Мастер-класс "Методические особенности обучения решению уравнений в курсе математики 5-7 классов"
методическая разработка по алгебре (5 класс) на тему

Муниципальное общеобразоательное учреждение

«Гимназия №7» города Подольск Московской области

Мастер-класс

«Методические особенности

обучения учащихся решению уравнений

в курсе математики 5-7 классов»

Подготовила и провела

учитель математики

Ялунина Светлана Станиславовна

2015

Мастер класс «Методические особенности обучения учащихся решению уравнений в курсе математики 5-7 классов»

Уважаемые коллеги! Я рада приветствовать вас на мастер-классе «Методические особенности обучения учащихся решению уравнений в курсе математики 5-7 классов».

Цели сегодняшнего мероприятия:

•  рассмотреть различные виды уравнений, изучаемые в курсе математики 5-7 классов;
•  привести алгоритмы их решения;
•  дать методические рекомендации по обучению учащихся решению уравнений.

Я попрошу сегодня вас всех активно принимать участие в работе нашего мероприятия, выступать в роли учеников, не бояться задавать вопросы. Может даже ошибаться. Плохих отметок сегодня не будет.

 Эпиграфом нашего мастер-класса я взяла слова современного польского математика Станислава Коваля:

Уравнение – это золотой ключ,

открывающий все математические сезамы.

     Знакомство ребенка с уравнениями начинается почти с самого начала изучения математики, задолго до ЕГЭ. Еще в младшей школе решаются простейшие алгебраические уравнения, которые служат фундаментом для построения алгоритмов решения уравнений в 11 классе. Каких только разновидностей уравнений не встретишь в школе: алгебраические, иррациональные, тригонометрические, показательные, логарифмические. Голова идет кругом. При этом почти к каждому разделу учебника математики прикрепляются уравнения определенного вида с различной комбинацией изученных действий, функций и разным уровнем сложности. Но важно помнить о том, что методы обучения решению уравнений на разных этапах освоения предмета имеют много общего, так как, по сути, перед учеником ставится одна и таже задача — подбор числа или чисел, удовлетворяющих данному равенству.

    Основы работы с уравнениями закладываются, объясняются на простых математических объектах, пока предмет еще не разделен на алгебру и геометрию. Именно в этом возрасте ребенку отводится время на формирование представление о том, как изучаемый объект устроен и как он используется в реальных ситуациях. Исключение этого важного этапа математической подготовки в большинстве случаев оказывается впоследствии невосполнимым. Даже опытный учитель, работая с учеником старших классов, не сможет в полной мере компенсировать недостаток внимания к уравнениям в младших классах. Можно только дать представление о методах решения или натаскать на заучивание определенных алгоритмов.

     Прежде чем говорить об алгоритмах по решению уравнений, давайте вспомним его определение.

   Алгоритм – понятное предписание, указывающее, какие операции и в какой последовательности необходимо выполнить с данными, чтобы решить любую задачу данного типа.

Характеристические свойства понятия «алгоритм»:

• Свойство массовости - обеспечивает решение широкого класса задач данного типа;
• Свойство дискретности и элементарности шагов - т.е. разбить на последовательность отдельных шагов, только выполнив один шаг, переходим к другому;
• Свойство результативности - процесс вычисления прекращается за конечное число шагов.
• Свойство детерминированности - запись должна быть полной и четкой, чтобы не было потребности домысливать.

Всякий алгоритм описывает общий метод решения класса однотипных задач.

Правило - «свернутый» алгоритм. Всякий алгоритм можно назвать правилом, но не всякое правило можно назвать алгоритмом.

На своих уроках я выделяю три основных этапа:

• введение алгоритма;
• усвоение алгоритма;
• применение алгоритма.

Цели этапов:

• цель первого этапа – актуализация знаний, необходимых для введения и обоснования алгоритма, а также формулирование алгоритма;
• цель второго этапа – отработка операций, входящих в алгоритм, и усвоение их последовательности;
• цель третьего этапа – отработка алгоритма в знакомых (при варьировании исходных данных) и незнакомых ситуациях.

Формы работы с учащимися:

• на первом этапе - устная работа на повторение.
• на втором этапе – письменная коллективная работа с широким использованием комментирования выполняемых действий и групповая работа.
• на третьем этапе – самостоятельная работа.

Остановимся подробно на уроке в 5 классе.

5 класс.  (см презентацию)

1 этап. Уравнения решаются на основе зависимости между результатом и компонентами арифметического действия.

• a+x=b   Правило 1: Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть

                                 известное слагаемое.

• a – x = b Правило 2: Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить  

                                  вычитаемое и разность.

• x – a = b  Правило 3: Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого

                                     вычесть разность.

• x · a=b Правило 4: Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение

                                разделить на известный множитель.

• x:а=b  Правило 5: Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на

                               делитель.

• a:х=b Правило 6: Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на

                              частное.

• 1) x + 37 = 85;
• 2) m – 94 = 18;
• 3) 85 – z = 36;
• 4) 4x = 144;
• 5) x : 8 = 13;
• 6) 42 : x = 6

• 13899 + x = 2716 + 13899
• 4х + 4х = 424
• 15а – 8а = 714
• 8,6 – (x + 2,75) = 1,85
• 45,7х + 0,3х – 2,4 = 89,6
• x + 2,8 = 3,72 + 0,3

Учащиеся 5 класса сначала должны определить неизвестный компонент действия, а затем найти его, пользуясь одним из вышеперечисленных правил.

x + 25 = 50

x = 50 – 25

x = 25

Ответ: 25

y + 64 = 48 + 38

y + 64 = 86

y = 86 – 64

y = 22

Ответ: 22

Заполните пропуски в формулировках и определениях.

• Уравнением называется ____________, содержащее ____________.
• Корнем уравнения называется такое значение ______________, при котором уравнение обращается в _____________ равенство.
• Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к _____________ вычитаемое.
• Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно _______________ вычесть _______________.

2 этап.   Заполните пустые клетки в таблице.

3 этап.   Узнайте, какое слово зашифровано в таблице.

Итак, на данном уроке вы сами увидели основные этапы формирования алгоритма решения уравнений.

-Уважаемые учителя, у вас возникли вопросы?

 вопрос:     Наверное,  каждый учитель, слышал жалобы от родителей, связанные со снижением успеваемости при переходе в 6 класс. «Мой ребенок всегда хорошо решал уравнения и вдруг перестал их понимать», — часто жалуются родители. «Что нам делать? Я не могу ему донести то, что понимаю сама», — обычная картина. Как решить эту проблему?

В конце 5-го и в начале 6-ого класса понятие числа расширяется. Появляются уравнения с дробями (десятичными и обыкновенными) и вместе с ними приходят главные проблемы. Как теперь решить такое?

      Одна из причин кроется  в возрастных особенностях работы памяти ребенка и его мышления, в способности рассмотреть простой объект внутри сложного. В большинстве случаев  ученику рано переходить к использованию алгоритмов в более сложных математических объектах.

Почему?

Во-первых, понимание этих аналогий часто еще не успевает сформираться. Во-вторых, механизмы позволяющие переносить эти операции на более сложные объекты могут быть не отработаны на достаточном количестве заданий. В- третьих, сами операции и правила, по которым они выполняются, часто забываются.

    Глубоким заблуждением многих методистов и школьных преподавателей является мнение о том, что правила нахождения компонентов алгебраических действий, просто заученные наизусть,  помогают каждому  ребенку принять решение о том, сложить ли ему данные числа, или отнять, найти ли разность a-b или b-a. Вспомните себя, всегда ли помогало вам на уроках математики такое правило: чтобы найти вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность? Приходится вспоминать названия участников действия, затем текст правила (каждое для своего случая). Пока ученик будет вспоминать текст, — успеет забыть где у него в уравнении стоит уменьшаемое, а где вычитаемое. Начнет вспоминать названия — забудет правило... А еще нужно правильно записать и произвести вычисления. Куда тут до правильного ответа? Укротить бы термины.

    Как действует ученик в простом случае и почему он промахивается с подбором действий в более сложных? Дело в том, что к моменту, когда ему необходимо решить уравнение 8-x=3  в пятом классе он, как правило, получает хорошую практику   вычислений и просто узнает знакомую картинку, в которой пропущено одно число. Он может и без правил догадаться, какое число ему поставить вместо икса. И если требуется записать действие для его нахождения, он переберет все возможные варианты с числами 8 и 3 (благо они перед глазами) и выпишет подходящее. Никакими правилами нахождения вычитаемого он в большинстве случаев не пользуется. Это слишком сложно для него.

    С некоторым напряжением ученику даются уравнения, нагруженные несколькими действиями, например 42: (2х-8)=7.  Если числа в таких уравнених не очень большие, то в голове пятиклассника реализуется тот же самый алгоритм подбора неизвестного компонента 2x-8 в делении. Этот алгоритм, обычно, опережает подбор действия, с помощью которого получается ответ. Сложности возникают только с тем, что ребенку приходится находить не икс, а некотороый промежуточный результат. Практика моей работы показывает, что с этим видом непонимния часто удается справиться сравнительно легко. Главная помощь здесь заключается в своевременном повторении понятия «корень уравнения» и «проверка корня». При этом учитель должен уделить внимание практическому ходу этой проверки и выделить в ней определенные этапы:
1) Берем наугад число для проверки
2) Выполняем его умножение на 2, затем вычитаем 8 и получаем некоторый промежуточный результат
3) делим 42 на него и должно получиться 7.

При такой форме ребенок в 95 % случаев сам скажет, что нужно разделить на 6. В этот момент учитель обязательно укажет ученику на то, что подобранное число 6 должно получиться в результате вычитания. Останется понять, как при вчитани числа 8 получить 6. Учитель должен поставить новую цель: что вставить вместо икса, чтобы после умножения на 2 и вычитания восьми эта шестерка получилась. Тогда надо решить уравнение, в котором слева уже стоит не 42: (2х-8)=7, а  2х-8. Этот момент отдельно выделяется и учителю обязательно нужно на нем остановиться отдельно. Решая такими путями уравнения, ребенок запоминиает поведение чисел. Те взаимосвязи, которые предлагабются ему для заучивания запоминаются в естественном порядке, а именно в процессе деятельности.

Существуют простые, но важные правила работы с методикой:

1) Учитель по математике должен исключить из текстов своих пояснений стандартные математические термины и шаблонные фразы («значение выражения», «переменная», «делитель», «значение переменной, при которой...»)

2) При подборе уравнения следует не дупустить проникновение в него повторяющихся действий и даже повторяющихся чисел (как начальной в записи самого уравнения, так и во всех дальнейших формах). Иначе ребенок запутается, о каком делении идет речь в конкретный момент и о каком числе 6 , если она используется дважды.

3) Каждая пара чисел в уравнении на каждом этапе решения должна быть удобной для подбора третьего числа.

    Дроби…Подбор числа и действия затрудняется, так как операции с дробями делаются в несколько этапов. Если раньше ребенок мог распознать, что число а не делится на число b, то теперь уже можно делить друг на друга почти все числа. Сложнее узнать знакомое сочетание и подбирать для него соответствующее арифметическое действие. При достаточном количестве решенного ранее, способные дети запоминают алгоритмы и по аналогии применяют их в новой ситуации. А что делать отстающим? У многих из них информация о правилах еще успела прочно отложиться в его долговременной памяти.

В этом случае необходимо продлить время привычной деятельности ученика при решении уравнений. То есть подбирать действия прежним способом. Для этого преподавателю достаточно обязать (или разрешить) рядом с решаемым уравнением составить любой простенький пример на это же действие, но с натуральными числами. Допустим, надо решить уравнение:

-3- (2:х+0,3)= -1

Учитель просит ученика определить последнее действие в левой части уравнения, составить с его участием любой простенький пример из программы 2-го класса и записать его где-нибудь рядом.

-3- (2:х+0,3)=-1            6-2=4

Ребенок смотрит, какой учасник последнего действия в исходном уравнении неизвестен, находит его аналог в придуманном примере и по нему подбирает арифметическое действие с соседними числами (благо они перед глазами). Затем просто переносит его на свое уравнение. И так с каждым исключением последнего действия. Полное оформление может выглядеть следующим образом:

-3- (2:х+0,3)= -1                   6-2=4

         2:х+0,3= -3 - (-1)             2=6-4

         2:х+0,3= -1                      3+5=8                          

         2:х= -1 - 0,3                     3=8-5

         2: х= -1                              70:7=10                

              х=2: (-1)                             7=70:10

                х= -  

Ученик должен помнить, что в составленных примерах числа не повторялись. Не стоит cоставлять такие примеры:
и подобные им ...      6-3=3          5+5=10

Для совсем слабых детей учитель может заготовить отдельные карточки с уже подобранными примерами на все действия и класть их перед учеником в нужный момент.

Вернемся  к основной  теме.

6 класс.

Общий приём решения уравнений:

слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак.

• –x = 607
• -а = -30,04
• -5 + (а - 25) = -4
• |y| = 20
• |a| = 0
• |b| = -3
• 7,2 – (6,2 - x) = 2,2
• |x| = 9

«Универсальный» алгоритм решения линейных уравнений с одним неизвестным вида:

 6x – 12 = 5x + 4:

1) раскрыть скобки (если таковые имеются);

2) оставить неизвестные в одной части уравнения, известные – в другой (уединение неизвестных);

3) привести подобные слагаемые;

4) разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном;

5) записать ответ.

Пример:   5х + 3 = 2х + 9

                 5х – 2х = 9 – 3

                 3х = 6

                  x = 2

                Ответ: 2.

Первый этап формирования алгоритма

Устные упражнения на повторение:

1) Перенесите из левой части уравнения в правую то слагаемое, которое не содержит неизвестного:

а) 8х + 5,9 = 7х + 20;                                      

 б) 6х – 8 = -5х – 1,6.

2) Оставьте в левой части уравнения все слагаемые, содержащие неизвестное, а в правой – не содержащие неизвестное:

а) 15y – 8 = -6y +4,6;                                      

 б) -16z + 1,7 = 2z – 1.

3) Приведите подобные слагаемые:

а) 15t + 8 – 8t – 6;

б) 13a + 4 – 7a - 25a;

в) 24m + 7 – 9m – 14m.

4) Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:

а) 7b – (3b + 1);

б) 3(x - 5) + 10x;

в) -2(x + 1) + x.

Первый вид тестовых заданий:

1. Если перед скобками стоит знак «+», то можно опустить скобки и этот знак «+», _________________ знаки слагаемых, стоящих в скобках.

2. Раскройте скобки:

-17,5 + (3,02 – 2,51) = __________________.

3. -(a + b) = __________________.

4. Коэффициентом такого выражения, как a или ab, считают _________.

5. Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называют ______________________ слагаемыми.

6. Выполните приведение подобных слагаемых:

• b – 2c + 4b – c = _________________________.

7. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то корни уравнения ________________________.

Второй  вид тестовых заданий:

1. Выражение  a + (b + c) можно записать без скобок:

a + (b + c) = a + b + c

2. Чтобы записать сумму, противоположную сумме нескольких слагаемых, надо изменить знаки данных слагаемых.

3. Приведение подобных слагаемых выполняют на основании переместительного свойства умножения.

4. Число -30 является корнем уравнения  

0,5х – 15 = х.

Третий  вид тестовых заданий:

1. Раскройте скобки в выражении:  a – (b + c - d)

А) a – b + c – d;

Б) a – b – c + d;

В) a + b + c – d.

2. Найдите значение выражения: 25 – (12 - 53)

А) -40;

Б) -16;

В) 66.

3. Упростите: 5x – 5y – 6x + y

А) –x – 5y;

Б) -6x + y;

В) –x – 4y.

4. Найдите корень уравнения: 4 – 3y = 7 - y

А) 1,5;

Б) -1;

В) -1,5.

Второй этап формирования алгоритма

Решите уравнения:

1) -2x + 16 = 5x – 19

2) 4(3 – 2x) + 24 = 2(3 + 2x)

3) 15 – 3(x - 8) = 3

4) 0,5(4 + x) – 0,4(x - 3) = 2,5

5) 0,4(x - 9) – 0,3(x + 2) = 0,7

Третий этап формирования алгоритма

Решите уравнения:

18 = 3y + 3

6x + 10 = 5x + 15

-5n – 16 = 3n

8 – 5n = 10 – 4n

9m – 8 = 6m + 7

Тестовые задания

1. Решите уравнение: 4,2х + 5 = -7,6

А) 4;

Б) -3;

В) -0,3;

Г) другой ответ.

2. Найдите сумму корней уравнений

х + 11,7 = 8,7 и (3х + 4,6) – 6,6 = 8,7 + 2,2

А) 4,3;

Б) -7,4;

В) 1,3;

Г) другой ответ.

3. Отец в два раза старше сына и на 25 лет старше дочери. Сколько лет дочери, если всем вместе им 95 лет?

А) 23;

Б) 24;

В) 48;

Г) другой ответ.

Самостоятельная работа

1. Решите уравнения:

а) 2,1х – 3,5 = 1,4х;

б) 2(4 – 1,9х) = 0,8 – 0,2х.

2. На верхней полке в 3 раза больше книг, чем на нижней. После того, как с верхней полки сняли 15 книг, а на нижнюю добавили 11 книг, книг на обеих полках стало поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально?

3. Путь из города в село турист прошел со скоростью 4,8 км/ч. На обратном пути он увеличил скорость до 6 км/ч, что позволило ему пройти это расстояние на 1 час быстрее. Найдите расстояние от города до села.

7 класс.

0,5(4 – 2a) = a – 1,8

2 – a = a – 1,8

a + a = 2 + 1,8

2a = 3,8

a = 1,9

Ответ: 1,9

Алгоритм решения линейного уравнения с двумя переменными типа: 5y – 2x = 1

1) воспользовавшись свойствами уравнений, выразить из данного уравнения одну переменную через другую;

2) воспользовавшись свойствами уравнений, добиться того, чтобы коэффициент при одной из переменных был равен единице;

3) взять произвольное значение одной из переменных и вычислить соответствующее ему значение другой переменной;

4) записать решение исходного (данного) уравнения в виде пары (пар) чисел.

Пример

3x + 2y = 12 (1)

2y = 12 – 3x

y = 6 – 1,5x  (2)

если x = 2, то          6-1,5*2 = 6 – 3 = 3;

если x = 6, то           6-1,5*6 = 6 – 9 = -3.

Пары чисел (2; 3), (6;-3) – решение уравнения (1).

уравнение (1) имеет бесконечно много решений

Тестовые задания по теме: «Уравнение с одной переменной»

1. Выберите уравнения, для которых число -3 является корнем:

1) (2x + 3)(2x - 6) = 0;                3) (2x + 6)(x - 4) = 0;

2) (x2 - 9) + (x2 - 7) = 2;             4) (x + 3)(x2 – 3x + 9) = 0.

а) 1; 2;            б) всех;        в) 3; 4;                     г) 2; 3; 4.

 2. Найдите все натуральные значения p, при которых корнем уравнения px = 8 является целое число.

а) 1; 2; 4; 8;           б) 1; 8;           в) 2; 4;            г) 2; 4; 8.

3.  При каком значении c пара (c;3) является решением уравнения

3x – 4y = 6?

а)  -6;                  б) 6.

4.  Точка с абсциссой -3 принадлежит графику уравнения x – 2y = 10. Найдите ординату этой точки.

а) -6,5;               б) 6,5;                 в) 4;           г) -4.

Тестовые задания по теме «Уравнения с двумя переменными»

1. При каком значении c пара (c;3) является решением уравнения

3x – 4y = 6?

а)  -6;                  б) 6.

2. Точка с абсциссой -3 принадлежит графику уравнения x – 2y = 10. Найдите ординату этой точки.

а) -6,5;               б) 6,5;                 в) 4;           г) -4.

Самостоятельная работа

1. Решите уравнения:

а) -8х = -24;

б) 50х = -5;

в) -18х = 1.

2. Определите значение x, при котором значение выражения -3х равно:

а) 0;          б) 6;         в) -12;

3. При каких значениях a уравнение ax = 8:

1) имеет корень, равный -4,  0;

2) не имеет корней;

3) имеет отрицательный корень.

Ну, а теперь давайте подведем итоги.

Можно ли научить решать любое уравнение?

Ответ неоднозначен. Ясно, что рассчитывать на изображение методики обучения решению уравнений, пригодной для всех детей и во всех случаях – все равно, что искать универсальное лекарство от всех болезней. Практическая ценность обучения школьников решению уравнений разнообразными способами в современных условиях заключается совсем не в том, чтобы раз и навсегда вооружить их приемами решения различных уравнений, которые будут возникать в дальнейшем обучении, а в том, что оно обогатит их опыт мыслительной деятельности. А помогут в этом алгоритмы решения уравнений.

Так каким же должен быть алгоритм?

Методические рекомендации по организации работы учащихся с алгоритмами и формированию алгоритмического мышления.

• алгоритм должен быть по возможности наиболее кратким;
• «Читая и применяя алгоритм, старайтесь запоминать его»;
• пунктуационное соблюдение данного учителем образца решения задачи;
• указания в алгоритме желательно давать в таком виде, чтобы они содержали в себе все необходимые объяснения, какие учитель хочет слышать от учащихся по ходу решения задач.