Преобразование двойных радикалов
методическая разработка по алгебре (8 класс) на тему

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДВОЙНЫХ РАДИКАЛОВ.

Выражение вида   где - некоторые числа, называется двойным или сложным радикалом.

При преобразовании выражений, содержащих двойные радикалы, часто бывает удобно освободиться в двойном радикале от внешнего радикала.

Если подкоренное выражение представляет собой полный квадрат, то освободиться от внешнего радикала можно с помощью тождества  

Пример1.

Освободиться от внешнего радикала в выражении:

                                            Решение.

а).Представим подкоренное выражение в виде квадрата суммы.

   Слагаемое  рассмотрим как удвоенное произведение чисел и   1  или  чисел  и 2.

Тогда число 7 должно быть равно сумме квадратов этих чисел. Подбором можно найти, что это условие выполняется для чисел 2 и , т.е.

Значит,

б).Попробуем подобрать такие числа и   , что  

  Если такие числа существуют, то выполняются следующие условия:  

   т.к.

  Ответ:  

В некоторых случаях удается освободиться от внешнего радикала с помощью формулы двойного радикала:     где  некоторые числа, причем          

Докажем это равенство.

  При указанных условиях правая часть равенства представляет собой выражение, которое имеет смысл и принимает неотрицательное значение.

 Докажем, что квадрат этого выражения равен

Пример2.  Упростить выражение:

                                           Решение.

1способ.   Воспользуемся формулой двойного радикала

      В данном случае   

2способ.   Представим подкоренное выражение в виде квадрата двучлена.

        Значит,    т.к.

  Ответ:  

Пример3.

Доказать, что при  значение выражения  не зависит от

                                               Решение.

Освободимся от внешнего радикала в каждом из двойных радикалов.

Если  то   Значит,

Получаем:

Пример4.    Упростить выражение

                                         Решение.

 Представим подкоренное выражение в виде квадрата двучлена.

  Ответ:  

Практические задания для самостоятельного решения.

1.Упростить выражение:

  Ответ: указание: умножить и разделить подкоренное выражение  на 2.

2..Докажите, что значение выражения является целым числом:  Ответ: 1).-1;    2).1;   3).-1;    4).-2;   5).2.

3.Выяснить, является ли значение выражения рациональным или иррациональным числом:

 Ответ: 1).3;  2). 

4.Упростите выражение:  

     Ответ:

5.Найдите значение выражения:

           Ответ: 1).12;   2).0;   3).1;                        

6.Упростите выражение:  

 Ответ:

Самостоятельная работа по теме «Преобразование выражений, содержащих двойные радикалы».

                                    1в.                                                            2в.

                                             1).Найдите значение выражения:

                                             2).Упростите выражение: