Задания для устной работы по теме "Тригонометрические функции"
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Покропаева О.Б.

учитель математики

ГБОУ СОШ №47 г. Санкт-Петербург

Задания для устной работы по теме

«Тригонометрические функции»

Одной из главных особенностей осуществляемого в настоящее время преобразования школьной системы образования является его нацеленность на всестороннее развитие личности каждого ученика. А это требует коренного обновления прежних форм, методов, средств обучения, характерных для уроков, главной целью которых является научить школьников еще одному способу решения какого-либо типа задач или ознакомить их с еще одним, никак "не связанным" со всеми предыдущими, новым понятием.

Главной целью школьного математического образования должно быть развитие не шаблонного, а логического, творческого мышления учащихся. А основным средством достижения этой цели являются задачи. Собственно, одно из основных назначений задач и упражнений и заключается в том, чтобы активизировать мыслительную деятельность учеников на уроке. Математические задачи должны прежде всего будить мысль учеников, заставлять ее работать, развиваться, совершенствоваться.

Вот почему целью настоящей работы было создание системы устных заданий для изучения темы "Тригонометрические функции", которые удовлетворяли бы всем вышеуказанным требованиям.

В учебнике "Алгебра-10" (Алимова Ш.А.)  большее число задач ориентировано на вычислительную деятельность для ответа, тогда как задачи с элементами исследования и задачи на усвоение математических понятий представлены в недостаточном количестве. В связи с этим мною была разработана система устных заданий, дополняющих задачи учебника, по наиболее содержательно богатым разделам темы "Тригонометрические функции", которая представлена в работе. К каждому заданию системы приводятся методические комментарии (в каких учебных ситуациях его целесообразно использовать, в том числе, учитывая профильную дифференциацию).

Задания для устной работы и методические комментарии к ним

Одним из средств, способствующих лучшему усвоению математики, являются устные задания (не путать с устным счетом). С их помощью учащиеся отчетливее понимают сущность математических понятий, теорем, математических преобразований.

Устные задания активизируют мыслительную деятельность учащихся, развивают внимание, наблюдательность, память, речь, быстроту реакции, повышают интерес к изучаемому материалу. Они дают возможность изучить большой по объему материал за более короткий промежуток времени, позволяют учителю судить о готовности класса к изучению нового материала, о степени его усвоения, помогают выявлять ошибки учащихся.

Проводимые в начале урока устные упражнения помогают учащимся быстро включаться в работу, в середине или конце урока служат своеобразной разрядкой после напряжения и усталости, вызванной письменной или практической работой. В ходе выполнения этих заданий учащиеся чаще, чем на других этапах урока получают возможность устно отвечать, что, в свою очередь, способствует формированию их грамотной математической речи. При этом они сразу проверяют правильность своего ответа. В отличие от письменных заданий содержание устных таково, что решение их не требует большого числа рассуждений, преобразований, громоздких вычислений. Но между тем они отражают важные элементы курса.

При организации устных фронтальных упражнений, с целью экономии времени на уроке, целесообразно использовать проектор или другую мультимедийную технику.

Здесь будет представлена система устных заданий, дополняющих задачи учебника, по наиболее содержательно богатым разделам темы "Тригонометрические функции". К ним можно отнести:

1. Поворот точки вокруг начала координат.

2. Определения синуса, косинуса и тангенса.

3. Формулы приведения.

4. Простейшие тригонометрические уравнения  и неравенства.

5. Исследование тригонометрических функций.

6. Преобразования графиков тригонометрических функций.

7. Обратные тригонометрические функции.

8. Производные тригонометрических функций

Эта система включает в себя:

- качественные вопросы;

- задачи.

Первые могут быть использованы не только для фронтальной устной работы, но и для самостоятельной индивидуальной и групповой работы.

Предлагаемые задания могут быть использованы учителем и при подготовке к изучению нового материала, и при первичном ознакомлении, закреплении, и при ликвидации пробелов в знаниях учащихся.

При построении задач системы часто использовались обратные задачи, когда по решению нужно представить объект. Например, по решению уравнения сконструировать само уравнение. Такие задачи будут способствовать лучшему осознанию учащимися рассматриваемых понятий.

Кроме того, во многих задачах используются наглядные образы, что тоже дает возможность воспринимать изучаемый объект как целостное явление и как совокупность его свойств. Это тоже должно способствовать лучшему осознанию изучаемых понятий, свойств, явлений.

Задания, составляющие систему, соответствуют разному уровню сложности. Сложность задания указывается заглавными латинскими буквами А, В или С. Соответственно задание с индексом С имеет самый высокий уровень сложности.

Задания в системе представлены в соответствии с выделенными ранее разделами. И для заданий каждого раздела приводятся методические комментарии (в каких учебных ситуациях их целесообразно использовать, в том числе, учитывая профильную дифференциацию).

1. Поворот точки вокруг начала координат

Качественные вопросы:

1. На какой вопрос следует дать утвердительный ответ:

    а) Может ли величина   АОВ быть равной 2    радиан ?

    б) Может ли величина дуги АВ быть равной 0 радиан ?

    в) Верно ли, что R11π= R-10π ?

    г) Верно ли, что   R9π= R-7π ?

2. Какое из высказываний ложно:

    а) Если  t2 = t1+π, то ординаты точек  Pt2 и Pt1 -  противоположные числа.

    б) Если  t2 = t1+π, то абсциссы точек  Pt2 и Pt1  - противоположные числа.

    в) Если  t1 = π-α, t2 = π+α, где α  , то ординаты точек  Pt1  и Pt2  - противоположные числа.

     г) Если точки    Pt1  и Pt2  совпадают, то числа  t1  и  t2    равны.

Устные задания:

3. Определите координаты точек единичной окружности:

    а) Р90   ; б) Р180   ; в) Р270   ; г) Р-90   ; д) Р-180   ; е) Р-270   .

4. Пусть А(1;0), В(0;1), С(-1;0), Д(0;-1). Какая из данных точек получена поворотом точки (1;0) на угол:

   а) 450o ; б) 540o ; в) -720o ?

Комментарии:

Задания 3 и 4 (сложности А) носят тренировочный характер и могут быть предложены учащимся сразу после изучения данной темы. Кроме того, задание 3 может быть использовано при подготовке к изучению темы "Определения синуса, косинуса и тангенса" в начале урока (если определения вводятся с помощью единичной окружности).

Вопросы 1 и 2 - сложности С - поэтому их нецелесообразно выносить на устную фронтальную работу в общеобразовательном классе. Но их можно использовать в качестве дополнительных вопросов на обобщающем уроке темы "Элементы тригонометрии". Однако в математическом классе такие вопросы можно использовать при фронтальной работе с учащимися сразу после изучения темы.

2. Определения синуса, косинуса и тангенса

Качественные вопросы:

1.  Может ли синус угла быть равным:

       а) -3,7;  б) 3,7;  в) ;  г)  ?

2.  Может ли косинус угла быть равным:

       а) 0,75;    б)  ;   в) -0,35;    г)    ?

3. При каких значениях а и b справедливы следующие равенства:

        cos       sin         tg

        sin         ctg        cos  ?

4. Возможны ли равенства:

        2 - sin=1,7                   tg

                         ?

Устные задания:

5. Глядя на рисунок, определите букву, которой соответствует:

   а) sin 220o                                                                                                                                      

       cos

  б)                                                              cos 80o               sin80o

                                                                   cos (-280o)         sin800o 

                                                                   cos 380o             sin (-340o)

Комментарии:

Задания 1-5 (сложности соответственно А, А, С, В, В) целесообразно предлагать учащимся сразу после введения определений основных тригонометрических функций на единичной окружности. Задание 3 может вызвать трудность у учащихся общеобразовательного класса в связи с тем, что надо оперировать параметрами а и b, поэтому его не стоит выносить на устную фронтальную работу, но можно, разобрав один пример на доске, включить указанное задание в письменную работу на уроке.

Методическая ценность задания 5,а состоит в множественном выборе правильного ответа. Задание 5,б, кроме указанной темы, может быть использовано при подготовке к изучению темы "Формулы приведения":

cos 80o = cos(80o-2π) = cos(-280o)

sin 80o = sin(80o+4π) = sin 800o

В связи с наглядностью и доступностью задания 5 его можно использовать при работе с гуманитарным классом.

3. Формулы приведения

Устные задания:

1. Найдите α, если   0o<α<90o    и  

   а)  sin 182o = - sin α;             б)  cos 295o = cos α.

2. Найдите несколько значений  α, если:

а)   sin α = sin 20o;   б)  cos α = - cos 50o;  в)  tg α =  tg 70o.  

Комментарии:

Предлагаемые задания (сложности В) предполагают использование формул приведения в нестандартной ситуации. В связи с этим, указанные задания могут быть предложены учащимся на этапе закрепления данной темы. Кроме того, их можно использовать при изучении темы «Периодичность». Для гуманитарного класса задания 1,2 можно упростить, используя единичную окружность:

Аналогично 1, а).                                Аналогично 2, б), в).

4. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

Устные задания:

1.1. Назовите хотя бы одно уравнение, решением которого являются числа:

       а)    πn, n ;             в) ;               д)     π+2πn, n 

       б)   2πn, n;            г)   ;                        

1.2. Решения каких тригонометрических уравнений изображены на следующих схемах:

2. Является ли число  π   корнем уравнения:

   а)   ;                  б)   ?

3. Запишите с помощью неравенств множество всех точек x, лежащих на дуге:

        а) BmC  ;   в) BCD;

        б) CnD  ;   г)  CDA.

4. Решения каких тригонометрических неравенств изображены на следующих схемах:

Комментарии:

Задания 1.1, 1.2 (сложности А) носят репродуктивный характер и могут быть использованы для контроля знаний учащихся после изучения темы "Простейшие тригонометрические уравнения". Для гуманитарного класса целесообразнее использовать задание 1.2 ввиду его наглядности. Задание 1.2 является обратным к заданиям типа: "Решить уравнение:  sin x = -1, имеющимся в учебниках. Оно формирует у учащихся умение читать подобные схемы и раскрывает смысл тригонометрических уравнений на единичной окружности.

Задание 2 (сложности В) можно использовать при первичном закреплении указанной темы в математическом классе или на обобщающем уроке в общеобразовательном (или гуманитарном) классе.

Задание 3 (сложности А) можно предложить учащимся в начале урока, непосредственно пред изучением темы «Простейшие тригонометрические неравенства».

Задание 4 (сложности В) является обратным к заданиям типа: «Решить неравенство:  sinx ≤ 0,5», имеющимися в учебниках, оно формирует у учащихся умение читать подобные схемы и раскрывает смысл тригонометрических неравенств на единичной окружности. С таких заданий можно начинать изучение темы «Тригонометрические неравенства» как в гуманитарном, так и в математическом классах.

5. Исследование тригонометрических функций.

5.1. Периодичность.

Качественные вопросы:

1. Может ли данный промежуток (или объединение промежутков) являться областью определения периодической функции:

а) (-;                в) ;                д)  ?

б) ;                 г) ;

2.  Верно ли утверждение:

а) периодическая функция может иметь конечное число периодов;

б) если число Т – период функции f(x), то число 2Т также период этой функции;

в) если Т1 и Т2 – периоды функции f(x), то число Т1 + Т2 также период этой функции ?

Укажите ложное высказывание:

а) возрастающая функция не может быть периодической;

б) убывающая функция не может быть периодической;

в) периодическая функция имеет бесконечное множество корней;

г) у периодической функции не может быть конечного множества корней.

Устные задания:

4. Какая из функций не является периодической:

а)       в)       д) ;

б) ;  г) ;       е)  ?

5. У какой функции наименьший положительный период больше 2π:

а)

б)

в)

г)   ?

6. Определите период функции, график которой изображен на рисунке:

Комментарии:

Вопросы 1-3 (сложности С) могут быть предложены учащимся математического класса сразу после введения понятия периодической функции. Учитель с их помощью может выяснить степень осознания учащимися данного понятия.

Задание 4 (сложности В) носит обобщающий характер и поэтому может быть предложено учащимся обычного класса на обобщающем уроке темы «Периодичность тригонометрических функций».

Задание 5 (сложности С) может быть использовано для устной фронтальной работы только в математическом классе. В общеобразовательном классе это задание следует вынести на письменную работу.

Задание 6 (сложности А) предназначено для учащихся гуманитарного класса. Оно носит тренировочный характер и может быть предложено учащимся сразу после изучения данной темы.

5.2. Чётность

Качественные вопросы:

1. Какое высказывание ложно:

а) сумма двух чётных на R функций есть функция чётная;

б) разность двух четных на R функций есть функция четная;

в) произведение двух четных на R функций есть функция четная;

г) всякая функция либо чётная, либо нечетная.

Устные задания:

2. Укажите график чётной функции:

3. Укажите график нечётной функции:

4. Какая из указанных функций является нечётной:

;                        ;

;                     ?

Комментарии:

Задание 1 (сложности В) может быть использовано учителем на обобщающем уроке темы «Чётность». Оно ещё раз акцентирует внимание учащихся на том, что множество всех функций не разбивается на множество чётных и множество нечётных функций. Кроме того, учащихся математического класса после устной работы, включающей данное задание, можно в качестве упражнения попросить доказать утверждения 1-3.

Задания 2,3 (сложности А) можно использовать и как тренировочное (при первичном закреплении), и как контролирующее в любом из типов классов.

Задание 4 (сложности С) может быть вынесено на устную фронтальную работу только в математическом классе. Причем целесообразно перед ним предложить учащимся задание 1. В обычном или гуманитарном классе это задание следует вынести на письменную работу.

Задание на обобщающий урок по теме

«Исследование тригонометрических функций»

С помощью графиков функций, изображенных на рисунке, ответьте на следующие вопросы:

1. Графики каких тригонометрических функций изображены на рисунке?
2. Каковы значения x, для которых ?
3. Каковы промежутки возрастания, убывания функции?
4. Укажите значения x, при которых функция принимает максимальное, минимальное значения?
5. Обратима ли функция на R? на ? на ?
6. Каков период данной функции?
7. Выясните чётность данной функции.

а)

б)

в)

Комментарии:

Отдельные части (1-6) рассматриваемого (или подобного ему) задания могут быть предложены учащимся в качестве тренировочного устного упражнения при первичном закреплении соответствующих тем. Подобные задания формируют у учащихся навык чтения графика функции и являются хорошей иллюстрацией основных свойств тригонометрических функций.

6. Преобразования графиков тригонометрических функций

Устные задания:

1. С помощью каких преобразований из графика функции  можно получить график функции:

а)  ;          в)   ;          д)   ?

б)  ;          г) ;

Комментарии:

Это задание (сложности В) формирует у учащихся навык преобразования графиков функций вообще, и тригонометрических, в частности. Раскрывает суть понятий: амплитуда, начальная фаза, частота колебаний. В гуманитарном классе подготовительными для такого задания могут служить упражнения типа:

С помощью какого преобразования из графика функции  можно получить график функции  (см. рис.) ?

7. Обратные тригонометрические функции

1. Какие значения может принимать выражение:

а) ;       в) ;      д) ;

б) ;  г) ;   е) ?

Комментарии:

Указанные задания (сложности В) носят тренировочный характер и могут быть предложены учащимся на этапе закрепления темы «Обратные тригонометрические функции». Они акцентируют внимание учащихся на области определения и области значений тригонометрических функций.

8. Производные тригонометрических функций

Устные задания:

1. Графики производных каких тригонометрических функций изображены на рисунке:

Комментарии:

Подобные задания (сложности В) могут быть предложены учащимся на этапе закрепления указанной темы. Но лишь в том случае, если тема «Преобразования графиков функций» была изучена ранее.

Литература

1.  Заочные математические олимпиады./Н.Б.Васильев и др. - М.:Наука, 1981.

3. Алгебра:  Учеб. для 10 кл.   общеобразоват.   учреждений/    

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. - 2 изд.-М.: Просвещение, 2010.

4. Макарычев Ю.Н. и др. О преподавании темы "Тригонометрические выражения и их преобразования" в курсе алгебры 8 класса. - Математика в школе, 1986, №1.

5. Рыбников К.А. Тригонометрия в школе и в системе наук. - Математика в школе, 1984, №6.

6. Цукарь А.Я. Упражнения практического характера по тригонометрии. - Математика в школе, 1993, №3.