Задания для подготовки к ЕГЭ математика профильный уровень 10
тест по алгебре (11 класс) на тему

№1

 Решим уравнение      .

 Преобразуем знаменатели в произведение: .

Наименьший общий знаменатель  (НОЗ)  -   х(х-2)(х+2).

Получим уравнение:

.

Уравнение равносильно системе:

    2х+(х-2)(х-4) –(х+2)=0,                         2х +х2-6х +8 –х - 2 =0,

     х  ≠ 0,                                                     х ≠ 0,

     х-2  ≠ 0,                                                  х   ≠  2,                                          

      х+2 ≠ 0.                                                  х  ≠  -2.

Решим квадратное уравнение:

х2  - 5х  +6 = 0,

 х1 = 2,  х2  = 3.

 Так как  х   ≠  2,   то   2 – посторонний корень.

 Ответ: х =3 .                                      

№2

Решим уравнение      | х - 5 | + | 2х + 5 | = 3х.

Левая часть уравнения положительна, значит 3х >0,  х  > 0.

Если  х > 0, то  2х +5 >0.

Используя определение модуля, получим уравнение:

| х - 5 | + 2х + 5  = 3х.

1.  При  х-5 ≥ 0  

      х - 5  + 2х + 5  = 3х.

 После преобразований  уравнения получится  верное   числовое равенство:  

 0 = 0.

 Это означает, что решением уравнения являются все числа, удовлетворяющие  условию   х-5 ≥ 0,       х≥5.

2. При  х-5 <0  

   -х +  5  + 2х + 5  = 3х,  

 -2х  =  -10,

 х = 5, что не удовлетворяет условию   х-5 <0.

Ответ:    х  ≥ 5

№ 3

Решим уравнение    (х2  + 3х – 4 )3 + ( 2х2 -5х + 3 )3 = (3х2 – 2х -1 )3.

Разложим квадратные трёхчлены:   х2  + 3х – 4,    2х2 -5х + 3  и   3х2 – 2х -1

  на множители, используя формулу ах2 +bx +c = a( x- x1)(x- x2).

  х2  + 3х – 4= (х-1)(х+4),   2х2 -5х + 3  = 2(х- )(х-1), 3х2 – 2х -1 = 3(х+)(х-1).  

Получим уравнение

(х-1)3(х+4)3  +  (2х -3)3(х-1)3 = (3х +1)3(х-1)3,

(х-1)3(х+4)3 + (2х -3)3(х-1)3 − (3х +1)3(х-1)3=0,

 (х-1)3( (х+4)3  +  (2х -3)3 − (3х +1)3 ) = 0,

1.  (х-1)3 =0,   х-1 = 0,  х =1.

2. (х+4)3  +  (2х -3)3 − (3х +1)3  = 0,

 ( (х+4)3  +  (2х -3)3) − (3х +1)3  = 0,

Применим в скобках сумму кубов:

( 3х +1) (  ( х+4)2  − (х+4)(2х+3) + (2х−3)2−(3х+1)3) = 0,

 ( 3х +1) ( (3х2 − 9х + 37) −( 3х +1)2) =0,

 3х +1 =0,  х = −.          (3х2 − 9х + 37) −( 3х +1)2 = 0.(*)

После преобразований уравнения   (*)  получим:

2х2 + 5х− 12  = 0,               х1=−4,        х2 = .

Ответ:  х=−4,   х = −,  х =1, х = .

№4

 Решим уравнение   .

 3х2 −2х +8 >0 при всех действительных значениях х,  а значит,

 и   3х2 −2х +15>0.

ОДЗ: все действительные числа.

Пусть  3х2 −2х +8 = t, t > 0.

Получим уравнение , (*)

Возведём обе части уравнения  (*)  в квадрат:   t + 7 + 2,

=21−t. (**)

Это уравнение будет иметь корни  при условии 21−t≥ 0, t ≤ 21.

 Возведём обе части уравнения (**)  в квадрат:

t(t+7) = 441 − 42t + t2,

49t − 441 = 0,

t = 9,  9  удовлетворяет условию  0< t ≤ 21.

Вернёмся к переменной х:

 3х2 −2х +8 =9,

3х2 −2х−1  =0,    х1=1,  х2 = − .

Ответ:  х = − ,  х=1.

№5

Решим уравнение   = 6−.

 Решим уравнение с применением функционального метода.

   Пусть  f(x) =, z(x) = 6 - .

 Левая часть уравнения -  функция  f(x) непрерывна и возрастающая, правая

часть уравнения- функция z(x)  непрерывна и убывающая. Значит, графики этих функций    пересекаются в единственной точке.

  Абсцисса этой точки  -  корень исходного уравнения.

 Находим  подбором.    х  = − 2

 Ответ:  х  = − 2

№6

                                                       х2 − 5ху + 4у2=0, 

Решим систему уравнений         2х2 −у2 = 31.

 Первое уравнение системы решим как квадратное относительно х:

х2 − 5ху + 4у2=0,

а = 1,  b = -5y,  c = 4y2,  D = 25y2 − 16y2 =9y2,

x1,2  = ,   x1,2  =.

Если  у≥0, то x1,2   ,  х1 =4у,  х2  = у. (*)

Подставим эти значения  вместо х во второе уравнение системы, получим:

1. При  х =4у

 32у2− у2 =31,  у2 =1, у1,2 = ±1,   −1 не удовлетворяет условию у≥0.

Подставим  в  (*) вместо у единицу. Получим  х1 =4, х2 =1.

(4; 1), (1;1)   - решения системы.

2. При х  = у

 2у2 −у2 =31, у2 =31, у = .   − не удовлетворяет условию у≥0.

Подставим  в  (*) вместо у   его значение , получим  х1 =4, х2 =.

(4;) , (;) – решения системы.

     Если у<0 , то  x1,2   и:

а) у1 = −1.    Из (*) получим  х1 = −4, х2  = −1.

(−4; −1), (−1;  −1) – решения системы.

в) у2 = −.  Из (*) получим  х1 = −4, х2  = −,

(−4;−) , (−;−) – решения системы.

 Ответ: (−4;−) , (−;−), (1;1),   (4; 1), (;),(4;).

№7

Решим систему уравнений        (х+1)(у+1) =10,

                                                     (ху+1)(х+у) =25.

Преобразуем первое уравнение:

 (х+1)(у+1) =10,  ху+х+у+1=10,  (ху+1)+(х+у)=10.

Введём новые переменные :  ху+1 =а, х+у =с.

Получим систему    а+с =10,

                                   ас=25,  

   откуда  а=5 и с=5.

Вернёмся к переменным х  и у:

ху+1=5,

х+у =5,

Выразим из второго уравнения х:   х= 5−у. (*)  Подставим это значение в первое уравнение вместо  х,  получим  у(5−у) +1 =5, у2 −5х +4 =0,

у1 =1, у2 =4.

Из уравнения (*) найдём х:  х1 =4, х2  =1.

 Решение исходной системы :   (4 ; 1) , (1; 4).

Ответ:  (4 ; 1) , (1; 4).

№8

 Решим систему  уравнений    х2 +3ху2= 158,

                                                    3х2у +у2 = −185.

Преобразуем уравнения системы:  Сложим  первое и второе уравнения

системы, а затем вычтем из первого уравнения второе и применим для

каждого получившегося уравнения соответственно сумму и разность

кубов.   Эти преобразования приводят к равносильной системе.

 Получим                      (х+у)3 =−27,          ( х+у)3 =−33,         х + у = −3,

                                        (х−у)3 = 343;         ( х −у)3 = 73;          х −у =7;

2х =4, х=2.

Найдём у:   у = −3 − х,  у = − 5.

Ответ:  (− 5; 2).

№9

Решим систему уравнений

х +у +z =13,

x2  +y2 +z2 = 91,

y2 = xz.

1.Обе части первого уравнения возведём в квадрат:

х2+у2+z2 +2xy + 2xz + 2yz =169,

Сгруппируем слагаемые:

(х2+у2+z2) +2( xy +  xz  + yz ) =169,  вместо х2+у2+z2  подставим 91, получим

2(xy + xz + yz) =78,

xy + xz + yz =39.

Вместо xz подставим у2,  xy + у2 + yz =39,   у(х+у+z) =39,   y∙13 =39,

y=3.

 Подставим в исходную систему 3 вместо   у:

   x+z =10,                   x=1, z=9   или    z=1, x=9.

   xz =9

Проверка показала, что  тройки (1; 3; 9) и  (9; 3; 1) чисел

 удовлетворяют  всем  уравнениям исходной системы.

Ответ:  (1; 3; 9),  (9; 3; 1).

№10

Решим неравенство   x >.

х − > 0,    > 0,

После преобразований в числителе, получим > 0.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

1.х2+4х +3 = (х+1)(х+3).

 2.  х3 + 3х −4 =0,  х=1 –корень этого уравнения,

значит х3 + 3х −4 делится на  х−1,       (х3 + 3х −4) : (х−1) =х2 +4х+4

   х3 + 3х −4 = (х2 +4х+4) (х−1) =(х+2)2 (х−1).

Получим неравенство >0, Воспользуемся методом интервалов:

        −              +             +             −               +                                                                                                                              

                   -3                  -2               - 1                            1

           Ответ:  (-3; -2) ( -2; -1) (1;  +∞).

№11

Решим неравенство   (х2 + 3х+1)( х2 + 3х−3) ≥ 5.

Введём новую переменную:  пусть  х2 + 3х−3  = t,  тогда  х2 + 3х+1 = t+4.

Получим    неравенство  t (t+4)  ≥ 5,

     t2  + 4t − 5 ≥ 0,   (t+5)(t−1) ≥ 0,

Воспользуемся методом интервалов:

                         +                             −                                    +        

                                      −5                                     1                                                        

Получим  t ≤ −5,   t  ≥  1.

Вернёмся к переменной х:

1. х2 + 3х−3  ≤ −5                                                   2.  х2 + 3х−3 ≥  1,

х2 + 3х+2  ≤ 0,                                                              х2 + 3х−4  ≥ 0,

(х+2)(х+1)  ≤ 0,                                                            (х−1)(х+4)  ≥ 0,

         +         −             +                               +           −                +

          −2                   −1                                                    −4                    1                   Решение неравенства 1:[−2; −1].  Решение неравенства 2: (− ∞; −4]  [1;+ ∞).

Объединим решения неравенств  1 и 2 – это решение исходного неравенства

(− ∞; −4], [ −2;   −1], [1;+ ∞).

Ответ:  (− ∞; −4], [ −2;   −1], [1;+ ∞).

№12

Решим неравенство   |х2−2х −3| < |х2−х +4| .

х2−х +4 > 0 при всех  действительных значениях  х, т.к.  D <0   и а >0.

 Значит, |х2−х +4| = х2−х +4.

Получим неравенство |х2−2х −3| < х2−х +4.

Определим знаки  функции   f(x) = х2−2х −3 на числовой прямой:

х2−2х −3 =0,    (x+1)(x−3) =0.

Воспользуемся методом интервалов:

          +        −            +  

                -1               3                                                                                                                                                                                                                    

          Итак:    f(x) >0  на        (− ∞; −1)  (3;+ ∞);

                       f(x) <0  на         ( −1;   3).

  Рассмотрим два случая:

1.     х < −1,  х > 3,                                        

       х2−2х −3 < х2−х +4; 

       х < −1,  х > 3,

       х2−2х −3 − х2+х− 4 <0;

       х < −1,  х > 3,

       х >7; 

      Решение системы 1:    (7;+ ∞). 

   2.   −1< x <3,

         −х2  + 2х  +3 < х2−х +4; 

         −1< x <3,                                             −1< x <3,                                        

       −2х2 +3х −1 < 0                                       (2х−1)(х−1) > 0;

Воспользуемся методом интервалов:            +           −              +                                                    

                                                                                                      1        

 Решение неравенства  (2х−1)(х−1) > 0 :        (− ∞; )  (1;+ ∞),

Решение системы 2 : (−1; ) , (1; 3).

 Объединим решения  систем 1 и 2: (−1; ) , (1; 3), (7;+ ∞). 

      Ответ: (−1; ) , (1; 3), (7;+ ∞). 

№13

Решим неравенство<.

           2х+1≥ 0,                     х ≥ -,

ОДЗ:       2-х ≠ 0;                      x ≠ 2.       ОДЗ: [−;2),  (2 ; + ∞).

Из условия следует, что левая и правые части неотрицательны, значит, можем возвести в квадрат обе части неравенства:

.

 Т.к. 4 (2−х)2  > 0, то

  (2х+1) (2−х)2   − 4(х+1)2  < 0,

 Преобразуем   левую часть  неравенства:

2х3 − 11х2 −4х  <0,    х( 2х2− 11х −4 )  <0.(*)

Применим метод интервалов.

х=0,  2х2− 11х −4 =0, D = 153,  х1  = ,  х2  =.

               −              +                −                          +  

                                    0          

 Решение неравенства  (*):   (− ∞; )  (0; ).

 Решение исходного неравенства с учётом ОДЗ:  

[−;) , (0; 2), (2; ). 

Ответ:    [−;) , (0; 2), (2; ). 

№14

 Решим неравенство  

 ОДЗ:    4х+15≥0,                  х ≥−         ОДЗ:  [−;−),(− ; ),(;+ ∞).

                     х ≠−, х ≠.

Сократим дробь на  . получим неравенство,

 (*)           Рассмотрим два случая:

1. х≥0

Возведём обе части неравенства  (*)  в квадрат, получим: 4х+15≥4х2,

4х2 −4х −15≥0,

     4х2 −4х −15=0,     х1 =-  , х2 =             +              −                +                 

                                                                          −                             

Решение неравенства:    (− ∞; − ]  [; + ∞).

 Условию  х≥0   удовлетворяет   числовой промежуток:      [; + ∞).    

 Учтём  ОДЗ, получим:     (; + ∞).

2. При  х < 0 

 неравенство (*) верно для всех х из ОДЗ:

[−;−),(− ; ),(;+ ∞) .  

 Учтём  условие   х < 0, получим  [−;−),(− ; 0).

 Решение исходного неравенства    -   [−;−),(− ; 0), (; + ∞).

Ответ:   [−;−),(− ; 0), (; + ∞).