Методы решений квадратных уравнений 8 класс
план-конспект урока по алгебре (8 класс) на тему

Слайд 1

Методы решения квадратных уравнений Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы. С.Коваль

Слайд 2

1 . Теоретическая разминка. 2. Тест. 3. Практикум. 4. Историческая справка. 5. Презентация специальных методов решения квадратных уравнений. 6. Общие методы решения квадратных уравнений 6. Домашнее задание. План урока

Слайд 3

Термин «квадратное уравнение» впервые ввёл Кристиан Вольф Кристиан Вольф - знаменитый немецкий философ. Родился в 1679 г. в Бреславле, в семье простого ремесленника. Изучал в Йене сначала богословие, потом математику и философию.

Слайд 4

Английский математик, который ввёл термин «дискриминант». Сильвестр Джеймс Джозеф

Слайд 5

В 13 – 16 веках даются отдельные методы решения различных видов квадратных уравнений. Слияние этих методов произвел в 1544 году немецкий математик Михаэль Штифель. Михаэль Штифель

Слайд 6

Уравнение какого вида называют квадратным? Как по названиям различают коэффициенты а, в и с? Объясните, в чём заключается смысл ограничения в определении квадратного уравнения (а ≠ 0). Перечислите виды квадратных уравнений. Какое квадратное уравнение называется приведённым,а какое неприведённым? Приведите примеры. Какое квадратное уравнение называется полным, а какое неполным? Приведите примеры. Что называют корнем квадратного уравнения? Что значит решить квадратное уравнение? Сколько корней имеет квадратное уравнение? Способы решения неполных квадратных уравнений. Что называют дискриминантом квадратного уравнения? Как с помощью дискриминанта различают квадратные уравнения по числу корней? Правило решения полного квадратного уравнения. ВОПРОСЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ РАЗМИНКИ

Слайд 7

Неполные квадратные уравнения Если < 0, то корней нет Если > 0, то

Слайд 8

РЕШЕНИЕ НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ в=0 ах 2 +с=0 с=0 ах 2 +вх=0 в,с=0 ах 2 =0 подробнее подробнее подробнее

Слайд 9

Алгоритм решения 1.Переносим с в правую часть уравнения. ах 2 = -с. 2. Делим обе части уравнения на а ≠ 0. х 2 = 3.Если > 0 - два решения: х 1 = и х 2 = - Если < 0 - нет решений. ах 2 +с=0 в=0

Слайд 10

Выносим x за скобки: х (ах + в) = 0. 2. «Разбиваем» уравнение на два: x = 0 или ах + в = 0. 3. Два решения: х = 0 и х = (а≠0). Алгоритм решения ах 2 +вх=0 с=0

Слайд 11

1. Делим обе части уравнения на а≠0. х 2 = 0 2. Одно решение: х = 0. Алгоритм решения ах 2 =0 в,с=0

Слайд 12

D < 0 Корней нет D = 0 D > 0

Слайд 13

b = 2k ( четное число)

Слайд 14

Специальные методы Метод выделения квадрата двучлена Метод «переброски» старшего коэффициента На основании теорем

Слайд 15

Цель: привести квадратное уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению. Пример: Метод выделения квадрата двучлена Х 2 – 6х+5=0

Слайд 16

Метод выделения квадрата двучлена (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 . Решим уравнение х 2 - 6х + 5 = 0. х 2 - 6х + 5 = 0, (х 2 - 2∙3х +9)+ 5-9 = 0, (х -3) 2 – 4 = 0. (х -3) 2 = 4. х – 3 = 2; х – 3 = -2. х = 5, х =1. Ответ: 5; 1.

Слайд 17

Корни квадратных уравнений и связаны соотношениями и В некоторых случаях бывает удобно решать сначала не данное квадратное уравнение, а приведенное, полученное «переброской» коэффициента а . Пример: Метод «переброски» старшего коэффициента

Слайд 18

Метод “переброски” старшего коэффициента ax 2 + bx + c = 0 и y 2 + by + ac = 0 связаны соотношениями: Решите уравнение 2х 2 - 9х – 5 = 0. у 2 - 9у - 10 = 0. D=81+40=121, получаем корни: у=-1;у= 10, далее возвращаемся к корням исходного уравнения: х = - 0,5; х = 5. Ответ : -0,5; 5.

Слайд 19

На основании теорем: 1. Если в квадратном уравнении a+b+c=0 , то один из корней равен 1, а второй 2. Если в квадратном уравнении a+c=b , то один из корней равен -1, а второй Примеры :

Слайд 20

Теорема 1. Если в квадратном уравнении a + b + c = 0 , то один из корней равен 1 , а второй равен Решите уравнение 137х 2 + 20х – 157 = 0. 137 х 2 + 20 х – 157 = 0. a = 137, b = 20, c = -157. a + b+ c = 137 + 20 – 157 =0. x 1 = 1, х = Ответ: 1; . .

Слайд 21

Теорема 2. Если в квадратном уравнении a + c = b , то один из корней равен -1, а второй равен Решите уравнение 200х 2 + 210х + 10 = 0. 200х 2 + 210х + 10 = 0. a = 200, b = 210, c = 10. a + c = 200 + 10 = 210 = b. х 1 = -1, х 2 = - Ответ: -1; -0,05

Слайд 22

Общие методы Разложение на множители; Введение новой переменной; Графический метод .

Слайд 23

Метод разложения на множители привести квадратное уравнение общего вида к виду А(х) · В(х)=0, где А(х) и В(х) – многочлены относительно х. Цель: Вынесение общего множителя за скобки; Использование формул сокращенного умножения ; Способ группировки. Способы:

Слайд 24

Решите уравнение 4х 2 + 5х + 1 = 0. 4х 2 + 5х + 1 = 0. 4х 2 + 4х + х + 1 = 0. ( 4х 2 + 4х ) + ( х + 1 ) = 0. 4х(х + 1) + (х + 1) = 0. ( х + 1 )( 4х +1) = 0. Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла, или когда оба равны нулю. х + 1 = 0 или 4х + 1 = 0, х = -1 или х = - 0,25 . Ответ: -1 ; - 0 ,25. Метод разложения на множители

Слайд 25

Введение новой переменной . Умение удачно ввести новую переменную – важный элемент математической культуры. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной. Решите уравнение (2х+3) 2 = 3(2х+3) – 2.

Слайд 26

Метод введения новой переменной Решите уравнение (2х+3) 2 = 3(2х+3) – 2. (2х+3) 2 = 3(2х+3) – 2. Пусть: 2х + 3= t. Произведем замену переменной: t 2 = 3 t - 2. t 2 -3 t + 2 = 0, D =9-4 ∙2=1, D > 0. t 1 = 1, t 2 = 2. Произведем обратную замену и вернемся к переменной х: 2х + 3=1 или 2х + 3=2 , х = -1 или х = -0,5. Ответ: -1; -0,5.

Слайд 27

Графический метод Для решения уравнения f(x) = g(x ) необходимо построить графики функций y = f(x), y = g(x) и найти точки их пересечения; абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения. Пример:

Слайд 28

Графический метод часто применяют не для нахождения корней уравнения, а для определения их количества.

Слайд 29

Практикум Уравнение a b c b 2 - 4ac x 1 x 2 x 1 + x 2 x 1 · x 2 x 2 - 7 x + 12 = 0 5 - 7 -6 5 x 2 = 15 x 3 0 -75

Слайд 30

Проверь себя! Уравнение a b c b 2 - 4ac x 1 x 2 x 1 + x 2 x 1 · x 2 x 2 - 7 x + 12 = 0 1 -7 12 1 4 3 7 12 5 x 2 - 7 x - 6 = 0 5 - 7 -6 169 2 -0,6 1,4 -1,2 5 x 2 = 15 x 5 -15 0 225 0 3 3 0 3 x 2 - 75 = 0 3 0 -75 900 5 -5 0 -25

Слайд 31

ТЕСТ №1 №2 №3 №4 №5 №6 б д в д а в

Слайд 32

№ уравнения № метода 1 100x 2 + 53x – 153 = 0 2 20 x 2 - 6x = 0 3 299x 2 + 300x + 1 = 0 4 3x 2 - 5x + 4 = 0 5 7x 2 + 8x + 2 = 0 6 35x 2 – 8 = 0 7 4x 2 – 4x + 3 = 0 8 (x – 8) 2 – (3x + 1) 2 = 0 9 4(x – 1) 2 + 0,5(x – 1) – 1 = 0 10 12x 2 = 0 3. в=0 ах 2 +с=0 2. с=0 ах 2 +вх=0 1. в,с=0 ах 2 =0 4. b - нечётное ах 2 + bx +с=0 5. b - чётное ах 2 + bx +с=0 6. Теорема Виета. 7. Метод выделения квадрата двучлена. 8. Метод «переброски» старшего коэффициента. 9. Т1 или Т2. 10. Метод разложения на множители. 11. Метод введения новой переменной.