Конспект урока алгебры в 10 классе
план-конспект урока по алгебре (10 класс) по теме

Урок алгебры в 10 классе по теме:

«Задачи на отыскание наибольших

и наименьших величин»

«Человек лишь там

чего-то добивается,

где он верит в свои силы»

Людвиг Фейербах

Учитель математики : Прошина Н.В.

Задачи урока:

• Образовательные:

-  закрепить умение находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке, на интервале;

- закрепить умения использовать алгоритм отыскания наибольших и наименьших величин;

-   выработать  навыки создания математической модели;

Метапредметные

-   формировать умения делать логические заключения от частных случаев к общему выводу;

-   пользоваться умением самопроверки.

• Развивающие:

- интеллектуальное, эмоциональное, личностное развитие ученика,                    -  развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать вывод;

-  активизация самостоятельной деятельности;

-    развивать познавательный интерес;

-    развивать наглядно-действенное творческое воображение.

• Воспитательный аспект:

- способствовать формированию у учащихся чувства толерантности, стимулировать согласованное взаимодействие между учащимися, отношения взаимной ответственности и сотрудничества;

-  воспитание коммуникативной и информационной культуры учащихся; умение учащихся данной группы построить на короткое время взаимодействия, исходя из особенностей задач;

-  эстетическое воспитание осуществляется через формирование умения рационально, аккуратно оформлять задание на доске и в тетради, через наглядные и дидактические пособия

Форма организации обучения: 

фронтальная, индивидуальная, групповая.

Урок сопровождается презентацией.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент .
2. Актуализация и закрепление опорных знаний.
3. Применение математического моделирования к решению задач на оптимизацию.

Организационный момент.

Учитель: Здравствуйте. Позвольте выразить свою признательность всем присутствующим на уроке. Итак, начинаем.

       «Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом» заметил однажды французский писатель Анатоль Франс (1844-1924гг.). Последуем совету писателя: будем на уроке активны, внимательны, будем поглощать знания с большим аппетитом, ведь они нам обязательно понадобятся в жизни.

Сценка: «Много ли человеку земли надо».  

Пахом: Всем здравствуйте! Меня зовут Пахом. Пришел я к вам со своею бедой. Помогите выяснить, где я совершил ошибку. Давно мечтал я о земле. Работал много, поднакопил деньжат и пошел к барину.

Барин: Ну, что пришел?

Пахом: Землицы бы мне.

Барин: А деньги то есть?

Пахом: Целая тысяча!

Барин:  Ну что же, сколько за день земли обойдешь, вся твоя будет за тысячу рублей. Но если к заходу солнца не вернешься на место, с которого вышел, пропали твои деньги. Согласен?

Пахом: А куда же мне деваться.

Барин: Тогда пойдем.

Учитель: Выбежал утром Пахом, а к вечеру прибежал на место и упал без чувств, обежав четырехугольник, периметром 40 км.  Этот сюжет взят из рассказа Л. Н. Толстого «Много ли человеку земли надо».

Учитель: Как вы думаете, максимальный ли участок оббежал Пахом или при таком же периметре можно было бы взять и обойти участок большей площади.

Предполагаемые ответы учащихся: может, без разницы, и т.д.

Учитель: мы с вами должны выяснить, удачным ли было приобретение Пахома. Давайте вспомним необходимый теоретический материал для решения задач на отыскание наибольших и наименьших  величин.

Алгоритм нахождения наибольшего

и наименьшего значений на отрезке:

• Найти производную функции f (x);
• Найти стационарные точки, решив уравнение f `(x)=0.
• Проверить, какие из них принадлежат рассматриваемому отрезку.
• Найти значения функции на концах отрезка и в стационарных точках, принадлежащих отрезку.
• Выбрать из них наибольшее и наименьшее значения.

 Решение задачи Пахома.

Рассмотрим следующую задачу.Периметр прямоугольника равен 40см. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы площадь была наибольшей?

Решение:

1. Выбираем независимую переменную х и выражаем через неё стороны прямоугольника. х см – длина прямоугольника, (20-х) см – ширина прямоугольника. Тогда 0< х <20;
2. записываем функцию S(x) =x·(20-x) =20x – x2;
3. находим производную S' (x) = 20-2x;
4. решаем уравнение 20-2х=0. х=10.

Значит, длина и ширина равны 10 см. Какая это получается фигура? (Квадрат).

S (10) = 10 (20-10) =10·10 =100 см2.

Ответ: 10 см.

Учитель

 Какую же фигуру Пахом должен был захватить?

(Квадрат).

Решение задачи с коробочкой.

Из листа бумаги размером 12* 12 см вы сделали коробочки с открытым верхом. Бумажный квадрат был у всех одного размера, а объемы коробочек получились разные. Выясним, в каком случае коробочка имеет наибольший объем?

Слайд с параллелепипедом.

С такими задачами  в наше время приходится иметь дело  представителям самых разных профессий. П.Л.Чебышев говорил, что “особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды”.

      Перед человеком постоянно возникают практические проблемы нахождения наибольшего и наименьшего, наилучшего и наихудшего. Дети приводят примеры из окружающей жизни ( Технологи так стараются организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции, конструкторы  пытаются разработать прибор для космического корабля так , чтобы масса прибора была наименьшей, экономисты  стараются спланировать работу так, чтобы расходы оказались минимальными).  

Задачи подобного рода носят общее название – задачи на оптимизацию (от латинского слова optimum – «наилучший»). В самых простых задачах на оптимизацию мы имеем дело с двумя величинами , одна из которых зависит от другой, причем надо найти  такое значение  второй величины , при котором первая принимает свое наибольшее или наименьшее значение. Их решают по обычной схеме:

• составление математической модели;
• работа с моделью;
• ответ на вопрос задачи.

       Цель нашего урока состоит в том, чтобы научиться решать задачи  

    на оптимизацию, используя математические модели.

Слайд 5. «Гений состоит из 1% вдохновения и 99% потения»

Актуализация и закрепление опорных знаний

1 группа  Конструкторы

Дан бак без крышки в виде прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат и объем равен 108 см3. При каких размерах бака на его изготовление пойдет наименьшее количество материала?

Решение:

Обозначим сторону основания через х см, тогда высота параллелепипеда будет .

Пусть S(х) площадь поверхности, тогда S(х) =х2+4**х=х2+;

S/(х)=2х-; S/(х)=0;

2х-=0;

2х3=432; х3=216; х=6;

По условию задачи х (0;)

Найдем знак производной на промежутке (0;6) и на промежутке (6; ?). Производная меняет знак с “-” на“+”. Отсюда х=6 точка минимума, следовательно,S(6)=108 см2 наименьшее значение. Значит,сторона основания равна 6 см, высота 12см.

2 группа Стороительные дизайнеры

Задача 2. Строители решили пристроить к стене школы физкультурный зал прямоугольной формы. Оказалось, что кирпича у них хватит только на 200 м стены (по периметру трёх новых стен). Зал должен быть как можно больше по площади. Что вы посоветуете строителям? Какие размеры пристройки выбрать?

Решение:

Обозначим одну сторону прямоугольного участка через х м, тогда вторая будет (200 -2х) м, площадь S(х)= (200-2х)х=200х -2х2;

S/(х)= 200 -4х; S/(х)=0; 200 - 4х =0; х = 200/4=50;

По условию задачи х (0; 100)

Найдем знак производной на промежутке (0; 50) и на промежутке (50; 100). Производная меняет знак с“+”на “-”.Отсюда х = 50 точка максимума. Следовательно, одна сторона участка = 50м, вторая200 -2х= 100м;

Я очень надеюсь, что каждый из вас вспомнит этот урок, когда столкнется с задачей на оптимизацию и навыки, полученные сегодня, Вам обязательно пригодятся.

         А теперь, спасибо за урок, до новых встреч.