«Геометрическая интерпретация комплексных чисел» в учебнике Ф.Г. Мордковича, П.В. Семенова «Алгебра и начала анализа. Профильный уровень. 10 класс» Анализ содержания, планирования.
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

Анализ содержания, планирования темы «Геометрическая интерпретация комплексных  чисел» в учебнике Ф.Г. Мордковича, П.В. Семенова «Алгебра и начала анализа. Профильный уровень. 10 класс»

В учебнике А.Г. Мордковича, П.В.Семенова «Алгебра  и начала анализа. Профильный уровень.10 класс»  раздел «Геометрическая интерпретация комплексного числа» изучается в теме «Комплексные числа» в §33 «Комплексные числа и координатная плоскость» и в §34 «Тригонометрическая форма записи комплексного числа». На изучение каждого параграфа авторы отводят от 1 до 3 часов при примерном поурочном планировании от 4 до 6 часов в неделю.

В § 33  « Комплексные числа и координатная плоскость» для построения геометрической модели множества С  авторы используют координатную плоскость, отождествляя комплексные числа с точками координатной плоскости. После рассмотрения конкретных примеров изображения комплексного числа на координатной плоскости, как упорядоченной пары (а;b)  действительных чисел, подчеркивается, что любую точку на координатной плоскости можно воспринимать и как вектор с началом в точке (0;0) и концом в точке (a;b). При векторном подходе к изображению комплексных чисел наглядный смысл получают операции сложения и вычитания (сложения векторов по правилу «параллелограмма»).

В координатной плоскости ясный геометрический смысл получает операция сопряжения (как осевая симметрия относительно оси абсцисс). В заключение данного параграфа авторы перед учащимися формулируют проблему: найти геометрическую интерпретацию умножения и деления комплексных чисел. Далее говорят, что это невозможно сделать в данной прямоугольной  системе координат, для этого понадобится другая система координат (т.е. система других координат плоскости).

В § 34 «Тригонометрическая форма записи комплексного числа» авторы, возвращаясь к комплексным числам, переходят к более строгому изложению материала. В этом параграфе дается определение модуля комплексного числа и его обозначение. Одно из важнейших свойств модуля сформулирована как теорема 1. Здесь же приводится ее доказательство. Далее перечислены еще 7 свойств модулей комплексных чисел без доказательств. Пять первых свойств авторы предлагают учащимся доказать самостоятельно алгебраически. Шестое свойство – следствие теоремы 1. Седьмое свойство объясняется с опорой на иллюстрацию учебника.

Далее авторы устанавливают тесную связь числовой окружности на координатной плоскости с понятием модуля комплексного числа, вводят понятие единичной окружности в комплексной плоскости.

В теореме 2 формулируется утверждение о точке, лежащей на числовой окружности. Данная теорема приводится без доказательства. Затем авторы вводят определение тригонометрической формы записи комплексного числа и утверждают, что всякое отличное от нуля комплексное число z может быть записано в виде z=|z|(cosα+isinα), где α – некоторое действительное число. Данное утверждение сформулировано в виде теоремы 4, приводимое с доказательством.

Далее авторы дают определение аргумента комплексного числа, вводит его обозначение и формируют у учащихся понятие аргумента, опираясь на геометрические представления. Здесь же авторы, опираясь на определение, формулы и примеры, дают четкое различие между стандартной тригонометрической формой записи комплексного числа и тригонометрической формой записи

В теореме 5, приводимой с доказательством, авторы доказывают формулы умножения и деления комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Для лучшего запоминания, автор приводит формулировку теоремы 5 в более простом словесном изложении, где подчеркивается правильность формулировки для комплексных чисел с положительными  действительными частями. В других случаях для нахождения аргумента результата следует или прибавить или отнять 2π.

Анализируя содержание параграфов 33 и 34, подчеркнем: авторы не дают точных определений комплексной плоскости, а вводят это понятие лишь для того, различать координатную плоскость саму по себе  и координатную плоскость как модель множества комплексных чисел. В данных параграфах не приводятся четкие алгоритмы действий над комплексными числами, но при рассмотрении большого количества приводимых в данном учебном пособии примеров, можно сформировать некоторые умения и предложить учащимся самостоятельно сформулировать следующие алгоритмы:

- алгоритм нахождения  модуля и аргумента комплексного числа,

- алгоритм изображения комплексных чисел на координатной плоскости,

-алгоритм  нахождения суммы и разности комплексных чисел в векторной форме,

- алгоритм записи комплексных чисел в стандартной тригонометрической форме.

К параграфу 33 «Комплексные числа и координатная плоскость» приводится 23 упражнения. Упражнения 33.1-33.12 направлены на отработку навыков изображения комплексных чисел на координатной плоскости с применением разнообразных дополнительных условий, которые позволяют показать учащимся более широкое применение данной темы, взаимосвязь изучения комплексных чисел с геометрическим материалом: понятием ломаной, вычислением величин углов, нахождением расстояний между точками.

Упражнения 33.13 – 33.14 направлены на закрепление и осознанное применение правил умножения комплексных  чисел на действительное число. Упражнения 33.15 – 33.16 направлены на отработку навыков нахождения суммы комплексных чисел по правилу параллелограмма. В заключение пункта учащимся предлагается несколько заданий повышенного уровня сложности, где, например, требуется изобразить комплексные числа, записанные  в нестандартном виде, прежде, чем выполнить задание, требуется сделать некоторые преобразования.

К § 34 «Тригонометрическая форма записи комплексного числа» в задачнике дается 42 упражнения. Задания 34.1-34.10 направлены на выработку умения находить модуль комплексного числа и на осознанное применение свойств модулей комплексных чисел. В этих заданиях наряду с изучением нового материала идет закрепление изученного материала предыдущего параграфа. Упражнения 34.11-34.13  34.21-34.28 позволяют учащимся отработать умения записи комплексных чисел в стандартной тригонометрической форме. Выполнение заданий 34.14-34.20 и 34.33-34.36 поможет учащимся закрепить умение находить аргумент комплексного числа и изображать на плоскости комплексные числа с заданным аргументом. Упражнения 34.29 – 34.32 и 34.39 -34.42 направлены на формирование умения выполнять действия  умножения и деления комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме.

  Изучая данный задачный материал, можно сделать следующие выводы: в задачнике приведено достаточно много упражнений, связанных с изображением комплексных чисел на плоскости;  содержание заданий подобрано так, что оно направлено на отработку всех необходимых умений;  привлечено много разнообразного геометрического материала, который  позволяет изучение данной темы делать более осмысленным и наглядным.  Упражнения идут сериями, от более легких к более сложным, что помогает учащимся усвоить материал дифференцированно, на своем собственном уровне познания.

   Объем двух данных параграфов занимает в учебнике 24 страницы. Я считаю, что теоретический материал перенасыщен. В нем много вступлений, пояснений, переформулировок правил, имеющиеся теорема 2 с доказательством и теорема 3 без доказательства не находят своего закрепления в задачнике, а используются авторами только в доказательстве теоремы 4. Как уже ранее отмечалось, не сформулированы алгоритмы операций нахождения модуля и аргумента комплексного числа, записи числа в тригонометрической форме. В данных параграфах авторы с подробными объяснениями и геометрическим иллюстрациями рассматривают 28 примеров на формирование выше перечисленных умений, что значительно облегчает учащимся усвоение данного материала.

Литература

1. Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел. - М.: Просвещение, 1975.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. Геометрия 7-9. -  М.: Просвещение, 2001.
3. Валуцэ И.И., Дилигун Г.Д. Математика для техникумов. М.: Наука,1990.
4. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и                    математический анализ. 11 класс. -  М.: Мнемозина, 2004.
5. Глейзер Г.И. История математики. -  М.: Просвещение, 1988.
6. Глейзер Г.Д. Геометрия 6-9. -  М.: Просвещение, 1987.
7. Гусак А.А., Гусак  Г.М., Гусак Е.А. В мире чисел. Минск: Народная асвета, 1987
8. Дорофеев А.В. Высшая математика. -  М.: Дрофа, 2003.
9. Дорофеев Т.В., Седова Е.А., Троицкая С.Д. Концепция профильного курса математики. // Математика в школе.- № 7, 2006.
10. Избранные вопросы математики. Факультативный курс. 10 класс. Под ред. Фирсова В.В. -  М.: Просвещение, 1980.
11. Кочетков Е.С., Кочеткова Е.С. Алгебра и элементарные функции. -  М.: Просвещение, 1965.
12. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. - М.: Просвещение,1974.
13. Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. -  Минск: Высшая школа, 1984.
14. Молодший В.Н. Основы учения о числе. -  М.: Учпедгиз, 1963.
15. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа. Профильный уровень. 10 класс. - М.:Мнемозина, 2006.
16. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала анализа. 11 класс. -  М.: Просвещение, 2002.
17. Соломонник В.С. Сборник вопросов и задач по математике. -  М.: Высшая школа, 1978.
18. Стандарты школьного математического образования. //Математика в школе.-  № 4, 2006.
19. Стефанова Н.Л., Подходова Н.С. Методика и технология обучения математике. Курс лекций. -  М.: Дрофа, 2005.
20. Шарыгин и.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. 10 класс. - М.: Просвещение, 1983.
21. Шувалова Э.З., Агафонов Б.Г., Богатырев Г.И. Повторим математику. -  М.: Высшая школа, 1974.
22. Яремчук Ф.П., Рудченко П.А. Алгебра и элементарные функции Справочник для поступающих в вузы. Киев: Наукова думка, 1971.