конспект урока по теме "Решение логарифмических уравнений и неравенств".
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Тема:        Решение  логарифмических уравнений и неравенств.

Класс: 11.

Предмет: Алгебра и начала анализа.

Тип урока:  урок обобщения и систематизации знаний, умений и навыков по данной теме.

Цели:

• обеспечить повторение, обобщение, систематизацию материала по теме;
•  создать условия контроля, самоконтроля усвоенных  знаний и умений;
• создать условия для развития познавательного интереса учащихся;
• воспитывать  ответственность за качество и результат выполняемой работы на уроке, математическую активность, умение  работать в группах, общую культуру.

Задачи:

        Образовательная. Повторить теоретический материал. Обратить особое внимание на ОДЗ  логарифмической функции.

Систематизировать методы решения логарифмических уравнений, неравенств. 

Развивающая. Способствовать развитию математического языка, наглядно – образного мышления, коммуникативных умений учащихся.

Воспитательная. Воспитание интереса к предмету посредством использования на уроке ПК; активности, умения общаться, общей культуре.

Оборудование урока:

- карточки с индивидуальными заданиями для самостоятельной работы;

- карточки с заданиями  для домашней работы;

- карточки с заданиями для групп;

- документ – камера

- мультимедийный проектор, компьютер.

- листы для самоконтроля

Формы работы:

- фронтальная;

 - работа в группах;

 - индивидуальная.

Ход урока.

1.Орг.момент.

 Взаимное приветствие; проверка готовности учащихся к уроку, организация внимания. Сообщается  тема урока и цели, подчеркивается актуальность данной темы для подготовки к ЕГЭ.

2.Актуализация  знаний. 

 Учащиеся работают устно по упражнениям, представленным на экране с помощью проектора.

1. вариант                                                                                        2 вариант

                                                   Вычислите

1.                                                                                         1)
2.                                                                         2)
3.                                                                 3)
4.                                                                                       4)
5.                                                                              5)

    1 вариант                                       Ответы                                           2 вариант

-Какое уравнение называют простейшим  логарифмическим уравнением?                               Сколько решений имеет уравнение                                     Какие  методы решения логарифмических уравнений вам известны?

3. Работа в разноуровневых группах.

Со всеми учащимися класса рассматриваются решения уравнений.

1. Решите уравнение log 2 4 + 2 log 2 х = log 2 (6х + 18)

Учащиеся могут привести одно из представленных решений:

а) Используя переход к равносильной системе:

Ответ:3

б) Выполняя проверку найденных корней уравнения: 4х2 = 6х + 18,   х = -1,5 или х = 3.

Проверка.

х = -1,5, log 24 + 2log 2(-1,5) = log 2(6(-1,5) + 18) - неверно;

х = 3, log 24 + 2log 23 = log 2(6· 3 + 18),

log 236 = log 236 - верно

Ответ:3

-Далее первая группа учащихся самостоятельно выполняет задания №1.

Группа  № 1.

1. Решите уравнение (1-3).

1.  log3 (2х - 4) = log3 (х + 3)                           

2.   2log4 x  = log4  169                                       

 3. lg (2х2 - 4х + 12) = lgх + lg(х + 3).

 (1.7. 2 13. 3. 3; 4.)

2. Решите неравенство.  log 0,2(3х - 5) > log 0,2(х + 1).   (5/3< х< 3)

-В это время учитель с учащимися второй и третьей группы рассматривает задания повышенного уровня сложности.

2. Решите уравнение lg(х + 4) + lg(2х + 3) = lg(1 - 2х).

Решение.   1. Найдём ОДЗ:

2. Преобразуем уравнение к виду:

lg((х + 4)(2х + 3)) = lg(1 - 2х),                                                                                                                 2х2 + 13х + 11 = 0, отсюда х1 = -1, х2 = -5,5.

Так как - 1,5< х< 0,5, то х = -5,5 является посторонним корнем.       Ответ: -1.

Учащиеся второй группы приступают к самостоятельному выполнению заданий  №1.

Группа  № 2

1.Решите уравнение (1-2).

1.  log 2(х + 1) + log 2(х + 3) = 3.

2.  log3 (x2 - 1) = 1                          

(1. 1. 2. -2; 2.).

2. Решите неравенство.  lg2 x ≥ 9        (0; 0,001]U[1000;∞)

-С учащимися третьей группы учитель рассматривает следующее уравнение:

3. Решите уравнение  log1/3x log1/3 (3x-2)= log1/3 (3x-2)

Решение.

О. Д. З.: ; ; ;

Log1/3x log1/3 (3x-2)= log1/3 (3x-2)

Log1/3x log1/3 (3x-2) - log1/3 (3x-2)=0

Log1/3 (3x-2) ( log1/3 х-1)=0

Log1/3 (3x-2) =0  или   log1/3 х-1=0

3х-2=1                         log1/3x=1

3x=3                               x= - посторонний корень

х=1

Ответ: х=1.

• Далее учащиеся третьей группы выполняют своё задание № 1самостоятельно.

Группа  № 3.

1.Решите уравнение   log2(3x+1) log3x=2 log2(3x+1)

2. Решите неравенство.

Решение заданий группы №3.1.Решение: О.Д.З.:  3x + 1>0 и х > 0 ↔  х > 0

log2 (3x+1)log3 x - 2log2(3x+1)=0;

log2 (3x+1) (log3x -2) = 0;

log2(3x+1)=0 или log3x=2

3x+1=1;                  x=32;

3x=0                        x2=9

x1=0- посторонний корень.

Ответ: х=9.

2. Решение.   Прологарифмируем обе части неравенства по основанию10. Поскольку  у = lg x

функция монотонно возрастает, смысл неравенства при логарифмировании не меняется.

 решим квадратное уравнение относительно

Ответ   (0,1;1000).

Учитель проверяет правильность выполнения заданий № 1 у учащихся первой и второй групп и если появляется необходимость, корректирует решения.

По завершении проверки со всеми учащимися класса рассматривается следующее задание.

4. Решите неравенство log 0,5 (х + 1) > log 0,5  (2 - х).

Решение. Функция у = log 0,5  х  убывает. Поэтому:

Ответ: (-1; 0,5).

Учитель предлагает учащимся первой группы приступить к самостоятельному выполнению заданий № 2. С учащимися второй и третьей группы учитель рассматривает следующее задание.

5. Решите неравенство: 2 log3x -6  9   -  log3  (x-2) ≥ 1

Решение. Перепишем неравенство в виде: 2log3 9 /log3 3(x-2) -  log3 (x-2)≥1  ↔

4/(1 + log3 (x - 2)) – log3 (x- 2) ≥ 1    Пусть   log3 (x- 2) = a,   тогда  4/ (a +1) – a ≥ 1  ↔                                                  

(4 – (a + 1)2)/(1 + a) ≥ 0  ↔  (a + 3)(a - 1)/(1 + a) ≤ 0

Далее воспользуемся методом интервалов. Получим  a ≤ -3  или  -1 ˂a ≤ 1. Oсталось  решить совокупность неравенств: log3 ( x - 2) ≤ -3  или    -1 ˂ log3 ( x - 2) ≤ 1  ↔ 0 ˂x - 2≤ 1/27 или

 1/3 ˂ x -2 ≤ 3  ↔  2 ˂ x ≤ 55/27 или  7/3 ˂ x ≤ 5.

Ответ: (2; 55/27] U( 7/3; 5]

Далее вторая и третья группы учащихся самостоятельно выполняют задания № 2.            Пока учащиеся второй и третьей группы выполняют задания, учитель проверяет решения учащихся первой группы, комментирует их при необходимости, после чего проверяются ответы у учащихся второй и третьей групп.

4. Физминутка.

 Сцепили руки в “замок”, вытянули перед собой, подняли вверх и хорошо потянулись. Врачи утверждают, что в этот момент выделяется “фермент счастья”.

5. Разноуровневая самостоятельная работа

 (Слайд на экране и карточки у каждого ученика). Учащимся предлагается оценить свои возможности и выбрать уровень заданий базовый А, повышенный В. 

1 вариант                                                                                                   2 вариант

А. 1.Решите уравнение                                                              А. 1.Решите уравнение

log 2 (x + 1) = 4        lg (x - 10) =1

2. Решите неравенство                                                              2. Решите неравенство

log 5  (2х + 1)  ≥  log 5 (х - 1).                                                                                   

B.                                                                                                  B.

1.Решите уравнение                                                                1.Решите уравнение

2. Решите неравенство                                                              2. Решите неравенство

log20,2 х - 5 log 0,2 х < -6        log2 0,1  х + 3 log 0,1  х > 4.

Выполнив работу, учащиеся сдают ее на проверку. На экран выводятся ответы и краткое решение. Учащимся предлагается проверить и оценить свою работу, выставив оценку за самостоятельную работу.

Ответы: 1 вариант. А. 1. 15; 2.(1; ∞) В. 1. 4, 2;  2. (0,008; 0,04)

                 2 вариант. А. 1. 20; 2. (- 5; 1,75)  В. 1. 9, 1/3. 2. (0; 0,1)U(10000; ∞)

6. Домашнее задание. карточки с заданиями  для домашней работы.

7. Итог  урока. Рефлексия

Итак, мы сегодня с вами решали  логарифмические  уравнения и неравенства.  А теперь давайте обобщим, какие  методы решения  мы применяли?

Выставление оценок по количеству «+» в тетради, за решение на доске и по карточкам. Определение результативности работы учащихся.

Наш урок подошел к концу. Достигли ли мы поставленных целей?

Готовясь к экзамену, никогда не думай, что не справишься с заданием, а, напротив, мысленно рисуй себе картину успеха  и  тогда у тебя  обязательно   все получится!

Группа  № 1.

1. Решите уравнение (1-3).

1. log 2(х + 1) + log 2(х + 3) = 3.

2. log3 (x2 – 1) = 1

3. lg (2х2 - 4х + 12) = lgх + lg(х + 3).

 (1.1. 2.. 3.3; 4.)

2. Решите неравенство.  log 0,2(3х - 5) > log 0,2(х + 1).   (5/3< х< 3)

Группа  № 2

1.Решите уравнение (1-2).

1. log 4(х2 - 1) - log 4(х -1)2 = log 4│2 - х│.

2. log 2х4 + log 2х2 = 6.

(1.2+3. 2. -2; 2.)

2. Решите неравенство.  lg2 x ≥ 9        (0; 0,001]U[1000;∞)

Группа  № 3.

1.Решите уравнение 

2. Решите неравенство. 

1 вариант                                                                                                   2 вариант

А. 1.Решите уравнение                                                   А. 1.Решите уравнение

log 2 (x + 1) = 4                                                                 lg (x - 10) =1

2. Решите неравенство                                               2. Решите неравенство

log 5  (2х + 1)  log 5 (х - 1).                                                  

B.                                                                                  B.

1.Решите уравнение                                                   1.Решите уравнение

2. Решите неравенство                                                2. Решите неравенство

log20,2 х - 5 log 0,2 х < -6        log2 0,1  х + 3 log 0,1  х > 4.

C.                                                                                  C. 

1.Решите уравнение                                                      1.Решите уравнение

 log3x + 7 (5x + 3) + log5x + 3(3x + 7) = 2                            

2. Решите неравенство                                               2. Решите неравенство

1/(5 -lg х ) + 2/(1 + lg х) < 1.                               1/(lоg5(3 - 2х)) - 1/(4 - lоg5(3 - 2 х)) < 0.

1 вариант                                                                                                   2 вариант

А. 1.Решите уравнение                                                   А. 1.Решите уравнение

log 2 (x + 1) = 4                                                                 lg (x - 10) =1

2. Решите неравенство                                               2. Решите неравенство

log 5  (2х + 1)  log 5 (х - 1).                                                  

B.                                                                                  B.

1.Решите уравнение                                                   1.Решите уравнение

2. Решите неравенство                                                2. Решите неравенство

log20,2 х - 5 log 0,2 х < -6        log2 0,1  х + 3 log 0,1  х > 4.

C.                                                                                  C. 

1.Решите уравнение                                                      1.Решите уравнение

 log3x + 7 (5x + 3) + log5x + 3(3x + 7) = 2                            

2. Решите неравенство                                               2. Решите неравенство

1/(5 -lg х ) + 2/(1 + lg х) < 1.                               1/(lоg5(3 - 2х)) - 1/(4 - lоg5(3 - 2 х)) < 0.

1 вариант                                                                                                   2 вариант

А. 1.Решите уравнение                                                   А. 1.Решите уравнение

log 2 (x + 1) = 4                                                                 lg (x - 10) =1

2. Решите неравенство                                               2. Решите неравенство

log 5  (2х + 1)  log 5 (х - 1).                                                  

B.                                                                                  B.

1.Решите уравнение                                                   1.Решите уравнение

2. Решите неравенство                                                2. Решите неравенство

log20,2 х - 5 log 0,2 х < -6        log2 0,1  х + 3 log 0,1  х > 4.

C.                                                                                  C. 

1.Решите уравнение                                                      1.Решите уравнение

 log3x + 7 (5x + 3) + log5x + 3(3x + 7) = 2                            

2. Решите неравенство                                               2. Решите неравенство

1/(5 -lg х ) + 2/(1 + lg х) < 1.                               1/(lоg5(3 - 2х)) - 1/(4 - lоg5(3 - 2 х)) < 0.

ДИАГНОСТИЧЕСКАЯ КАРТА УЧАЩЕГОСЯ.

           ВАРИАНТ 1.                                                         ВАРИАНТ 2.

Выполнял:__________________________________________________

1. Устная работа.

2. Решение уравнений  и неравенств в группе № ___    .

3. Самостоятельная работа.

4. Индивидуальные задания.

ДИАГНОСТИЧЕСКАЯ КАРТА УЧАЩЕГОСЯ.

           ВАРИАНТ 1.                                                         ВАРИАНТ 2.

Выполнял:__________________________________________________

1. Устная работа.

2. Решение уравнений  и неравенств в группе № ___    .

3. Самостоятельная работа.

4. Индивидуальные задания.