Решение логарифмических неравенств и систем неравенств. Уровень С-3 или №17 ЕГЭ
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

План-конспект урока математики в 11 классе по теме

«Решение логарифмических неравенств и систем неравенств.

Уровень С-3 или №17 ЕГЭ»

Цель урока. Совершенствование навыков решения логарифмических неравенств и их систем.

Задачи урока. Содействовать развитию логического мышления учащихся.

Ход урока

1. Проверка домашнего задания.

Презентация домашних примеров.

    1. Решите неравенство:

Учитель. Чем интересен этот пример?

Учащиеся. В этом примере довольно интересная оценка значений выражений, стоящих под знаком логарифма, а также их сравнение. В примере имеется раскрытие модуля и красивая логическая цепочка.

    2. Решите неравенство:

Решение. Воспользуемся методом рационализации неравенств, то есть методом замены неравенства на выражение того же знака. При этом данное неравенство равносильно следующей системе:

Ответ:

Учитель. Что можно сказать об этом примере?

Учащиеся. По сравнению с предыдущим этот пример несложный. Надо только знать метод рационализации, который значительно упрощает решение по сравнению с традиционным методом.

Учитель. Что надо знать для решения логарифмических неравенств и их систем?

Учащиеся:

- определение логарифма;

- свойства логарифмов;

- свойства логарифмической функции;

- методы решения логарифмических неравенств и их систем.

Учитель. Какие методы решения логарифмических неравенств и их систем вы знаете?

Учащиеся:

- графический;

- функционально-графический;

- метод равносильных переходов на основе свойств логарифмической функции;

- метод оценок;

- метод рационализации.

2. Решение систем неравенств.

Проанализируйте и укажите ход решения систем неравенств.

1)  

                                                                 Ответ:

Учитель. Какой метод использовали при решении этой системы?

Учащиеся. Метод оценки значений выражений.

2)

Ход решения. Начинаем с первого неравенства. Его область определения .

С учётом области определения первого неравенства раскрываем знак модуля во втором неравенстве. Получим  .  Дальнейшее решение сложностей не вызывает.

3)

Решение. 1) Так как , то  и , отсюда  и .

2) Так как сумма двух положительных взаимно обратных выражений не меньше 2 согласно замечательному неравенству, то имеет место лишь равенство: , откуда , ,     x=0 – не удовлетворяет условию   Итак, х = 5 – решение первого неравенства системы.

3) Проверкой убеждаемся в том, что х = 5 является решением второго неравенства системы.                                                                                

                                                                                                                 Ответ: х = 5.  

Учитель. Чем интересна данная система?

Учащиеся. Применение замечательного неравенства позволило найти единственное решение первого неравенства системы. Второе сложное неравенство решать не надо, достаточно найденное решение первого неравенства подставить во второе и проверить, является ли оно решением второго неравенства.

4)

Если , то  - свойство транзитивности неравенств. Тогда данная система равносильна неравенству    решая которое, с учётом ОДЗ, получим

х = 6.                                                                                                          Ответ: х = 6.

Учитель. Какие выводы можно сделать из рассмотренных систем неравенств?

Учащиеся. При решении систем неравенств используется метод оценок, замечательные или основные неравенства, свойство транзитивности неравенств. Это позволяет решать даже очень сложные на первый взгляд системы довольно просто.

Учитель. Ну и конечно при этом необходим тщательный анализ условия.

3. Уделим внимание ещё одному моменту, который имеет место при решении систем неравенств: сравнение конечных значений промежутков.

1) Сравните числа:  и

Решение. .  Итак,

2) Решите систему неравенств:

Решение. 1) Решением первого неравенства будет промежуток .

2)Решим второе неравенство системы:

ОДЗ: . С учётом ОДЗ имеем        С учётом ОДЗ получим

3) Найдём общее решение двух неравенств. Для этого сравним числа 1,  и

 так как  то    

                                                                                                                   Ответ:

4. Самостоятельная работа. Класс решает самостоятельно, а два ученика решают на обратной и задней досках, что позволяет проверить решение всем.

1. Решите систему неравенств:

                                                 Ответ:

5. Итог урока.

Учитель. Что нового узнали на уроке?  Какие моменты решения особенно запомнились? Какая система особенно понравилась?

6. Домашнее задание:  №17 из вариантов ЕГЭ.