факта, можно предложить учащимся вычислить погрешности полученных результатов. Выполнение подобных заданий потребует от учащихся умений составить план проведения вычислений, в соответствии с ним выполнить вычисления, используя при необходимости доступные вычислительные средства, оценить точность результатов, проверить правильность ответа. Задания на вычисление интеграла методом прямоугольников или методом трапеций, например  можно использовать при организации групповой работы учащихся. Целесообразно также большую по объёму, но однородную по трудности работу распределять между отдельными учащимися или их группами. Если же одно и то же задание выполняется разными способами, то такое распределение позволит сравнить результаты, а так же подвести итог выполнения задания. Так, по группам целесообразно организовать вычисление интеграла, значение которого может быть найдено как по формуле Ньютона-Лейбница, так и приближёнными методами.

  В старших классах получают дальнейшее развитие умения в организации вычислений. Учащиеся должны уметь обращаться с таблицами и калькулятором, применять их в вычислениях с учётом требований к точности итоговых результатов, выполнять проверку вычислений, поэтому в системе упражнений следует предусмотреть задания на отработку соответствующих навыков.    

Особую роль устные вычисления и приемы играют при подготовке к ЕГЭ в новой форме 2010-13 года, где все задачи группы В носят практический и прикладной характер. Учащиеся, овладевшие этими приемами, реже допускают ошибки, умеют оценивать конечный результат.