Готовимся к олимпиаде. Инварианты.
олимпиадные задания по алгебре по теме

Готовимся к олимпиаде

Тема.  Инварианты.

Цели. Познакомить учащихся с олимпиадными задачами на инварианты и их решениями.

Ход. Выступление учителя. Инвариантом некоторого преобразования называется величина или свойство, не изменяющее при этом преобразовании.

Например: а) отношение линейных размеров подобных фигур,

                   б) разность арифметической прогрессии,

                   в) величина вписанного угла, опирающегося на одну и ту же дугу,

                   г) разница в возрасте двух людей в течении всей жизни.

 Решение некоторых задач.

1. Сегодня Петя и его дедушка справляют день своего рождения. Сегодня дедушка в 3 раза старше своего Пети. Были дни рождения, когда дедушка был старше в 4, 5, 6 и даже 7 раз. Сколько лет сейчас дедушке?

         Решение.

         Здесь инвариант - разница в возрасте Пети и дедушки. Обозначим его через р. А возраст Пети сегодня через а, тогда 3а-а=р, 2а=р.

    Обозначим возраст Пети через в, с, д и е соответственно, когда дедушка был старше  в 4, 5, 6, и 7 лет. Тогда получим 4в-в =р, , 5с-с=р, 6д д=р, 7е-е=р, то есть 3в=р, 4в=р, 5д=р, 6е=р. Значит число р является кратным чисел 2, 3,  4, 5 и 6. Тогда р=60, 120, 180, ... . Но разница в возрасте не может быть числом равным 120, 180 , … . Значит р =60. 2а=60, а=30. Значит внуку 30 лет, а деду - 90.

   Ответ: 90 лет.

     2. В некотором государстве было 10 банков. С момента перестройки общества все захотели стать банкирами. Но по закону открыть банк можно только путем деления уже существующего банка на 4 . Через некоторое время министр финансов сообщил президенту, что в стране действует 1998 банков, после чего был немедленно уволен за некомпетентность. Что не понравилось президенту?

Решение.

Заметим, что в результате превращения одного старого банка в четыре, появляются 3  новых.  Общее количество банков увеличится на 3. Таким образом, в любой момент времени число банков равно Б = 10 + 3 k и остаток от деления числа банков на 3 постоянен, и равен 1. А при делении числа 1998 на 3 остаток получится равной 0.

3. Найдите двузначные числа п, чтобы числа 123, 231, 312 имели Одинаковые остатки при делении на п..

Решение.  Инвариант в этой задаче – разность чисел делится на п.

231-132=108, 312-231=81, 312-123=189. Разности чисел: 108, 81, 189. Их общие делители 3, 9, 27. Только одно из этих чисел, число 27, является двузначным.

     Ответ: 27.

4. Существует ли такое натуральное число к, для которого выполняется равенство: 1!+2!+3!+4!+…+к!=20142.

 Решение.

1!=1,

2!=1∙2=2,

3!=1∙2∙3=6,

4!=1∙2∙3∙4=24,

5!=1∙2∙3∙4∙5=120,

6!=1∙2∙3∙4∙5∙6=…0,

       …,

к!= 1∙2∙3∙4∙5∙…∙к=…0.

 Тогда последняя цифра суммы 1!+2!+3!+4!+…+к! (где к≥5), оканчивается цифрой 0 –это инвариант. Так как 20142 больше 1!+2!+3!+4!+5!=153, и 20142 не оканчивается цифрой 0 (оканчивается цифрой 6), то равенство 1!+2!+3!+4!+…+к!=20142 не верно ни при каких значениях к.

 Ответ: такого числа к не существует.