Применение метода проектов при изучении темы "Арифметический квадратный корень"
проект по алгебре (8 класс) на тему

Контрольная работа № 3.

Вариант 1.

1.  Вычислите: а)0,5 +   ;  б) 2 - 1;  в) ( 2)2.

2. Найдите значение выражения:

а) ;  б)   ;  в)  ;  г) .

3. Решите уравнение:  а) х2 = 0,49;  б) х2 = 10.

4. Упростите выражение: а) х2 , где х0; б) – 5b2 , где b  0.

5. Укажите две последовательные десятичные дроби с одним знаком после запятой, между которыми заключено число .

6. Имеет ли корни уравнение  + 1 = 0.

Вариант 2.

1.  Вычислите: а) +   ;  б) 1,5 - 7;  в) ( 2)2.

2. Найдите значение выражения:

а) ;  б)   ;  в)  ;  г) .

3. Решите уравнение:  а) х2 = 0,64;  б) х2 = 17.

4. Упростите выражение: а) у3 , где у0; б) 7а2 , где а  0.

5. Укажите две последовательные десятичные дроби с одним знаком после запятой, между которыми заключено число .

6. Имеет ли корни уравнение  =1

Вариант 3.

1.  Вычислите: а)0,8 –   ;  б) 2 - 3;  в) ( 0,5)2.

2. Найдите значение выражения:

а) ;  б)   ;  в)  ;  г) .

3. Решите уравнение:  а) х2 = 0,81;  б) х2 = 46.

4. Упростите выражение: а) b3 , где b0; б) 2х2 , где х  0.

5. Укажите две последовательные десятичные дроби с одним знаком после запятой, между которыми заключено число .

6. При каких значениях переменной х имеет смысл выражение ?

Вариант 4.

1.  Вычислите: а) +   ;  б) 2,1 + 1,3 - 1;  в) ( 0,4)2.

2. Найдите значение выражения:

а) ;  б)   ;  в)  ;  г) .

3. Решите уравнение:  а) х2 = 0,09;  б) х2 = 92.

4. Упростите выражение: а) х2 , где х0; б) – 5у6 , где у  0.

5. Укажите две последовательные десятичные дроби с одним знаком после запятой, между которыми заключено число .

6. При каких значениях переменной у имеет смысл выражение ?

Контрольная работа № 4.

Вариант 1.

1. Упростите выражение: а) 10 - 4 - ; б) (5 - ); в) (3 - )2.

2. Сравните: 7  и  .

3. Сократите дробь: а)  ; б)  .

4. Освободитесь от знака корня в знаменателе: а) ; б)  .

5. Докажите, что значение выражения есть рациональное число:

 -  .

Вариант 2.

1. Упростите выражение: а) 2 +  - ; б) (3 - ); в) ( + )2.

2. Сравните:   и  .

3. Сократите дробь: а)  ; б)  .

4. Освободитесь от знака корня в знаменателе: а) ; б)  .

5. Докажите, что значение выражения есть рациональное число:

 + .

Вариант 3.

1. Упростите выражение: а) 6 +  - ; б) ( - ); в) (2 - )2.

2. Сравните:   и  .

3. Сократите дробь: а)  ; б)  .

4. Освободитесь от знака корня в знаменателе: а) ; б)  

5. Докажите, что значение выражения есть рациональное число:

 -  .

Вариант 4.

1. Упростите выражение: а) 5 + 2 - ; б) (4 + ); в) ( - )2.

2. Сравните:   и  .

3. Сократите дробь: а)  ; б)  .

4. Освободитесь от знака корня в знаменателе: а) ; б)  

5. Докажите, что значение выражения есть рациональное число:

 +  .

Олимпиадные задания с корнями.

1. Доказать, что сумма, разность, произведение и частное чисел вида , где а и b – рациональные числа, также могут быть представлены в таком виде.

2. Пара чисел х =3, у = 2 является решением уравнения .

Показать, что существует сколько угодно других пар натуральных чисел, удовлетворяющих этому уравнению.

3. . Уловить закономерность в ряду чисел  и дописать следующие пять чисел.

4. Используя шесть раз число  и любые знаки действий, получить число 6.

5. Что больше  или ?

6. В пустые клетки вписать такие числа, чтобы произведение трех чисел по любой горизонтали и вертикали были равны числу .

7. Миша и Саша записывают каждый по одному положительному числу. Потом Саша находит их сумму и делит ее на 2, а Миша находит их произведение и извлекает из него квадратный корень. Выигрывает тот, у кого получится большее число. Как вы думаете,  кто почти всегда выигрывает?

8. Доказать, что меньше числа 3.

9. Найти сумму .

10. Доказать, что если , то

11. Доказать неравенство .

Решение олимпиадных заданий с корнями.

1 Пусть . Тогда , где - рациональные числа. Произведение:

, где - рациональные числа. Отношение: , где

- рациональные числа.

2. Пара чисел (3;2) является решением данного уравнения, а значит равносильного ему уравнения . Значит является верным равенство

. Возведем это равенство в квадрат, получим равенство

. Следовательно, пара чисел (17;12) является корнем данного уравнения. Возведя в квадрат верное равенство , получим новую пару чисел (577;408), являющуюся решением данного уравнения. Такой процесс можно продолжать бесконечно.

3. Если извлечь квадратные корни, то получим 1,2,4,5,7,8…-т.е. из ряда натуральных чисел выброшено каждое третье число.

4. Вариант решения:.

5. При n<6 сумма больше, при n>6 сумма меньше.

6.

7. Чаще выигрывал Саша.

8. Если последнюю цифру 6 заменить на 9, то после извлечения всех корней получится 3, следовательно, выражение заведомо меньше 3.

9.

10. Обозначим , тогда a = bk, c = dk, m = nk…

11. Так как обе части положительны, то возведем их в квадрат. Получим (предположив, что неравенство верно):

что верно.

Опорные задачи.

1. Верно ли, что:

а) число 9 является арифметическим квадратным корнем из 81;

б) число 0,2 не является арифметическим корнем из 0,4;

в) число – 5 не является арифметическим квадратным корнем из 25?

2. Вычислите:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

3. Имеет ли корни уравнение ( при положительном ответе найдите их):

а) ; б) ; в) ; г) .

4. Найдите значение выражения, используя теорему о корне из произведения:

а) ; б) ; в) ; г) .

5. Найдите значение произведения:

а) ; б) ; в) .

6. Найдите значение выражения, используя теорему о корне из дроби:

а) ; б) ; г) ; г) .

7. Найдите значение выражения:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

8. Вынесите множитель из-под корня:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) , если b > 0.

9. Внесите множитель под знак корня:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

10. Упростите выражение:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) .

11. Сократите дробь:

а) ; б) ; в) ; г) .

12. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) ; б) ; в) ; г) .

Тест 1.

Вариант 1

Уровень 1. Задания, позволяющие проверить, насколько учащийся может повторить новую информацию.

1. Заполнить пропуски.

А) Корень из произведения______________множителей равен  ____________________

б) если то .

( 2 балла, по 1баллу за ответ)

2. Соедините отрезками выражения так, чтобы получились тождества.

  (4 балла, по 1 баллу за ответ)               

          3. Завершить решения.

А) .

Б) .

В) .

Г) .

(4 балла, по 1 баллу за ответ)

4. Представьте выражение  в виде произведения корней.

А) Если .

Б) Если .

(2 балла, по 1 баллу за ответ)

Уровень 2. Задания, позволяющие проверить, насколько учащийся понял и научился применять новые знания.

5. Решить примеры.

А);                                           б) ;

в) ;                                               г) ;

д);                                              е) ;

ж);                                             з) ;

и) .

(18 баллов, по 2 балла за ответ)

6. Подчеркнуть такие ответы в скобках, чтобы тождества были верными.

А)  ( а; - а;  );

 б)  ( 5а; - 5а; );

в)   (а6; - а6 ).

(6 баллов, по 2 балла за ответ)

7. Отметить верные равенства.

А) .

Б) .

В) .

Г) .

(6 баллов, по 3 балла за ответ)

8. Решить примеры.

А) ;

б) .

(6 баллов, по 3 балла за ответ)

9. Упростить выражения.

А) ;

б) ;

в).

(9 баллов, по 3 за ответ)

10. Указать значения переменных, при которых верны равенства.

А)  при ______________;

б)  при ____________;

в)  при _______________;

г)  при _________.

(8 баллов, по 2 балла за ответ)

11. Найти выражения, находящиеся под знаком корня.

А) ;

б)

(6 баллов, по 3 балла за ответ)

Вариант 2

Уровень 1. Задания, позволяющие проверить, насколько учащийся может повторить новую информацию.

1. Заполнить пропуски.

А) Чтобы извлечь корень из степени с______________показателем, достаточно представить ______________выражение в виде ____________некоторого выражения и воспользоваться тождеством _________.

Б) если то .

( 2 балла, по 1баллу за ответ)

2. Соедините отрезками выражения так, чтобы получились тождества.

  (4 балла, по 1 баллу за ответ)               

          3. Завершить решения.

А) .

Б) .

В) .

Г) .

(4 балла, по 1 баллу за ответ)

4. Представьте выражение  в виде частного корней.

А) Если .

Б) Если .

(2 балла, по 1 баллу за ответ)

Уровень 2. Задания, позволяющие проверить, насколько учащийся понял и научился применять новые знания.

5. Решить примеры.

А);                                                              б) ;

в) ;                                                                г) ;

д);                                                                е) ;

ж);                                                              з) ;

и) .

(18 баллов, по 2 балла за ответ)

6. Подчеркнуть такие ответы в скобках, чтобы тождества были верными.

А)  ( )

 б)  ( b2; - b2; )

в)   (b8; - b8 ).

(6 баллов, по 2 балла за ответ)

7. Отметить верные равенства.

А) .

Б) .

В) .

Г) .

(6 баллов, по 3 балла за ответ)

8. Решить примеры.

А) ;

б) .

(6 баллов, по 3 балла за ответ)

9. Упростить выражения.

А) ;

б) ;

в).

(9 баллов, по 3 за ответ)

10. Указать значения переменных, при которых верны равенства.

А)  при ______________;

б)  при ____________;

в)  при _______________;

г)  при _________.

(8 баллов, по 2 балла за ответ)

11. Найти выражения, находящиеся под знаком корня.

А) ;

б)

(6 баллов, по 3 балла за ответ)

Ответы к тесту №1

Тест 2.

Вариант 1

Уровень 1. Задания, позволяющие проверить, насколько учащийся может повторить новую информацию.

1. Завершить вынесение множителя из-под знака корня.

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

(4 балла, по 1 баллу за ответ)

2. Завершить внесение множителя под корень.

а) ;

б) ;

в) .

(3 балла, по 1 баллу за ответ)

3. Представить выражение в виде квадрата (например, ).

а) ; б) 16 =_____; в) 7 = ____;

г) ; д) .

(5 баллов, по 1 баллу за ответ)

4. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби.

а) ;

б)

 (2 балла, по 1 баллу за ответ)

Уровень 2. Задания, позволяющие проверить, насколько учащийся понял и научился применять новые знания.

5. Вынесите множитель из-под знака корня.

а) ; б) ;

в) ; г) .

(8 баллов, по 2 за ответ)

6. Внесите множитель под знак корня.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

(10 баллов, по 2 балла за ответ)

7. Сравнить выражения.

а) ; б) ;

в)  ; г) .

(8 баллов, по 2 балла за ответ)

8. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби.

а) ; б) ;

в) ; г) .

(8 баллов, по 2 балла за ответ)

9. Упростить выражения.

а) ; б) ;

в) ;

г) .

(8 баллов, по 2 балла за ответ)

10. Разложить выражения на множители.

а) ; б) ;

в) ; г) .

(8 баллов, по 2 балла за ответ)

11. Сократить дроби.

а) ;

б) ;

в) .

(9 баллов, по 3 балла за ответ)

Вариант 2.

Уровень 1. Задания, позволяющие проверить, насколько учащийся может повторить новую информацию.

1. Завершить вынесение множителя из-под знака корня.

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

(4 балла, по 1 баллу за ответ)

2. Завершить внесение множителя под корень.

а) ;

б) ;

в) .

(3 балла, по 1 баллу за ответ)

3. Представить выражение в виде квадрата (например, ).

а) ; б) 81 =_____; в) 5 = ____;

г) ; д) .

(5 баллов, по 1 баллу за ответ)

4. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби.

а) ;

б)

 (2 балла, по 1 баллу за ответ)

Уровень 2. Задания, позволяющие проверить, насколько учащийся понял и научился применять новые знания.

5. Вынесите множитель из-под знака корня.

а) ; б) ;

в) ; г) .

(8 баллов, по 2 за ответ)

6. Внесите множитель под знак корня.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

(10 баллов, по 2 балла за ответ)

7. Сравнить выражения.

а) ; б) ;

в)  ; г) .

(8 баллов, по 2 балла за ответ)

8. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби.

а) ; б) ;

в) ; г) .

(8 баллов, по 2 балла за ответ)

9. Упростить выражения.

а) ; б) ;

в) ;

г) .

(8 баллов, по 2 балла за ответ)

10. Разложить выражения на множители.

а) ; б) ;

в) ; г) .

(8 баллов, по 2 балла за ответ)

11. Сократить дроби.

а) ;

б) ;

в) .

(9 баллов, по 3 балла за ответ)

Ответы к тесту №2

Тест 3. Действительные числа.

Арифметический квадратный корень.

Вариант 1.

Часть 1.

А1. Сравните числа 2, 786… и 2,768…

1) 2, 786…=2, 768…              2) 2,786…2,768…           3) 2,786…2,768…

А2. Найти значение корня .

1) 100         2)2          3) 200             4) 20

А3. Найти значение выражения    11 - 45 +

1) 30,5455   2) 350,5   3) 300,5455   4) 35,05

А4. Найдите квадрат числа  .

1)256   2) 16   3) 64   4) 4

А5. Сколько корней имеет уравнение х2 = 6?

1) 1   2)2   3) 3   4) 0

А6. Точка А принадлежит графику функции у = . Найдите абсциссу точки А, если ее ордината равна 4.

1) 1   2) 2   3) – 2   4) 16.

Часть 2.

В1.Решите уравнение 13 + х2 = 94. Если оно имеет более одного корня, в ответ запишите произведение его корней.

Часть 3.

С1. Решите уравнение 14 + (х – 7)2 = 78.

Вариант 2.

Часть 1.

А1. Сравните числа 3, 534… и 3,543…

1) 3, 534…=3, 543…              2) 3,534…3,543…           3) 3,534…3,543…

А2. Найти значение корня .

1) 90         2)450          3) 30             4) 300

А3. Найти значение выражения    11 - 27 +

1) 197,366  2) 179,6   3) 19,7366   4) 17,96

А4. Найдите квадрат числа  .

1) 64   2) 32   3) 4096   4) 8

А5. Сколько корней имеет уравнение х2 = 5?

1) 1   2)2   3) 3   4) 0

А6. Точка А принадлежит графику функции у = . Найдите абсциссу точки А, если ее ордината равна 16.

1) 16   2) - 4   3) 256   4) 4.

Часть 2.

В1.Решите уравнение 12 + х2 = 61. Если оно имеет более одного корня, в ответ запишите произведение его корней.

Часть 3.

С1. Решите уравнение 24 + (х – 6)2 = 105.

Вариант 3.

Часть 1.

А1. Сравните числа 5, 324… и 5,342…

1) 5, 324…=5, 342…              2) 5,324…5,342…           3) 5,324…5,342…

А2. Найти значение корня .

1) 16         2)800          3) 40             4) 400

А3. Найти значение выражения    11 - 37 +

1) 87,33   2) 80,7663   3) 807,33   4) 807,663

А4. Найдите квадрат числа  .

1)5   2) 25   3) 50   4) 625

А5. Сколько корней имеет уравнение х2 = - 7?

1) 1   2)2   3) 3   4) 0

А6. Точка А принадлежит графику функции у = . Найдите абсциссу точки А, если ее ордината равна 9.

1) 81   2) - 3   3) 3   4) 9.

Часть 2.

В1.Решите уравнение 17 + х2 = 81. Если оно имеет более одного корня, в ответ запишите произведение его корней.

Часть 3.

С1. Решите уравнение 18 + (х – 5)2 = 54.

Вариант 4.

Часть 1.

А1. Сравните числа 7, 523… и 7,532…

1) 7, 523…=7, 532…              2) 7,523…7,532…           3) 7,523…7,532…

А2. Найти значение корня .

1) 25         2)1250          3) 500             4) 50

А3. Найти значение выражения    11 - 48 +

1) 39,5266   2) 358,6   3) 35,86   4) 395,566

А4. Найдите квадрат числа  .

1)2401   2) 24,5   3) 7   4) 49

А5. Сколько корней имеет уравнение х2 = - 3?

1) 1   2)2   3) 3   4) 0

А6. Точка А принадлежит графику функции у = . Найдите абсциссу точки А, если ее ордината равна 25.

1) - 5   2) 25   3) 625   4) 5

Часть 2.

В1.Решите уравнение 27 + х2 = 63. Если оно имеет более одного корня, в ответ запишите произведение его корней.

Часть 3.

С1. Решите уравнение 27 + (х – 5)2 = 76.

Тест 4. Свойства арифметического квадратного корня.

Вариант 1.

Часть 1.

А1. Найдите значение выражения  .

1) 16   2) 200   3) 63   4)70

А2. Найдите значение выражения  .

1) 300   2) 30   3) 3   4) 126

А3. Найдите значение выражения .

1)    2)    3)    4)

А4. Найдите значение выражения  3

1) 5427   2) 21    3) 2409   4) 159

А5. Упростите выражение  -  при b0.

1)      2) -    3) -     4)

А6. Упростите выражение   при b  0.

1)    2) -    3) -    4)

Часть 2.

В1. Найдите значение выражения

Часть 3.

С1.  Упростите  выражение   и найдите его значение при

х = 441.

Вариант 2.

Часть 1.

А1. Найдите значение выражения  .

1) 21   2) 42   3) 420   4)450

А2. Найдите значение выражения  .

1) 63   2) 630   3) 6,3   4) 180

А3. Найдите значение выражения .

1)    2)    3)    4)

А4. Найдите значение выражения  4

1) 6084   2) 78    3) 3042   4) 156

А5. Упростите выражение  -  при а0.

1)      2)    3) -     4)

А6. Упростите выражение   при с  0.

1)-    2)    3)    4) -  

Часть 2.

В1. Найдите значение выражения

Часть 3.

С1.  Упростите  выражение   и найдите его значение при

х = 361.

Вариант 3.

Часть 1.

А1. Найдите значение выражения  .

1) 240   2) 90   3) 450   4)45

А2. Найдите значение выражения  .

1) 480   2) 4,8   3) 48   4) 150

А3. Найдите значение выражения .

1)    2)    3)    4)

А4. Найдите значение выражения  5

1) 1444   2) 380    3) 190   4) 95

А5. Упростите выражение  -  при с0.

1)      2)    3) -     4)

А6. Упростите выражение   при a  0.

1)    2) -    3) -    4)

Часть 2.

В1. Найдите значение выражения

Часть 3.

С1.  Упростите  выражение   и найдите его значение при

х = 484.

Вариант 4.

Часть 1.

А1. Найдите значение выражения  .

1) 40   2) 80   3) 200   4)400

А2. Найдите значение выражения  .

1) 350   2) 250   3) 3,5   4) 35

А3. Найдите значение выражения .

1)    2)    3)    4)

А4. Найдите значение выражения  2

1) 196   2) 98   3) 2401   4) 4802

А5. Упростите выражение  -  при a0.

1)      2)    3)     4)

А6. Упростите выражение   при c  0.

1)-     2)    3) -    4)

Часть 2.

В1. Найдите значение выражения

Часть 3.

С1.  Упростите  выражение   и найдите его значение при

х = 324.

Самостоятельная работа №1

Вариант 1.

1. Вычислите:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

2. Найдите значение выражения наиболее рациональным способом:

.

Самостоятельная работа №1

Вариант 3.

1. Вычислите:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

2. Найдите значение выражения наиболее рациональным способом:

.

Самостоятельная работа №2

Вариант 1.

1. Вынесите множитель из-под знака корня:

 а) ; б) ; в) ; г) .

2. Внесите множитель под знак корня:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Сравните значения выражений M и N, если

Самостоятельная работа №2

Вариант 3.

1. Вынесите множитель из-под знака корня:

 а) ; б) ; в) ; г) .

2. Внесите множитель под знак корня:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Сравните значения выражений M и N, если

Самостоятельная работа №1

Вариант 2.

1. Вычислите:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

2. Найдите значение выражения наиболее рациональным способом:

.

Самостоятельная работа №1

Вариант 4.

1. Вычислите:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

2. Найдите значение выражения наиболее рациональным способом:

.

Самостоятельная работа №2

Вариант 2.

1. Вынесите множитель из-под знака корня:

 а) ; б) ; в) ; г) .

2. Внесите множитель под знак корня:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Сравните значения выражений M и N, если

Самостоятельная работа №2

Вариант 4.

1. Вынесите множитель из-под знака корня:

 а) ; б) ; в) ; г) .

2. Внесите множитель под знак корня:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Сравните значения выражений M и N, если

Самостоятельная работа №3

Вариант 1.

1. Выполните действия:

 а); б) ;

в); г) ;

д) ; е) .

2. Выполните действия, используя формулы сокращенного умножения:

а) ; б) ;

в) .

3. Разложите на множители: а) ;

б) ; в) х2 – 15; г) ;

д) .

Самостоятельная работа №3

Вариант 3.

1. Выполните действия:

 а); б) ;

в); г) ;

д) ;

е) .

2. Выполните действия, используя формулы сокращенного умножения:

а) ; б) ;

в) .

3. Разложите на множители: а) ;

б) ; в)25 х2 – 12;

г) ;

д) .

Самостоятельная работа №3

Вариант 2.

1. Выполните действия:

 а); б) ;

в); г) ;

д) ; е) .

2. Выполните действия, используя формулы сокращенного умножения:

а) ; б) ;

в) .

3. Разложите на множители: а) ;

б) ; в) 7– 4у2; г) ;

д) .

Самостоятельная работа №3

Вариант 4.

1. Выполните действия:

 а); б) ;

в); г);

д) ;

е) .

2. Выполните действия, используя формулы сокращенного умножения:

а) ; б) ;

в) .

3. Разложите на множители: а) ;

б) ; в) 18 – 49а2; г) ;

д) .

Самостоятельная работа №4

Вариант 1.

1. Сократите дробь:

а) ; б) .

2. Освободите выражение от иррациональности в знаменателе:

а) ; б) .

3. Упростите выражение:

а); б) .

Самостоятельная работа №4

Вариант 3.

1. Сократите дробь:

а) ; б) .

2. Освободите выражение от иррациональности в знаменателе:

а) ; б) .

3. Упростите выражение:

а); б) .

Самостоятельная работа №4

Вариант 2.

1. Сократите дробь:

а) ; б) .

2. Освободите выражение от иррациональности в знаменателе:

а) ; б) .

3. Упростите выражение:

а); б) .

Самостоятельная работа №4

Вариант 4.

1. Сократите дробь:

а) ; б) .

2. Освободите выражение от иррациональности в знаменателе:

а) ; б) .

3. Упростите выражение:

а); б) .