Разноуровневые самостоятельные работы по алгебре 10 класс
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

Индивидуальные самостоятельные работы

Алгебра и начала анализа, 10 класс

1. Основные свойства тригонометрических функций

время выполнения – 30 минут.

уровень 1

Вариант 1

1. Найдите область определения функции .
2. Найдите множество значений функции .
3. Выяснить, четной или нечетной является функция .
4. Доказать, что функция  является периодической с периодом .

Вариант 2

1. Найдите область определения функции .
2. Найдите множество значений функции .
3. Выяснить, четной или нечетной является функция .
4. Доказать, что функция  является периодической с периодом .

Вариант 3

1. Найдите область определения функции .
2. Найдите множество значений функции .
3. Выяснить, четной или нечетной является функция .
4. Доказать, что функция  является периодической с периодом .

Вариант 4

1. Найдите область определения функции .
2. Найдите множество значений функции .
3. Выяснить, четной или нечетной является функция .
4. Доказать, что функция  является периодической с периодом .

Вариант 1 (уровень 2).

1. Найдите область определения функции .
2. Выяснить, четной или нечетной является функция .
3. Найдите наименьший положительный период функции .
4. Найдите множество значений функции .

Вариант 2 (уровень 2).

1. Найдите область определения функции .
2. Выяснить, четной или нечетной является функция .
3. Найдите наименьший положительный период функции .
4. Найдите множество значений функции .

Вариант 3 (уровень 2).

1. Найдите область определения функции .
2. Выяснить, четной или нечетной является функция .
3. Найдите наименьший положительный период функции .
4. Найдите множество значений функции .

Вариант 4 (уровень 2).

1. Найдите область определения функции .
2. Выяснить, четной или нечетной является функция .
3. Найдите наименьший положительный период функции .
4. Найдите множество значений функции .

Вариант 1 (уровень 3).

1. Найдите область определения функции .
2. Найдите область значений функции .
3. Выяснить, четной или нечетной является функция .
4. Найдите наименьший положительный период функции .

Вариант 2 (уровень 3).

1. Найдите область определения функции .
2. Найдите область значений функции .
3. Выяснить, четной или нечетной является функция .
4. Найдите наименьший положительный период функции .

2. Функции

время выполнения – 40 минут.

Вариант 1 (уровень 1).

1. Сравните числа  sin 1540 и sin 1340.
2. Графически найдите все корни уравнения , принадлежащие промежутку .
3. Найдите с помощью графика все решения неравенства , принадлежащие промежутку .
4. Постройте график функции  на промежутке .

Вариант 2 (уровень 1).

1. Сравните числа cos 10 и cos 910.
2. Графически найдите все корни уравнения , принадлежащие промежутку .
3. Найдите с помощью графика все решения неравенства , принадлежащие промежутку .
4. Постройте график функции  на промежутке .

Вариант 3 (уровень 1).

1. Сравните числа sin 2710 и sin 3610.
2. Графически найдите все корни уравнения , принадлежащие промежутку .
3. Найдите с помощью графика все решения неравенства , принадлежащие промежутку .
4. Постройте график функции  на промежутке .

Вариант 4 (уровень 1).

1. Сравните числа cos 910 и cos 1190.
2. Графически найдите все корни уравнения , принадлежащие промежутку .
3. Найдите с помощью графика все решения неравенства , принадлежащие промежутку .
4. Постройте график функции  на промежутке .

Вариант 1 (уровень 2).

1. Сравните числа: а) cos 10  и cos 1; б) .
2. Графически найдите все корни уравнения , принадлежащие промежутку .
3. Найдите с помощью графика все решения неравенства , принадлежащие промежутку .
4. Постройте график на промежутке   и опишите свойства функции .

Вариант 2 (уровень 2).

1. Сравните числа: а) cos 1 и cos 2; б)  (выражая синус через косинус).
2. Графически найдите все корни уравнения , принадлежащие промежутку .
3. Найдите с помощью графика  все решения неравенства , принадлежащие промежутку .
4. Постройте график  на промежутке  и опишите  свойства функции .

Вариант 3 (уровень 2).

1. Сравните числа: а) sin 3,5 и sin 4; б).
2. Графически найдите все корни уравнения , принадлежащие промежутку .
3. Найдите с помощью графика все решения неравенства , принадлежащие промежутку .
4. Постройте график на промежутке  и опишите свойства функции .

Вариант 4 (уровень 2).

1. Сравните числа: а) cos 4 и cos 5; б)  (выражая синус через косинус).
2. Графически найдите все корни уравнения , принадлежащие промежутку .
3. Найдите с помощью графика все решения неравенства , принадлежащие промежутку .
4. Постройте график на промежутке  и опишите свойства функции .

Вариант 1 (уровень 3).

1. Расположите в порядке возрастания числа: .
2. Графически найдите все корни уравнения , принадлежащие промежутку .
3. Найдите с помощью графика все решения неравенства , принадлежащие промежутку .
4. Постройте график функции  и опишите её свойства.

Вариант 2 (уровень 3).

1. Расположите в порядке возрастания числа: .
2. Графически найдите все корни уравнения , принадлежащие промежутку.
3. Найдите с помощью графика все решения неравенства , принадлежащие промежутку.
4. Постройте график функции  и опишите её свойства.

3. Определение производной. Производная степенной функции

время выполнения – 40 минут

Вариант 1 (уровень 1)

1. Для заданного закона движения точки S(t) = 3t – 1 вычислите среднюю скорость на отрезке времени [0; 1].
2. Используя определение производной, найти  , если .
3. Найти производную функции: .
4. Найти , если .

Вариант 2 (уровень 1)

1. Для заданного закона движения точки S(t) = 3t – 1 вычислите среднюю скорость на отрезке времени [0; 5].
2. Используя определение производной, найти  , если .
3. Найти производную функции: .
4. Найти , если .

Вариант 3 (уровень 1)

1. Для заданного закона движения точки S(t) = 3t – 1 вычислите среднюю скорость на отрезке времени [- 3; 3].
2. Используя определение производной, найти  , если .
3. Найти производную функции: .
4. Найти , если .

Вариант 4 (уровень 1)

1. Для заданного закона движения точки S(t) = t2 + 3t вычислите среднюю скорость на отрезке времени [0; 1].
2. Используя определение производной, найти  , если .
3. Найти производную функции: .
4. Найти , если .

Вариант 1 (уровень 2)

1. Точка движется прямолинейно по закону S(t) = 3t + 2. Найдите мгновенную скорость при t = 2.
2. Используя определение производной, найти  , если .
3. Найти производную функции: .
4. Найти , если .
5. При каких значениях х значение производной функции равно 0.

Вариант 2 (уровень 2)

1. Точка движется прямолинейно по закону S(t) = t2 . Найдите мгновенную скорость при t = 1.
2. Используя определение производной, найти  , если .
3. Найти производную функции: .
4. Найти , если .
5. При каких значениях х значение производной функции равно  - 1.

Вариант 3 (уровень 2)

1. Точка движется прямолинейно по закону S(t) = 3t + 2. Найдите мгновенную скорость при t = 3.
2. Используя определение производной, найти  , если .
3. Найти производную функции: .
4. Найти , если .
5. При каких значениях х значение производной функции равно 0.

Вариант 4 (уровень 2)

1. Точка движется прямолинейно по закону S(t) = t2 . Найдите мгновенную скорость при t = 2.
2. Используя определение производной, найти  , если .
3. Найти производную функции: .
4. Найти , если .
5. При каких значениях х значение производной функции равно  -5.

Вариант 1 (уровень 3)

1. Для заданного закона движения точки  вычислите, в какой момент времени скорость равна 5.
2. Используя определение производной, найти  , если,     x0= 2.
3. Найти производную функции:.
4. Доказать тождество , если .
5. Составьте и решите неравенство , если .

Вариант 2 (уровень 3)

1. Для заданного закона движения точки  вычислите, в какой момент времени скорость равна 0,25.
2. Используя определение производной, найти  , если,     x0= -1.
3. Найти производную функции:.
4. Доказать тождество , если .
5. Составьте и решите неравенство , если .

4. Правила дифференцирования

время выполнения – 30 минут

Вариант 1 (уровень 1).

1. Вычислите производные:

2. Вычислите значение производной функции b)  в точке .
3. Найдите те значения х, при которых производная функции b) равна нулю.

Вариант 2 (уровень 1).

1. Вычислите производные:

2. Вычислите значение производной функции b)  при х = -1.
3. Найдите те значения х, при которых производная функции b) равна нулю.

Вариант 3 (уровень 1).

1. Вычислите производные:

2. Вычислите значение производной функции b) в точке .
3. Найдите те значения х, при которых производная функции b) равна нулю.

Вариант 4 (уровень 1).

1. Вычислите производные:

2. Вычислите значение производной функции d) в точке   х = 1.
3. Найдите те значения х, при которых производная функции d) равна нулю.

Вариант 1 (уровень 2).

1. Вычислите производные:

2. Найдите те значения х, при которых производная функции d) равна нулю.
3. Решите неравенство , если .

Вариант 2 (уровень 2).

1. Вычислите производные:

2. Найдите те значения х, при которых производная функции b) равна нулю.
3. Решите неравенство , если .

Вариант 3 (уровень 2).

1. Вычислите производные:

2. Найдите те значения х, при которых производная функции e) равна нулю.
3. Решите неравенство , если .

Вариант 4 (уровень 2).

1. Вычислите производные:

2. Найдите значение производной функции  при х = -2.
3. Решите неравенство , если .

Вариант 1 (уровень 3).

1. Вычислите производные:

2. Выяснить, при каких значениях аргумента производная функции e) принимает неотрицательные значения.
3. Составьте и решите неравенство , если .

Вариант 2 (уровень 3).

1. Вычислите производные:

2. Выяснить, при каких значениях аргумента производная функции d) принимает положительные значения.
3. Составьте и решите неравенство , если .

5. Производные некоторых элементарных функций

время выполнения – 40 минут

Вариант 1 (уровень 1)

1. Найдите производные функций: а); б); в); г).
2. Найдите значение производной функции  в точке .
3. При каких значениях х значение производной функции  равно нулю?
4. Выясните, при каких значениях х, производная функции  принимает положительные значения.

Вариант 2 (уровень 1)

1. Найдите производные функций: а); б); в); г) .
2. Найдите значение производной функции  в точке .
3. При каких значениях х значение производной функции  равно нулю?
4. Выясните, при каких значениях х, производная функции  принимает отрицательные значения.

Вариант 3 (уровень 1)

1. Найдите производные функций: а); б); в) ; г). .
2. Найдите значение производной функции  в точке .
3. При каких значениях х значение производной функции  равно нулю?
4. Выясните, при каких значениях х, производная функции  принимает положительные значения.

Вариант 4 (уровень 1)

1. Найдите производные функций: а); б); в); г) .
2. Найдите значение производной функции  в точке .
3. При каких значениях х значение производной функции  равно нулю?
4. Выясните, при каких значениях х, производная функции  принимает отрицательные значения.

Вариант 1 (уровень 2)

1. Найдите производные функций: а); б); в); г).
2. Найдите значение производной функции  в точке .
3. При каких значениях х значение производной функции  равно нулю?
4. Выясните, при каких значениях х, производная функции  принимает положительные значения.

Вариант 2 (уровень 2)

1. Найдите производные функций: а); б); в); г).
2. Найдите значение производной функции  в точке .
3. При каких значениях х значение производной функции  равно нулю?
4. Выясните, при каких значениях х, производная функции  принимает положительные значения.

Вариант 3 (уровень 2)

1. Найдите производные функций: а); б); в); г).
2. Найдите значение производной функции  в точке .
3. При каких значениях х значение производной функции  равно нулю?
4. Выясните, при каких значениях х, производная функции  принимает отрицательные значения.

Вариант 4 (уровень 2)

1. Найдите производные функций: а); б); в); г).
2. Найдите значение производной функции  в точке.
3. При каких значениях х значение производной функции  равно нулю?
4. Выясните, при каких значениях х, производная функции  принимает отрицательные значения.

Вариант 1 (уровень 3)

1. Найдите производные функций: а); б); в); г).
2. Найдите , если .
3. Решите уравнение , если .
4. Докажите, что при всех допустимых значениях x производная функции  не может принимать положительных значений.

Вариант 2 (уровень 3)

1. Найдите производные функций: а); б); в); г).
2. Найдите , если .
3. Решите уравнение , если .
4. Докажите, что при всех допустимых значениях x производная функции  не может принимать отрицательных значений.

6. Геометрический смысл производной

время выполнения – 40 минут

Вариант 1 (уровень 1).

1. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f(x)=x3-3x в точке с абсциссой x0=0.
2. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x)=x2+3x+1 в точке с абсциссой x0=1.
3. В какой точке графика функции f(x)=x2+4x+3 касательная наклонена к оси Ox под углом 450.

Вариант 2 (уровень 1)

1. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f(x)=x2 +2x в точке с абсциссой x0=1.
2. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x)=x2 – 2x+5 в точке с абсциссой x0=4.
3. В какой точке графика функции

      касательная  наклонена к оси Ox под          углом 600.

Вариант 3 (уровень 1)

1. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f(x)=4x2-7x в точке с абсциссой x0=2.
2. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x)=2x-x2 в точке с абсциссой x0=0.
3. В какой точке графика функции

      касательная к графику наклонена к оси Ох под  углом   600.

Вариант 4 (уровень 1)

1. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f(x)=-5x2 +3x в точке с абсциссой x0=2.
2. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x)=-2x2+3x в точке с абсциссой x0=1.
3. В какой точке графика функции f(x)=-4x2+3x+2 касательная к графику наклонена к оси Ох под углом 450.

Вариант 1 (уровень 2)

1. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = x3 – 4x2 + 7x – 2 в точке с абсциссой 1.
2. Найдите углы, которые образует кривая f(x) = x2 +x  с осью абсцисс в каждой из точек их пересечения.
3. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = - 2x2 + 3x – 5, которая параллельна прямой  y = 7x – 6.

Вариант 2 (уровень 2)        

1. Составьте уравнение касательной к графику функции      в точке с абсциссой 1.
2. Найдите углы, которые образует кривая  с осью абсцисс в каждой из точек

      их пересечения.

3. В каких точках касательная к графику функции  образует с осью Ох угол 450.

Вариант 3 (уровень 2).

1. Составьте уравнение касательной к графику функции                                    f(x) = 2x3 – 2x2  - 10x + 10 в точке с абсциссой 2.
2. Найдите углы, которые образует кривая f(x) = x2 -x  с осью абсцисс в каждой из точек их пересечения.
3. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = 2x2 - 5x +3,5, которая параллельна прямой y = -3x +1.

Вариант 4 (уровень 2)

1. Составьте уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой 4.
2. Найдите углы, которые образует кривая  с осью абсцисс в каждой из точек их пересечения.
3. В каких точках касательная к графику функции  образует с осью Ох угол 450.

Вариант 1 (уровень 3)

1. Составьте уравнение касательной к графику функции  в точках его пересечения с осью Ох.
2. В каких точках касательная к графику функции  составляет с положительным направлением оси Ох угол в 1350?
3. Напишите уравнения касательных к кривой        f(x) = - 2x2 + 4x – 3, проходящих через точку (1;7).

Вариант 2 (уровень 3).

1. Напишите уравнение касательной к графику функции  в точке ?
2. Под каким углом пересекается с осью Ох кривая  ?
3. Найдите тангенс угла между касательными, проведенными к параболе у = 3 + 2х – х2 в точках её пересечения с осью Ох.

7. Возрастание (убывание) и экстремумы функции

время выполнения – 30 минут

Вариант 1 (уровень 1)

1. Определите промежутки монотонности функции .
2. Найдите точки экстремума функции .
3. При каких значениях а функция  возрастает на всей числовой прямой?

Вариант 2 (уровень 1)

1. Определите промежутки монотонности функции .
2. Найдите точки экстремума функции.
3. При каких значениях а функция  возрастает  на всей числовой прямой?

Вариант 3(уровень 1)

1. Определите промежутки монотонности функции .
2. Найдите точки экстремума функции .
3. При каких  значениях а функция  убывает на всей числовой прямой?

Вариант 4 (уровень 1)

1. Определите промежутки монотонности функции .
2. Найдите точки экстремума функции.
3. При каких  значениях а функция убывает на всей числовой прямой?

Вариант 1 (уровень 2)

1. Определите промежутки монотонности функции.
2. Найдите точки экстремума функции .
3. Найдите длину промежутка возрастания функции .

Вариант 2 (уровень 2)

1. Определите промежутки монотонности функции.
2. Найдите точки экстремума функции.
3. При каком наибольшем значении а функция  возрастает на всей числовой прямой?

Вариант 3(уровень 2)

1. Определите промежутки монотонности функции.
2. Найдите точки экстремума функции.
3. При каком наибольшем значении а функция  возрастает на всей числовой прямой?

Вариант 4 (уровень 2)

1. Определите промежутки монотонности функции.
2. Найдите точки экстремума функции.
3. При каком наибольшем значении а функция  убывает на всей числовой прямой?

Вариант 1 (уровень 3)

1. Исследуйте функции на монотонность и экстремум: а);   б).
2. При каких  значениях а функция f(x)=xex убывает на отрезке [a-5; a+3]?

Вариант 2 (уровень 3)

1. Исследуйте функции на монотонность и экстремум: а);  б).
2. При каких  значениях а функция  возрастает на отрезке ?

8. Наибольшее и наименьшее значения функции

время выполнения – 40 минут

Вариант 1 (уровень 1)

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке [- 3; 2].
2. Представьте число 12 в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.

Вариант 2 (уровень 1)

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке          [- 4; 3].
2. Представьте число 25 в виде произведения двух положительных чисел, сумма которых наименьшая.

Вариант 3 (уровень 1)

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке [- 2; 0].
2. Представьте число 12 в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

Вариант 4 (уровень 1)

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке [0; 3].
2. Представьте число 81 в виде произведения двух отрицательных чисел, сумма которых наибольшая.

Вариант 1 (уровень 2)

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке [0; 2].
2. Найти наименьшее значение функции  на интервале (1; ∞).
3. Из всех прямоугольников с периметром 20 см найдите размеры прямоугольника наибольшей площади.

Вариант 2 (уровень 2)

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке [1; 3].
2. Найти наименьшее значение функции  на интервале (0; ∞).
3. Из всех прямоугольников, площадь которых равна 36 см2, найти прямоугольник с наименьшим периметром.

Вариант 3 (уровень 2)

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке [- 2; 0].
2. Найти наименьшее значение функции  на интервале (0; ∞).
3. Объем правильной четырехугольной призмы равен 8 см3. Какую длину должны иметь сторона основания и высота призмы, чтобы площадь ее поверхности была наименьшей?

Вариант 4 (уровень 2)

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке [0; 3].
2. Найти наибольшее значение функции  на интервале (- ∞; 0).
3. Найдите число, которое, если сложить со своим квадратом, даст наименьшую сумму.

Вариант 1 (уровень 3)

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке [0; 3].
2. Материальная точка движется прямолинейно по закону:  (х – в метрах, t – в секундах). Определите, в какой момент времени из промежутка [4; 8] скорость точки будет наибольшей, и найдите значение скорости в этот момент.
3. Из всех прямоугольников с диагональю 18см найдите прямоугольник наибольшей площади.

Вариант 2 (уровень 3)

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке [-3; 0].
2. Материальная точка движется прямолинейно по закону:  (х – в метрах, t – в секундах). Определите, в какой момент времени из промежутка [1; 5] скорость точки будет наибольшей, и найдите значение скорости в этот момент.
3. Из всех прямоугольников с площадью 25см2 найдите прямоугольник наименьшим периметром.

8. Первообразная

время выполнения – 25 минут

Вариант 1 (уровень 1)

1. Докажите, что функция F является первообразной для функции f на всей числовой оси: .
2. Найдите все первообразные функций: а) ; б) .
3. Для функции  найти первообразную, график которой проходит через точку М(-1;2).

Вариант 2 (уровень 1)

1. Докажите, что функция F является первообразной для функции f на всей числовой оси:
2. Найдите все первообразные функций: а) ;  б) .
3. Для функции  найти первообразную, график которой проходит через точку    М(-1;3).

Вариант 3 (уровень 1)

1. Определите, является ли функция F первообразной для функции f  на множестве R: .
2. Найти все первообразные функции:

а) ; б) .

3. Для функции  найти первообразную, график которой проходит через точку М(0;1).

Вариант 4 (уровень 1)

1. Определите, является ли функция F первообразной для функции f  на множестве R:
2. Найти все первообразные функции:

а) ; б).

3. Для функции  найти первообразную, график которой проходит через точку М(0;-4).

Вариант 1 (уровень 2)

1. Найдите все первообразные функций: а); б).
2. Найти первообразную F(x) функции , если F(0)=0.
3. Для функции f найдите первообразную F, принимающую заданное значение в указанной точке:                                      .

Вариант 2 (уровень 2)

1. Найдите все первообразные функций: а);  б).
2. Найти первообразную F(x) функции , если F(0)=1.
3. Для функции f(x) найдите первообразную F(x), принимающую заданное значение в указанной точке:                                     .

Вариант 3 (уровень 2)

1. Найти все первообразные функции:

а) ; б) .

2. Найти первообразную F(x) функции, если .
3. Для функции f(x) найдите первообразную, график которой проходит через точку А .

Вариант 4 (уровень 2)

1. Найти все первообразные функции:

а) ; б) .

2. Найти первообразную F(x) функции , если.
3. Для функции f(x) найдите первообразную, график которой проходит через точку А .

Вариант 1 (уровень 3)

1. Найдите функцию f, для которой функция F является одной из первообразных на R: .
2. Найти все первообразные функций: а); б).
3. Для функции  найдите первообразную, график которой проходит через точку А (2; 6).

Вариант 2 (уровень 3)

1. Найдите функцию f, для которой функция F является одной из первообразных на R: .
2. Найти все первообразные функций: а); б).
3. Для функции  найдите первообразную, график которой проходит через точку  А (3; 55).

итература:

1. Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. Алгебра и начала анализа 10-11. М.: Просвещение, 2000.
2. М.И. Башмаков. Алгебра и начала анализа 10-11, М.: Просвещение, 1992.
3. С.М.Саакян, А.М. Гольдман, Д.В. Денисов. Задачи по алгебре и началам анализа. М.: Просвещение, 2001.
4. Б.Г. Зив, В.А. Гольдич. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. СПб.: ЧеРо-на-Неве, 2003.
5. А.П. Ершова, В.В. Голобородько. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. М.: Илекса, 2003.
6. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ. Математика/ Л.О. Денищева, Ю.А. Глазков и др. – М.: Интеллект – Центр, 2003.
7. Задачи по математике для подготовки к тестированию и ЕГЭ/ Е.Е. Вольпер, Е.И. Федорова. – Омск, 2003.
8. Система тренировочных задач и упражнений по математике/ А.Я. Симонов, Д.С. Бакаев, А.Г. Эпельман и др. – М.: Просвещение, 1991.