Логарифмы. Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) по теме

Слайд 1

МКОУ СОШ с.п.Кара-Суу Черекского района Кабардино-Балкарской Республики Обобщающий урок по теме: «Логарифм. Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства.» Учитель математики Айшаева Фердаус Сулеймановна

Слайд 2

Цель урока: - обобщение и систематизация знаний, навыков и умений по теме. Задачи: - повторить определение логарифма, основное логарифмическое тождество, простейшие свойства логарифмов, определение и свойства логарифмической функции; - закрепить способы решения логарифмических уравнений и неравенств; - развивать вычислительные навыки, навыки самостоятельной работы, самоконтроля, навыки работы с различными источниками информации, а также познавательный интерес к предмету и логическое мышление; - воспитывать информационную культуру учащихся, аккуратность, дисциплинированность. Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, Интернет-ресурсы.

Слайд 3

Определение логарифма: Логарифмом положительного числа b по положительному и не равному единице основанию a называется показатель степени , в которую нужно возвести основание a , чтобы получить число b : log a b = x , a x = b , где а > о, а ≠ 1, b >0, x Є R , Основное логарифмическое тождество

Слайд 4

Свойства логарифмов: 1. Логарифм единицы по основанию а равен нулю: log a 1 = 0 2. Логарифм а по основанию а равен 1: log a a =1 3 . C умма логарифмов равна логарифму произведения : log a х + log a у = log a ( xy ), при x>0 и y>0 4 . Разность логарифмов равна логарифму частного : log a х - log a у = log a ( x/y) , x>0 и y>0

Слайд 5

5 . Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени: log a x p = plog a x , х > 0 для любого действительного числа р. 6. для любых действительных m и n 7 . Формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию: 8 .

Слайд 6

Логарифмическая функция Определение: функция, заданная формулой у = log a x , где а > 0 и а  1, называется логарифмической функцией. у х 0 1 2 - 1 - 2 1 2 3 3 4 4 a > 1 0 < a < 1 У = log a x У = log a x

Слайд 7

Свойства логарифмической функции y x 0 1 2 3 4 5 -5 -5 5 -4 -4 4 -3 -3 3 -2 -2 2 -1 -1 1 y = log a x a > 1 y = log a x 0< a < 1 1. Область определения функции: D(f)=(0;+  ) 2. Область значений функции: E(f)=(-  ;+  ) 3. Функция возрастает на всей области определения при а > 1;т.е. 3. Функция убывает на всей области определения при 0 < а < 1 ; т.е.

Слайд 8

y x 0 1 2 3 4 5 -5 -5 5 -4 -4 4 -3 -3 3 -2 -2 2 -1 -1 1 y = log a x a > 1 y = log a x 0< a < 1 4. 5. Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений 6. Непрерывна 7. Не является ни четной, ни нечетной

Слайд 9

Алгоритм решения логарифмических уравнений Найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной; Решить уравнение выбрав метод; Проверить найденные корни непосредственной подстановкой в исходное уравнение или выяснить удовлетворяют ли эти корни условиям ОДЗ.

Слайд 10

У кошки маленький котеночек подрос. — Как дальше быть? — возник вопрос. Решила мать, что в пору Отдать котенка в школу. И вот за партой в классе Сидит пушистый Вася. С усердием большим, Как приказала мать, Принялся кот науку постигать. С терпеньем изучал, По пунктам и по темам, Строение мышей по графикам и схемам. Решал он, чуть не плача, И про бассейн задачу. Сколь вытечет сметаны, Когда открыть все краны. И через 10 лет, науками богат, Понес наш кот домой Из школы аттестат. И у какой-то горки Мышонок вылезал из норки. Но как его схватить? Нельзя же прыгнуть сразу — Тут надо применить Научных знаний базу. V — скорость, ускоренье — а, И брызги сыплются с пера. Затем привел он, глядя в книгу, К логарифмическому виду. Потом в системе «це, ге, ес» Нашел его удельный вес. Вписал последнюю строку И приготовился к прыжку. Пока ученый кот Над уравненьем бился, Мышонок — неуч В норке скрылся. Запомните, друзья, соль истины такой: Теория мертва без практики живой.

Слайд 11

Рассмотрим несколько заданий на применение логарифмов из открытого банка задач ЕГЭ 2013г. В задания B3 ЕГЭ включены простейшие логарифмические уравнения АДРЕС САЙТА http://www.mathege.ru:8080/or/ege/Main

Слайд 12

ЗАДАНИЯ B 7 включают в себя показательно-логарифмические выражения. http://www.mathege.ru:8080/or/ege/Main

Слайд 13

Решить уравнение log 3 (2-x)-log 3 (2+x)-log 3 x+1=0 Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов: log 3 (2-x)+1=log 3 (2+x)+log 3 x log 3 (2-x)+log 3 3 =log 3 (2+x)+logx log 3 (2-x)3 =log 3 (2+x)x 6-3x=2x+x 2 X 2 +5x-6=0 X 1 =-6; x 2 =1 x 1 =-6 не входит в ОДЗ и является посторонним корнем. Ответ:1 ОДЗ:

Слайд 14

3) Решить уравнение Так как корнями уравнения являются значения x принадлежащие интервалу (1/2;+∞), то и 3/2, и 16 принадлежат ОДЗ. Ответ: 3/2,16 ОДЗ: Преобразуем данное уравнение

Слайд 15

Решим систему уравнений Так как выражение содержащееся под знаком логарифма должно быть всегда больше нуля, следовательно, x>0, y>0, значит y 2 =-2 не является корнем данной системы. Подставим во второе уравнение значение y 1 =3/2 и решим его. Ответ: 3/2 ; 3

Слайд 16

Решить неравенство log 1/2 ( x 2 +2 x -8)≥-4 Так как логарифмическая функция с основанием меньшим единицы является убывающей, то для всех log а f(x)>log а g(x) f(x)< g(x), 00, g(x)>0 x<-4, x>2 Неравенство можно записать в следующем виде: log 1/2 ( x 2 +2 x -8)≥log 1/2 16 Так как логарифмическая функция с основанием ½ является убывающей, то для всех x из области определения неравенства получаем ( x 2 +2 x -8)≤ 16 Таким образом, исходное неравенство равносильно системе неравенств Ответ:

Слайд 17

Решить уравнение типа С3 ЕГЭ

Слайд 18

ОДЗ :

Слайд 19

Задание типа С4 В треугольнике АВС АВ=12, ВС = 6, СА = 10. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD:DC = 2 : 7. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB , касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF. А В С E Q F Докажем сначала утверждение, что если окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его стороны СВ в точке F, то Доказательство. Пусть Q и Е –точки касания вписанной окружности треугольника АВС со сторонами А C и AB . Тогда QC= С F , FB=BE, AE=AQ Найдем полупериметр треугольника: x x y y z z Выразим x через стороны треугольника, тогда

Слайд 20

Из истории.

Слайд 21

Теорию логарифмов развил Дж. Непер. Он разработал способы вычисления арифметических выражений с помощью логарифмов и составил подробные таблицы логарифмов . (1550—1617)

Слайд 22

Вот вы когда-нибудь слыхали О логарифмической спирали?

Слайд 23

Закручены по ней рога козлов И не найдете вы на них нигде узлов.

Слайд 24

Моллюсков многих и улиток Ракушки тоже все завиты.

Слайд 25

И эту спираль мы повсюду встречаем: К примеру, ножи в механизме вращаем, В изгибе трубы мы ее обнаружим, Турбины тогда максимально послужат!

Слайд 26

В подсолнухе семечки тоже закручены И паука все плетенья заучены. Наверняка, и о том вы не знали, Галактики тоже кружат по спирали!