Урок алгебры и начала анализа в 10 классе на тему "Решение тригонометрических уравнений"
план-конспект занятия по алгебре (10 класс) на тему

МБОУ «Редкодубская средняя общеобразовательная школа»

Урок-исследование

        Учитель математики:

                                                                           Голюшова К.В.

 Тема урока.  Решение тригонометрических уравнений.

Цели: повторить разные приемы решения алгебраических уравнений, научить учащихся

           применять эти приемы при решении тригонометрических уравнений

развивающие: развитие познавательных, творческих способностей, способности наблюдать, делать выводы, составлять алгоритм решения задачи,

воспитательные: развитие устной и письменной речи, интереса к изучению математики.

«Уравнение есть равенство, которое еще не является истинным, но которое стремятся сделать истинным, не будучи уверенным, что этого можно достичь.»

                                                                                                               А.Фуше     (слайд1)

Ход урока.

I. Организационный момент.

II. Устная работа.    

Тест   (слайд2)

1. Какие из данных уравнений не имеют решений:

1) cos x = ;                       3)  sin x = ;               5)  tg x =  ;

2)  sin x ;               4)  cos x = ;        6) ctg x = ?

а) 1 и 4;                          в)  1 и 6;

б)  1 и 5;                         г)  другой ответ.

2. Решить уравнение:

               sin x – 1 = 0

a)           в)  

б)                г) нет решений.

3. Решить уравнение:

               cos x – 1 = 0

a)           в)  

б)                г) нет решений.

III. Изучение нового материала.

Мы на предыдущих уроках решали простейшие тригонометрические уравнения: sin x = a,   cos x = a,  tg x = a. Корни этих уравнений находятся по специальным формулам.

    Сегодня мы проведем исследование.

Нельзя ли из известных нам алгебраических уравнений получить тригонометрические уравнения? Если да, то сравним ход решения этих уравнений.

1.  Дано уравнение:   2х – 1 = 0.

-Как называется уравнение такого вида?

-Это линейное уравнение.

-Как его решаем?

   2х = 1,

     х = 0,5          

Ответ: х = 0,5.

- Если в уравнении 2х – 1 = 0 заменить х  на  sin x, то получим:

  2 sin x – 1 = 0.

- Это тригонометрическое уравнение. Решим его.

   2 sin x = 1,

    sin x = 0,5,

- Ход решения такой же, как у линейного уравнения.

Подсчитаем несколько углов:

Ответ:  

2.  Рассмотрим квадратное уравнение

     2 х2 – х  - 3 = 0.

Заменив  х     на      sin x,  имеем:

    2 sin2 x – sin x – 3 = 0.

 Получилось тригонометрическое уравнение. Уравнение решаем введением новой переменной. Пусть t = sin x, тогда уравнение примет вид

   2t2 + t – 3 = 0.

Решение тригонометрического уравнения свелось к решению квадратного уравнения.

а)   sin x = 1,                                                                  б)   sin x = - 1,5,

                                                        корней нет, т. к.  -1 sin x  1.

Ответ:  .

3. Задача, предлагаемая учащимся.

    Составить тригонометрическое уравнение, решение которого сводится к решению квадратного уравнения.

    Пусть корни этого квадратного уравнения   1  и   -3.

    Это может быть следующее уравнение:

       х2 + 2х – 3 = 0    (предложить составить уравнение с cos x)

      cos2 x + 2 cos x – 3 = 0,

     Получилось тригонометрическое уравнение. Уравнение решаем введением новой переменной. Пусть t = cos x, тогда уравнение примет вид

       t2 +2 t – 3 = 0.

       t1 = 1,  t2 =- 3,

      a) cos x = 1,                                                    б)   cos x = -3,

                                                     корней нет, т. к.  -1 cos x  1.

          Ответ:       

    Мы составляли тригонометрические уравнения, решения которых сводятся к решению квадратных уравнений.  

Самостоятельная работа.

Работа в парах с соседом по парте.

(У каждого учащегося  листы с указанием работы)

_____________________________________________________________________________

Уравнения составил: Ф.И. уч-ся

Квадратные уравнения:                                               Тригонометрические уравнения:

а)                                                                                    а)                                          (с cos x)

б)                                                                                    б)                                         (c sin x)                

в)                                                                                    в)                                           (c tg x)

Тригонометрические уравнения решил: Ф.И. уч-ся (соседа по парте)

_____________________________________________________________________________    

  Рассмотрели линейные уравнения, квадратные уравнения для получения тригонометрических уравнений. Но нам известны и другие уравнения.

4.Составить уравнение и решить его:

   а) 2х = 8,   ( с tg x )                                             б)  log2 x = -1,     (  с соs x)

       2tg x = 8,                                                                log2 (cos x) = -1,

       2tg x = 23,                                                               по определению логарифма имеем:

        tg x = 3,                                                                cos x = ,      

Ответ:       .                              

                                                                                    Ответ:  

Итак, научились получать уравнения нового вида из ранее изученных уравнений.

IV. Закрепление изученного.

5.  Решить тригонометрические уравнения:

     а) 2 sin2 x + sin x – 6 = 0 ;                                      б) tg2 x – 3 tg x -4 = 0.

6.   №50 (4),   №51(4),   №52(4)

V. Итог урока.

Вывод: Исследование показало, что из известных алгебраических уравнений можно получить уравнения нового вида. Причем ход решения уравнений совпадает. Все тригонометрические уравнения сводятся к решению простейших тригонометрических уравнений.

Домашнее задание:&4,гл.IX, №№ 50-52(1,3)