Элективный курс предпрофильной подготовки "Построение и преобразование графиков функций
элективный курс по алгебре (9 класс) на тему

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Верещакская средняя общеобразовательная школа»

«Рассмотрено»                               «Согласовано»                                  «Утверждено»                                                                                                                                  На заседании МО                  Зам. директора по УВР:          Директор школы:       (Ковалева З. И.)                                                  

учителей естественно-        ________(Осипенко Л. Г.)                 Введено приказом  № 130

математического цикла         «1» сентября 2012 г.                         от «3»  сентября 2012 г.                                                                                                                                                                

Протокол № 1                        

  № 1 от  «31» августа 2012 г.                                    

Руководитель МО:

______ (Шинкоренко М. П,)

Рабочая программа элективного курса

«Построение и преобразование графиков функций»

по математике для 9 класса

Составитель:

учитель математики и физики

Верещакской СОШ

Новозыбковского района

Шинкоренко М. П.

2012 – 2013 уч. г.

Пояснительная записка

        Предлагаемый курс является развитием системы ранее  приобретённых программных знаний, его цель помочь ученику осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им, с тем, чтобы по окончании 9 класса он смог сделать сознательный выбор в пользу дальнейшего углубленного либо обычного изучения математики. Решение графических задач,  способствует развитию геометрической интуиции учащихся, помогает более глубокому усвоению понятия функции, построению графиков и применению их на практике, способствует преодолению формализма в знаниях школьников. Эти задачи не получили должного распространения в школьной практике, и заложенные в них возможности не реализуются. Поэтому необходимо дать более «богатый» набор задач графического содержания. Эта цель достигается решением упражнений, содержащих построение и преобразование графиков.

          Цели и задачи элективного курса:

• прояснить и дополнить школьный материал, связанный с функциями и их графиками, представить систематизацию функций не по видам, а по методам  построения их графиков ;
• формировать умения применять знания на практике.

         Данная тема элективного курса выбрана потому, что понятие функциональной зависимости, являясь одним из центральных понятий в математике, пронизывает все её приложения, оно, как ни одно другое, приучает воспринимать величины в их живой изменчивости, во взаимной связи и обусловленности.

Требование к математической подготовке учащихся.

В результате изучения элективного курса учащиеся должны:

• находить значения функций, заданных формулой, таблицей, графиком;
• проводить исследования функций, указанных в программе видов, элементарными средствами;
• строить и читать графики функций, указанных в программе видов, овладеть основными приёмами образования графиков и применять их при построении графиков.

Учебно-тематический план.

Содержание программы:

Тема 1. ( 2 ч) Рождение функции. Линейная функция.

       Понятие функции, историческая справка. Способы задания функции. Виды функций (формула, график, область определения, область  

 значения): y = kx + b, , y = ах2 + вх + с (a≠0), y = х3,  , y =│х│. Кусочные функции. Различные виды уравнений прямой: y = kx + b,

Ах + Ву + с = 0,  

Понятие уравнений прямой в отрезках (вывод). Понятие матрицы. Работа с матрицей по линейной функции (приводим знания в систему). Работа по матрице (прямая и обратная).

Тема 2. (1 ч) Условия параллельности и перпендикулярности прямых

        Условие параллельности  . Условия перпендикулярности  . Рассмотреть примеры на определение по формулам параллельности и перпендикулярности прямых.

Тема 3. (2 ч) Линейные преобразования графиков функций.

         Рассматриваются методы, облегчающие построение графиков функций вида: Y=f(х+b), Y=Kf(x), Y=f(kx), Y=f(x)+B, Y=f(kx+b),  Y=Kf(x)+B. В результате учащиеся получают практическое руководство для построения эскизов графиков многих функций.                

Тема 4. (3 ч) Преобразование графиков, содержащих модули.

        Учащихся знакомятся с основными приёмами построения графиков функций, содержащих модуль (Y=f(|x|),|Y|=f(x), Y=|ƒ(x)|        ,|Y|=|ƒ(x)|, Y=|ƒ(|x|)|, |Y|=|ƒ(|x|)|), на характерных примерах. Привлекается их внимание к эстетической стороне данного вида деятельности. Необходимо предусмотреть возможности творчества учащихся.

Тема 5. (3 ч) Обратная пропорциональность. Дробно-рациональные функции.  Проверка  владения базовыми умениями по теме «Обратная пропорциональность». Разъяснение приёма на примере построения графиков функций  y=х2-1 и . Деление многочлена на многочлен. Понятие асимптот.

Тема 6.(1 ч) «Творческий аукцион»

       На заключительном занятии  с целью активизации познавательной деятельности учащихся, развития творчества и интеллектуального интереса к предмету математики проводится «Творческий аукцион».          

Методические рекомендации.

Занятие 1.

Цель: систематизировать знания учащихся об элементарных функциях, изученных ранее, ввести понятие кусочных функций (для тех, кто не изучал).

1.    Начинается занятие с краткой исторической справки о появлении понятия функции в математике.

      Всё течёт, всё изменяется в окружающем нас мире, как заметили ещё древние. Вращается вокруг своей оси земной шар, и день сменяет ночь, Земля вершит свой вечный бег вокруг Солнца…Кажется, причём здесь математика, а тем более функции и графики. Но, образно заметил великий Г. Галилей(1564-1642), книга природы написана на математическом языке и её буквы - математические знаки и геометрические фигуры, без них невозможно понять её слова, без них тщетно блуждание в бесконечном лабиринте (эти слова можно взять для эпиграфа урока). А именно функция является тем средством математического языка, которое позволяет описывать процессы движения, изменения, присущие природе.

      Впервые функция вошла в математику под именем «переменная величина» в знаменитом труде французского математика и философа Р. Декарта «Геометрия» (1637).

       Термин «функция» (от латинского function-исполнение, совершение) ввёл впервые Лейбниц в 1694 г.

        С развитием науки понятие функции многократно уточнялось и обобщалось. Сейчас оно стало настолько общим, что совпадает с понятием соответствия. Например, каждый человек имеет имя. Другими словами, каждому человеку соответствует определённое имя. Поэтому можно говорить, что мы имеем функцию: областью «значений» независимой переменной здесь служит множество всех людей, а множеством «значений» функции – множество всевозможных имён.

Приведённая функция является неоднозначной, так как некоторые люди имеют по нескольку имён. Рассмотрение неоднозначных функций неудобно, поэтому стараются перейти к их однозначным ветвям, то есть для каждого значения независимой переменной из всех значений функции выбирают одно. Обычно, если о функции ничего дополнительно не сказано, она предполагается однозначной, а возможность многозначности оговаривается специально.

        Таким образом, функцией в общем понимании называется любой закон (правило), по которому каждому объекту из некоторого класса, области определения функции, поставлен в соответствие некоторый объект из другого (или того же) класса – области возможных значений функции. Однако мы не будем далее рассматривать понятие функции в столь общем понимании. Теперь можно вспомнить определение функции из школьного курса алгебры 7 класса.

2. Далее рассматриваются три основных способа задания функции: табличный, аналитический («формульный») и графический. Кратко обсуждаются преимущества и недостатки каждого из этих способов. По ходу рассуждений можно заполнить таблицу:

Применяя ЭВМ, мы сталкиваемся ещё с одним способом  задания функции – с помощью программы, то есть подробной инструкции, в которой указана последовательность арифметических и логических действий, которые надо совершить над значением независимой переменной, чтобы получить точное или приближённое значение функции.

При рассмотрении второго вопроса этого занятия необходимо в конце сделать вывод: решение различных вопросов, связанных с функцией, требует переходов к различным способам её представления. При получении эмпирических формул переход «таблица – график – формула», при исследовании аналитически заданной функции переход «формула – таблица – график» и т.п. – всё зависит от сути решаемых вопросов.

3. Теперь можно перейти к вопросу о том, какие виды функций ранее изучались. Для каждого вида функций записать общую формулу, что является графиком функции, областью определения, областью значений функции.

Говоря о графиках функций, подчеркнуть уже известную учащимся мысль: график – это наглядное изображение функциональной зависимости, он демонстрирует общий характер поведения функции, вскрывает его особенности. Здесь можно использовать таблицы рассматриваемых графиков функций.

4. Заключительный этап занятия – это рассмотрение понятия кусочных функций. Напомнить одно из основных назначений функций – описание реальных процессов, происходящих в природе. Но издавна учёные-философы и естествоиспытатели выделили два противоположных типа течения процессов: постепенное (непрерывное) и скачкообразное. Соответственно с этим рассматриваются и два типа изменения величин. Так, при падении тела на землю сначала происходит непрерывное нарастание скорости движения, а в момент столкновения с поверхностью земли скорость изменяется скачкообразно, становясь равной нулю или меняя направление.

Раз есть разрывные процессы, то необходимы и средства для их описания. С этой целью вводятся в действие функции, имеющие скачки, разрывы.

Пусть функция у = f (x) при х < а определена формулой у = g (х), а при х > а – другой формулой у = h(х), при чём будем считать что каждая из функций g и h определена при всех х и разрывов не имеет. Тогда если g(а) ≠ h(а), то функция f имеет при х = а скачок. Если же g(а) = h(а), при чём мы полагаем  f(а)=g(а)=h(а), то «комбинированная» функция f разрывов не имеет. Если обе функции  g и h элементарные, то функция f в описанном выше случае называется кусочно- элементарной.

Кусочно-элементарная функция может быть определена и более чем двумя формулами, например:

            Х2 +1  при   -∞ < х ≤ -1,        

f(х) =      х + 3    при  -1 < х ≤ 2,         

                 при   2 < х < ∞.                        

(на дом можно предложить проверить то, что эта функция не имеет скачков) и даже бесконечным множеством формул, например:

                        У = [х] = n (n ≤ х < n + 1; n = 0, ± 1, ± 2 ….)

Эту функцию называют «целая часть числа» с этой функцией связана ещё одна – «дробная часть числа» - у = {х} = х - [х]. Их графики очень красивые и необычные. Прежде чем познакомиться с ними, уточним, что называют целой и дробной частью числа.

        Далее рассматриваются определения целой и дробной частей числа. Потом по определению находят, например: [3,7] = 3; [9] = 9; [0] = 0; [-4,8] = -5;

[-6] = -6;  { -4,8} = -4,8 - [-4,8]= -4,8 – (-5) = -4,8 + 5 = 0,2.

        После такой работы выполняется построение графиков функций «целая часть числа» и «дробная часть числа».

        Приложение.

Задача 1. Беря лодку на прокат, нужно заплатить сразу 50 рублей и затем за каждый полный или неполный час платить ещё по 20 рублей. Постройте график зависимости стоимости проката лодки от времени прогулки. Придумайте сами аналогичную задачу.

Задача 2. Поезд проходит расстояние между пунктами А и В в течение 9 часов. В течении первых 3-х часов поезд движется со скоростью 50 км/ч, затем в течение  2-х часов стоит в пункте С, а затем движется к пункту Б со скоростью 60 км/ч. Выразите зависимость пути от времени функцией.

Занятие 2.

Цель: ввести понятие матрицы и показать использование матрицы упражнений, помогающих формированию системности знаний по теме «Линейная функция»

1.         В начале занятия повторяются виды уравнений прямой: у = kх +b – с угловым коэффициентом, Ах + Ву + С = 0 – общее уравнение прямой.

        Затем предлагается решить задачу:

Большая диагональ ромба равна 10 и лежит на оси х, а меньшая равна 4 и лежит на оси у. Составить уравнение сторон ромба с угловым коэффициентом.

        Выполнив рисунок к этой задаче, замечаем, что стороны ромба, а значит и прямые, содержащие эти стороны, отсекают от координатных осей отрезки. Отсюда вытекает необходимость нового вида уравнения прямой – уравнение прямой в отрезках: = 1, где а и b длины отрезков, отсекаемых на осях   координат взятые соответствующими знаками. Если а или b отрицательно, то это значит, что прямая пересекает соответствующую отрицательную полуось.

        Если прямая не параллельна оси ОУ (т.е. B ≠ 0), то её общее уравнение, разрешаемое относительно у, можно привести к уравнению с угловым коэффициентом: у = kх +b, где k = -, b = -. Если прямая не проходит через начало координат (т.е. С ≠ 0 и не параллельно ни одной из координатных осей то её общее уравнение путём деления на -С можно привести к уравнению в отрезках   =1,   где =            

   Теперь можно вернуться к задаче о ромбе. Решение: составим уравнения сторон ромба в отрезках для каждой четверти.

1.         у

2. .                        2

3. .                                      -5         5        х

4. .        -2

Примеры:

1. Найти отрезки, отсекаемые на осях координат прямыми:

а)

б)2х + 3у – 6 =0;

в) у = 4х – 2.

2. При каких значения С прямая 2х + 3у + С =0 отсекает на оси ОУ отрезки b1=4, b2 =-6?

3. При каких значениях А прямая Ах + 5у - 40 =0 отсекает на координатных осях равные отрезки.

2.        Теперь можно напомнить о графическом методе решения задач, который приложим ко многим типам задач. Для успешного применения этого метода необходимо уметь безошибочно строить эти самые графики и понимать, как влияют на их расположение и вид изменения в аналитическом задании функции.

        Для удобства систематизируют различные случаи расположения и виды функций, составляя для них таблицу (матрицу).

3.        Рассмотрим линейную функцию, заданную формулой  у = kх + b.

        График этой функции – прямая линия. Свободный член b указывает на то, в какой точке прямая пересекает ось ОУ – выше или ниже нуля.

        Угловой коэффициент k определяет, какая будет функция: либо возрастающая, либо убывающая, либо постоянная на всей действительной оси.

        Так как параметры k и b могут быть либо положительны, либо отрицательны, либо равны нулю, то число сочетаний будет 9 (3х3). При традиционной системе обучения преподаватель ограничивается только одним чертежом из девяти возможных. Поэтому у школьников не создаётся целостного представления о разнообразии графиков.

        Для полноты усвоения данного материала удобно изобразить все случаи в одной таблице (матрице), которая охватывает 9 различных расположений графиков.

4.        Теперь можно предложить решить несколько задач:

Задача 1. Сравнить функции у = 2х + 6 и у = -2х – 6 (их графики расположены в клетках (1,1) и (2,2), при этом масштабы по осям взяты различные).

        На этих графиках ученики могут подметить следующие свойства: возрастание и убывание функций, а так же где функции принимают положительные и отрицательные значения.

        Изучение математики существенно выигрывает, если рассматривать аналитическое и графическое выражения во взаимосвязях математических фактов. В этих целях важно осуществлять взаимопереходы между символическим и образным.  

        Целесообразно отбирать такие уравнения, которые позволяют быстро определять их графики.

       Например, для быстрого построения прямой наиболее удобно уравнение в отрезках.

Задача 2. Построить матрицу графиков ±± на одном и том же рисунке.

        Информационная насыщенность данного упражнения видна хотя бы из того, что четыре точки на осях определяют четыре прямые и тем самым мы исчерпывающе рассмотрели все возможные положения прямых, пересекающих обе оси координат.

5. В заключении речь идёт об составлении матрицы квадратичной функции у=ах2+вх+с. Домашнее задание: составить матрицу по квадратичной функции и придумать по одному конкретному уравнению к каждому положению параболы.

        Матрица графиков параболы знакомит учеников со скрытыми глубинными свойствами функции. Эти свойства функции невозможно получить при исследовании одного изолированного графика, так как они определяются через сравнение нескольких уравнений и соответствующего каждому из них расположению параболы.

Приложение.

        Можно предложить, например, следующее задание: «Вершина квадратной параболы находится в правой полуплоскости, ветви параболы направлены вверх. Написать одно из уравнений, удовлетворяющих схеме заданного графика». (Один из возможных ответов: у = 3х2 – 5х + 9).

Матрица квадратичной функции (для комбинаций знаков а и в).

Занятие 3.

Цель: углубить знания учащихся о взаимном расположении графиков линейных функций; закрепить навык использования уравнения прямой в отрезках.

     Сначала предложить учащимся выслушать ответы своих товарищей о  том, как они выполнили домашнее задание. А затем дать оценку выполненной домашней работы.

1.      Далее рассмотреть условие параллельности двух прямых у=k1x+b1 (1) и  y=k2+b2(2):  k1=k2. Если уравнения заданы общими уравнениями А1х+В1у+С1=0(3) и А2х+В2у+С2=0(4), то условие их параллельности:.
2.       Потом рассматривается условие перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями (1) и (2): k1=-1/k2; уравнениями (3) и (4): А1А2+В1В2=0.
3.       После этого можно предложить учащимся решить задачи, используя рассмотренные условия параллельности и перпендикулярности прямых.

 Задача 1. Указать, какие из следующих прямых: 1).3х-15у+16=0;        2).3х+15у-8=0; 3). 6х-30у+13=0; 4). 30х+6у+7=0 параллельны и  перпендикулярны.

  Задача 2. Через точку М(1;-2) провести прямую, параллельную прямой 4х+7у-3=0, и прямую, перпендикулярную данной прямой.

  Задача 3.  Найти углы между прямыми:

1)     У=               2).   У=                3).    4х-5у+2=0,

      х-4у+7=0;                       7х+3у+5=0;                    5х+4у-3=0.

  Задача 4.  Через точку пересечения прямых 3х+5у-8=0; 4х-7у+3=0 провести прямую, перпендикулярную первой из них, и прямую, параллельную прямой 2х+6у-2=0.

Занятие 4 – 5.

Цель:  расширить знания учащихся о построении графиков функций У=Аf(ах+b)+В, если известен график функции Y=f(x).

       Сначала учащимся надо напомнить о том, что графический метод решения задач, который приложим ко многим типам задач, но особенно эффективен, когда надо выяснить количество точек пересечения двух графиков. Для этого необходимо уметь строить график, пользуясь геометрическими преобразованиями. Конечно, же, график не любой функции можно построить геометрическими преобразованиями. Иногда приходится проводить исследование с помощью производной или даже комбинировать эти методы, но дифференциальное исчисление – это уже «игрушка» для старшеклассников, а мы говорим о том, что доступно учащимся 9 классов.

       После этого рассматриваются основные преобразования графиков функций:1. у=f(х+b), 2. у=f(kх), 3. у=f(х)+B, 4. у=Kf(х) и частные случаи у=f(-х),

у=-f(х).

       Системный подход даёт положительные результаты и при изучении преобразований графиков функций, поэтому в процессе объяснения составляется таблица.

      Указанные преобразования дают возможность строить графики более сложного вида: у = f(kx+b), у = Kf(x)+B, у = Kf(kx+b)+B.

     Интересно было бы не просто построить график нужной функции, а попробовать сделать это всеми возможными способами (занятие для досуга).

      Задача 1.  Сформулируйте правила, по которым из графика функции у = f(x) можно получить графики функций: у =f(х+5) и у = f(х-3). (Аналогичные задания выполняются на первом занятии этой темы).

       Задача 2.  Построить графики функций:1) у = (х-3)2; 2) у =; 3) у =;

 4) у = ; 5) у =-1; 6) у = (2х+5)2; 7) у = (х+5)2; 8) у = 2-2; 9) у =.

       Задача 3.  Сформулировать правила, по которым можно построить графики функций: у = -2(х-3)2+5, у = , у = , у = .

       Задача 4. Постройте графики: а) у =[х]; б) у = х-[х] и у = -2(х-[х]); в) у = [2х].

       Задания для самостоятельной работы.

Сформулируйте все правила, по которым можно получить графики функций

У =-5-2 и у =. Постройте их.

Занятие 6 – 8.

Цель: Познакомить учащихся с основными приёмами построения графиков функций, содержащих модуль. Привлечь внимание к эстетической стороне данного вида деятельности, предусмотреть возможности творчества          учащихся.

1.        Когда в «стандартные» уравнения, которыми задаются прямые, параболы, гиперболы, включают знак модуля, их графики становятся необычными и даже красивыми. Чтобы научиться строить такие графики. Надо владеть приёмами построения «базовых» фигур, а также твёрдо знать и понимать определение модуля числа.
2.        Показать на примерах приёмы построения графиков с модулями.

Примеры: 1.а) у=|х|-2; б) у=х2-2|х|;    4). а)| у|=х2-1; б) |у|=;

        2.а) у=|х-2|; б) у=|х2-2х|;    5). а) |у|=|х2-1|;б) |у|=||;

        3.а) у=||х|-2|; б) у=|х22|х||; 6). а) |у|=||х|+1|; б)| у|=|х2-2|х||.

           После такой работы в конце второго занятия по этой теме удобно систематизировать полученные знания, составив таблицу.

        Заключительный этап этого занятия – выполнение по готовым графикам. (Необходимо заранее подготовить раздаточный материал или начертить на доске)

        Третье занятие полностью посвятить самостоятельной работе учащихся. Они выполняют следующую проверочную работу. Дан график функции у = f(x).

Построить: вариант 1: y= f(x)+1, у =f(x), у = f(-x), у = f(x-2), у = f(2x), у =|f(x)-1|,          у = f(|x|), у = |f(|x|)|; вариант 2: у =f(х)-1, у = 2f(х), у = -f(х), у =f(х+2), у   =f(),

 У =|f(х)|-1, у = -f(-х),| у|=|f(х)|.

Функция у =f(х) может быть вида: у =, у = х3.

Приложение. Творческие задания.

Задача 1. Постройте график уравнения: а) у=|||х|-2|-2|,

 б) у=|х-2|+|2х-6|-|4-х|.

Задача 2. Постройте график уравнения: х+|х|=у+|у|.        у

Решение:

1. х≥0, у≥0, 2х=2у, х=у;
2. х≥0, у< 0,2х=0,х=0;
3. х<0, у≥0, 0=2у, у=0;
4. х<0, у< 0, 0=0, вся третья четверь.                                       0                    х

Задача 3. Постройте график уравнения: а) |у|=|х|, б) |у||х|=1, в) |у|+|х|=1, в) |у|-|х|=1.

Пояснение. а) Рассмотрите уравнение отдельно для каждой координатной четверти.

Ответы: а) график состоит из двух прямых у = х и у = -х; в) график – квадрат, образованный отрезками прямых у =х+1, у = х-1, у = -х+1, у =  -х-1.

Занятие 9 – 11.

Цель: скорректировать знания учащихся по теме «Обратная пропорциональность», показать связь между графиками многочлена У=f(x) и дробно-рациональной функции ; исследовать (на наглядном уровне) поведение этой функции при стремлении знаменателя к нулю и при неограниченном (по модулю) возрастании знаменателя; познакомить с методом деления многочленов углом, ввести понятие асимптот.

1.     При построении графиков указанного вида используется эффективный и неожиданный приём. Он несёт в себе большой обучающий и развивающий потенциал.

        Некоторые советы по организации занятия. При выполнении заданий  учащиеся должны сосредоточиться на главном, в полной мере почувствовать красоту предлагаемого метода. Поэтому есть смысл вначале убедиться в том, что они свободно могут изображать схематически графики таких функций, как у=х2,  у=х2+а, у=(х-а)2, у=х2+ах и т. д.(отмечать корни, находить ось симметрии, вершину, определять направление ветвей). Начиная занятие, можно ещё раз подчеркнуть, что график – это наглядное изображение функциональной зависимости, демонстрирует общий характер поведения функции, вскрывает его особенности.

2.    Наша цель – научиться передавать графически качественные особенности функций, иными словами, рисовать не столько графики –копии, сколько графики-портреты. Это сложнее простого копирования и требует размышления, продумывание того, на что следует обратить внимание и как передать те или иные черты характера функции на её «портрете».Такое умение позволяет как бы видеть функцию, переходя мысленно от формулы к графику, рисуя его в уме, что очень важно для правильного и быстрого решения многих вопросов, связанных с функциями. Чтобы правильно отражать на графике и считывать по нему характерные свойства, особенности функции, следует хорошо понимать как сами свойства, так и способы их графического

 выражения. После такой вступительной беседы вводится понятие асимптот

.

3.    Суть нового приёма удобно объяснить в ходе выполнения следующего задания: построить в одной системе координат графики функций у=х2-1 и у=1/(х2-1). Далее выполняются построения следующих функций: а) у=1/х2 и у=1/(2х2-2х); б)у=1/(1-х2) – рассмотреть два способа.

В конце занятия с построенными графиками можно поработать – определить по ним некоторые свойства рассматриваемых функций.

4.    На втором занятии этой темы познакомить с методом деления   многочленов углом. Обратить внимание на то, что алгоритм деления и запись результата аналогичны таковым для чисел. При этом на каждом шаге многочлены. Подлежащие дальнейшему делению, записывают в стандартном виде, т. е. по убыванию степеней, а в качестве соответствующего слагаемого в частном записывают результат деления старшего члена упомянутого многочлена на старший член делителя и деление выполняют до тех пор, пока степень многочлена не станет меньше степени делителя. При построении графиков рациональных дробей следует учитывать ряд их специфических особенностей. Так, значение любой правильной рациональной дроби безгранично приближается к нулю при х→±∞, а значит, график её неограниченно приближается к оси абсцисс при неограниченном увеличении модуля аргумента, и, таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой. Поведение неправильной рациональной дроби при х→±∞ определяется поведением её целой части, к графику которой неограниченно приближается график данной дроби с ростом абсолютной величины аргумента.

5.         Далее изображаются графики функций у=х2/(х2+1), у=(х3+1)/х. В конце занятия можно выполнить самостоятельную работу. Изобразите графики дробно-рациональных функций: а) у=х/(х2-1), б) у=х2/(х2-1), в) у=х3/(х2-1),

г) у=х2/(х2+1), д) у=(х+2)/(х3-х).

Замечание. На этом занятии можно предложить обратную работу – сконструировать рациональные дроби, графики которых изображены на рисунке.

6.      На третьем занятии этой темы Учащимся предлагается список упражнений для аукциона. Каждый из них выбирает задание себе сам. Можно предложить им самостоятельно найти задачи по изученным темам и подготовить их решение. На заключительном этапе занятия решаются различные упражнения, вызвавшие наибольшее затруднение.

Занятие 12.

Цель: активизировать познавательную деятельность учащихся и способствовать развитию творчества и интеллектуального интереса к предмету математики.

        На этом занятии ученики защищают свои решения. Определяется успешность изучения данного курса каждым учеником.  

Задачи повышенной сложности.

Задача 1. Изобразить на координатной плоскости множество точек ( х.у), для каждой из которых существует остроугольный треугольник со сторонами 1, |х|, . Найти уравнения кривых, ограничивающих это множество.                  

                 у = - (х2 +1) и у = (х2 – 1)

Рис. Искомое множество точек ( х,у).              

Задача 2. Изобразить на координатной плоскости  множество  точек координаты которых удовлетворяют неравенству

        У≥ ( у 3 + х2 у )

       Неравенство решаем по правилу решения неравенств, содержащих переменные по знакам модуля    У ≥ у3  + у2  ≥ - у

     У3 + х2 у≥ - у                у3 + х2 у + у ≥ 0           у2 + х2 + 1 ≥ 0

     У3 + х2у  ≤ у                 у3 + х2 у – у ≤ 0           у2 + х2 – 1 ≤ 0        (*)

      Решением неравенства  (*) является объединение двух интервалов. Однако  первое неравенство системы (*) решений не имеет. Решение имеет второе неравенство, которое имеет вид:  х2 + у2≤1. Множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству  у≥|у3+х2у| изображены на координатной плоскости.

        у

1

                                      -1                                        1

        х

-1

Задача 3. Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству( (|х|-|у+1|)/(2х2+3х-2))≥0.

Данные неравенства дробно-рационального типа. Поэтому его решаем по правилу решения рационального неравенства.

(|х|-|у+1|)·(2х2+3 х-2)≥0

(х-у-1)(х+2)(х-)≥0

(-х-у-1)(х+2)(х-)≥0

 х = у+1; х = -(у+1) х = -2;  х =.

Строим графики функций (см. рис.).

        у

              х = -(у+1)

                                                     -1                1

                                                -2        х

         -1

                            х = у+1

  Задача 4. Функция у = f(х) определена следующим правилом:

                 1 при х > 0,

    f(x) =      0 при х = 0,

                 -1 при х < 0.

           Эта функция часто встречается, и поэтому для нее есть специальное обозначение  у = signx (читается: « сигнум  икс» - по – латыни signum «знак»).

График этой функции изображен на рисунке.

                                                   у

                                                   1

                                                   0                              х

                                                       -1

 Функцию у = signx можно для х ≠ 0 задать формулой  у = х/|х|. Нарисуйте графики функций:

 У= (signx)2; у= (х-1)signx; у = х2signx.

        у        

                 у=(signx)2

        1

                                 0                 х        

        у

        у = (х -1)signx

        1

                                                                                        0                        х

                             У                                                         -1

                             0                     х

                                    у=х2signx

              Замечание. При выполнении этого задания можно использовать преобразования графиков: «сложение» и « умножение». Если функцию f, график которой необходимо построить, можно представить в виде суммы двух функций, f = g+h, то поступают следующим образом. Сначала строят графики функций g и h, а потом для некоторых значений аргумента складывают ординаты этих графиков. Разумеется, в первую очередь берут наиболее характерные точки графиков.

               Аналогичным образом поступают, когда функция является произведением или частным двух функций, графики которых известны.

ЛИТЕРАТУРА

1. Н.Я.Виленкин «Избранные вопросы по математике», Москва «Просвещение» 1978 г.

2. Г.М. Гусак «Математика для подготовительных отделений ВУЗов», Минск «Высшая школа» 1989 г.

3. В.Г.Болтянский «Математика» (лекции, задачи, решения). Издательство «Альфа».

4. В.А.Гусев «Математика» (справочные материалы), Москва «Просвещение» 1986 г.

5. Ф.М.Колягин «Активизация обучения математике в сельской школе», Москва «Просвещение» 1975 г.

6. Журнал «Математика в школе» №10 - 2003 г.

7. И.Л.Никольская «Факультативный курс по математике 7-9 класс», Москва «Просвещение» 1991 г

8. Г.Н.Яковлева «Пособие по математике для поступающих в ВУЗы», Москва «Наука» 1988 г.

9. Журнал «Математика в школе», №10 -2003г.