Тренажер "Задачи по теории вероятности ЕГЭ"
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (10, 11 класс) по теме

В10    Задачи ЕГЭ 2012 год

Условие: 
Даша дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 2 очка. 
Решение: 
Задача решается с помощью формулы: 
P=n/m, где n - число положительных исходов испытания, m - число всех исходов. 
Сосчитаем числа n и m. 
Чтобы выпало 8 очков за 2 броска, нужно чтобы при каждом бросании кубика было больше 1. Получается, что 8 очков может выпасть только так: 2 и 6, 3 и 5, 4 и 4, 5 и 3, 6 и 2. Т.е.m=5 (все исходы), а n=2. Получается, что вероятность того, что при одном из бросков выпало 2 очка, равна 2/5=0,4. 
Ответ: 0,4.

Условие: 
В Кармане у Васи было 4 монеты по рублю и 2 монеты по 2 рубля. Вася, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублевые монеты лежат в одном кармане? 

Решение: 
Пронумеруем все монеты: 
монета 1 рубль - (1) 
монета 1 рубль - (2) 
монета 1 рубль - (3) 
монета 1 рубль - (4) 
монета 2 рубля - [5] 
монета 2 рубля - [6]. 
Напишем возможные варианты выбора монет Васей, которые он перекладывает в другой карман. 
(1)(2)(3) +
(1)(2)(4) +
(1)(2)[5] 
(1)(2)[6] 
(1)(3)(4) +
(1)(3)[5] 
(1)(3)[6] 
(1)(4)[5] 
(1)(4)[6] 
(1)[5][6] +
(2)(3)(4) +
(2)(3)[5] 
(2)(3)[6] 
(2)(4)[5] 
(2)(4)[6] 
(2)[5][6] +
(3)(4)[5] 
(3)(4)[6] 
(3)[5][6] +
(4)[5][6] +

Всего получилось 20 вариантов, нас интересуют только исходы, в которых выпали сразу две двухрублевые монеты и исходы в которых нет двухрублевых монет вообще, т.е. они остались в старом кармане. Таким образом, в 8 из 20 случаев, двухрублевые монеты находятся в одном кармане. 
8/20 = 4/10 = 0,4 
Ответ: 0,4.

Условие: 
Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 50 докладов: первые два дня по 15 докладов, остальные распределены поровну между третьим и четвёртым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции? 
Решение: 
Получается, что в первый день 15 докладов, во второй 15 докладов, в третий 10 и в четвертый тоже 10 докладов. Всего докладов 50. Профессор М. мог попасть в любой из этих 50 докладов равновероятно. В последний день запланировано 10 докладов, т.е. вероятность, что профессор М. будет выступать в последний день равна 10/50 = 0,2. 
Проверка: 
Вероятность первого дня 15/50 = 0,3 
второго 15/50 = 0,3 
третьего 10/50 = 0,2 
четвертого 10/50 = 0,2 
В сумме 0,3 + 0,3 + 0,2 + 0,2 = 1. Верно. (суммарная вероятность ВСЕГДА равна единице) 
Ответ: 0,2.

Условие: Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовет число кратное пяти?

Решение:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11... 100

Каждое пятое число из данного множества делится на 5. Значит, вероятность равна 1/5. 

Условие: Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет нечетное число очков.

Решение:

1, 3, 5 — нечетные числа; 2, 4, 6 — четные. Вероятность нечетного числа очков равна 1/2.

Ответ: 0,5. 

Условие: Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?

Решение: Заметим, что задачу можно сформулировать по-другому: бросили три монеты одновременно. На решение это не повлияет.Как вы думаете, сколько здесь возможных исходов? Бросаем монету. У этого действия два возможных исхода: орел и решкаДве монеты — уже четыре исхода:

Три монеты? Правильно, 8 исходов, так как 2  2  2 = 2³ = 8.

Вот они:

Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми. 
Ответ: 3/8.

Условие: В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Решение: Бросаем первую кость — шесть исходов. И для каждого из них возможны еще шесть — когда мы бросаем вторую кость. 
Получаем, что у данного действия — бросания двух игральных костей — всего 36 возможных исходов, так как 6² = 36.

А теперь — благоприятные исходы:

2 6
3 5
4 4 
5 3 
6 2

Вероятность выпадения восьми очков равна 5/36 ≈ 0,14.

Условие:  Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,9. Найдите вероятность того, что он попадёт в цель четыре раза выстрела подряд.

Решение:

Если вероятность попадания равна 0,9 — следовательно, вероятность промаха 0,1. Рассуждаем так же, как и в предыдущей задаче. Вероятность двух попадания подряд равна 0,9  0,9 = 0,81. А вероятность четырех попаданий подряд равна 
0,9  0,9  0,9  0,9 = 0,6561.

Вероятность: логика перебора.

Условие: В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Решение:  Мы знаем, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Но как посчитать все эти исходы?

Кодируем монеты числами: 1, 2 (это пятирублёвые), 3, 4, 5, 6 (это десятирублёвые). Условие задачи можно теперь сформулировать так:

Есть шесть фишек с номерами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить их по двум карманам поровну, так чтобы фишки с номерами 1 и 2 не оказались вместе?

Давайте запишем, что у нас в первом кармане. 
Для этого составим все возможные комбинации из набора 1 2 3 4 5 6. Набор из трёх фишек будет трёхзначным числом. Очевидно, что в наших условиях 1 2 3 и 2 3 1 — это один и тот же набор фишек. Чтобы ничего не пропустить и не повториться, располагаем соответствующие трехзначные числа по возрастанию:

123, 124, 125, 126... 
А дальше? Мы же говорили, что располагаем числа по возрастанию. Значит, следующее — 134, а затем: 
135, 136, 145, 146, 156. 
Все! Мы перебрали все возможные комбинации, начинающиеся на 1. Продолжаем: 
234, 235, 236, 245, 246, 256,
345, 346, 356,
456.    Всего 20 возможных исходов.

У нас есть условие — фишки с номерами 1 и 2 не должны оказаться вместе. Это значит, например, что комбинация 356 нам не подходит — она означает, что фишки 1 и 2 обе оказались в не в первом, а во втором кармане. Благоприятные для нас исходы — такие, где есть либо только 1, либо только 2. Вот они:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 — всего 12 благоприятных исходов.

Тогда искомая вероятность равна 12/20.

Ответ: 0,6.

                           Задачи для самостоятельного решения: