Натуральные и целые числа. Делимость целых чисел. НОД и НОК натуральных чисел
презентация к уроку (алгебра, 10 класс) по теме

Слайд 1

Кучаева Гульнара Азатовна , учитель математики МОБУ «СОШ № 73» г. Оренбурга Натуральные и целые числа . Делимость целых чисел. НОД и НОК натуральных чисел

Слайд 2

Определение . Пусть даны два натуральных числа а и b . Если существует такое q , что выполняется равенство a= bq , т о говорят, что число a делится на число b .

Слайд 3

Свойства делимости: Если а с и с b , то a b ; Если а b и с b , то ( a+c ) b ; Если а b и с не делится на b , то ( a +с) не делится на b ; Если а b и (a+ с ) b , то c b ; Если а b 1 и с b 2 , то ac b 1 b 2 ; Если а b и с – любое натуральное число, то a с b с, если a с b с, то а b ;

Слайд 4

7. Если а b и с – любое натуральное число, то a с b ; 8. Если а b и с b , то для любых натуральных n и k справедливо соотношение ( an+ck ) b ; 9. Среди n последовательно натуральных чисел одно и только одно делится на n .

Слайд 5

Основные признаки делимости Число делится (без остатка или нацело) на число 2, если е го последняя цифра четная или 0; Число делится на число 3, если сумма его цифр делится на 3; Число делится на число 4, если две его последние цифры образуют число, которое делится на 4, или являются нулями.

Слайд 6

4. Число делится на число 5, если его последняя цифра 0 или 5; 5. Число делится на число 8, если т ри его последние цифры образуют число, которое делится на 8, или являются нулями; 6. Число делится на число 9, если сумма его цифр делится на 9; 7. Число делится на число 10, если его последняя цифра нуль.

Слайд 7

Простые и составные числа Определение . Если натуральное число имеет только два делителя – само себя и 1, то его называют простым числом ; если оно имеет более двух делителей, то его называют составным числом . Число 1 не является ни простым, ни составным.

Слайд 8

Теорема . Если натуральное число a больше натурального числа b и а не делится на b , то существует, и притом только одна, пара натуральных чисел q и r , причем r < b , такая, что выполняется равенство a = bq+r .

Слайд 9

№ 1 Определите: на какие из чисел 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 15, 18, 20 делится без остатка число 562 320. № 2 Определите , простым или составным является число 87 516 540 321. № 3 Число N дает при делении на 8 остаток 3 . Какой остаток при делении на 8 дает число в четыре раза больше данного?

Слайд 10

№ 4 Два числа при делении на 16 дают остаток 8. Доказать, что разность и сумма этих чисел без остатка делятся на 16. № 5 Разложить на простые множители число 7000 .

Слайд 11

НОД натуральных чисел Определение . Наибольшим общим делителем (НОД) натуральных чисел а, Ь, с, ... называется наибольшее натуральное число , на которое делятся нацело числа а, Ь, с, … Теорема. Если даны два натуральных числа a и p , причем p – простое число, то либо a делится на p , либо a и p – взаимно простые числа.

Слайд 12

Для нахождения НОД чисел а, Ь, с, …: 1) выписывают разложения на простые множители чисел а, Ь, с, . ..; 2) перечисляют все простые множители, входящие во все разложения; 3) каждый из перечисленных множителей возводят в минимальную степень, с которой этот множитель входит в разложения.

Слайд 13

№ 6 Найти наибольший общий делитель чисел 48, 60, 72. Решение: 48 2 24 2 12 2 6 2 3 3 1 60 2 30 2 15 3 5 5 1 72 2 36 2 18 2 9 3 3 3 1 НОД (48, 60, 72) =

Слайд 14

НОК натуральных чисел Оп ределение. Наименьшим общим кратным (НОК) натуральных чисел а, Ь, с , ... называется наименьшее натуральное число , которое нацело делится на эти числа а, Ь, с ,... Теорема. Для любых натуральных чисел a и b справедливо равенство Следствие . Если числа a и b взаимно простые, то НОК( a, b ) = ab .

Слайд 15

Для нахождения НОК Чисел а, Ь, с ,...: 1) выписывают разложения на простые множители чисел а, Ь, с ,...; 2) перечисляют все простые множители, входящие хотя бы в одно из этих разложений; 3) каждый из перечисленных множителей возводят в максимальную степень, с которой этот множитель входит в разложения; 4) произведение полученных степеней простых множителей дает НОК чисел а, Ь, с, …

Слайд 16

№ 7 Найти наименьшее общее кратное чисел 48, 60, 72. Решение: НОК (48, 60, 72) = 48 2 24 2 12 2 6 2 3 3 1 60 2 30 2 15 3 5 5 1 72 2 36 2 18 2 9 3 3 3 1

Слайд 17

56232 0 – четное, значит делится без остатка на 2; 5 + 6 + 2 + 3 + 2 + 0 = 18, 18 делится на 3 и на 9, значит 562320 делится на 3 и на 9; 5623 20 – две последние цифры образуют число 20, которое делится на 4, значит 562 320 делится на 4; 56232 0 – оканчивается на 0, значит 562320 делится на 5 и на 10; Т .к. 562320 делится на 2 и на 3, а числа 2 и 3 – взаимно простые, то 562320 делится на произведение 2 и 3, т.е. на 6; 562 320 – три последние цифры образуют число 320, которое делится на 8, значит 562320 делится на 8; Т.к. 562320 делится на 3 и 5 (3 и 5 – взаимно простые), то 562320 делится на 15; Т.к. 562320 делится на 2 и 9 (2 и 9 – взаимно простые), то 562320 делится на 18; Т.к. 562320 делится на 4 и 5 (4 и 5 – взаимно простые), то 562320 делится на 20.

Слайд 18

Если найдется хотя бы один делитель числа 87 516 540 321, отличный от 1 и самого этого числа, то 87 516 540 321 – составное. 8 + 7 + 5 + 1 + 6 + 5 + 4 + 0 + 3 + 2 + 1 = 42 42 делится на 3, значит и число 87 516 540 321 делится на 3, а значит заданное число является составным.

Слайд 19

Ответ: 4.

Слайд 21

Разложить на простые множители число 7000

Слайд 22

Используемая литература 1. Алгебра.10 класс. Часть 1. Учебник. Профильный уровень. Мордкович А.Г., Семенов П. В .;