Методика решения текстовых задач на производительность и грузоперевозки.
методическая разработка по алгебре (8 класс) на тему

Методика решения текстовых задач на производительность и грузоперевозки.

Существует несколько способов решения текстовых задач:

           арифметический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью чисел и знаков арифметических действий сложения, вычитания, умножения и деления, то есть с помощью нескольких действий над числами, связанных между собой;

           алгебраический способ – это способ решения текстовой задачи  с помощью введения переменных и составления соответствующего уравнения или неравенства, или системы уравнений или неравенств;

           геометрический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью применения геометрических знаний;

           схематический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью схем;

           графический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью графиков в прямоугольной системе координат.

Текстовые задачи на производительность и грузоперевозки

Текстовые задачи на производительность и грузоперевозки наряду с задачами на движение являются одними из наиболее популярных видов задач на экзаменах разного уровня. Как в задачах на движение, в которых присутствуют элементы v –скорость, t –время и S – расстояние, так и в задачах на производительность и грузоперевозки есть аналогичные элементы.

В задачах на производительность существуют:

р – производительность, аналог скорости, то есть количество работы, производимой в единицу времени;

t – время работы;

А – объём работы, аналог расстояния.

Все три элемента связаны друг с другом формулой: объём работы А равен произведению производительности p на время t.

А = p · t

В задачах на грузоперевозки:

в роли скорости v выступает грузоподъёмность m, это есть масса груза, перевозимая одним транспортным средством;

в роли времени t выступает количество транспортных единиц n перевозчиков (машин, тележек, цистерн и т.д.);

в роли расстояния выступает общая масса M перевозимого груза.

Эти элементы связаны между собой формулой

М = m · n

Как правило, в этих задачах предполагается, что в ходе выполнения работы и перевозки грузов производительность и грузоподъёмность неизменны, то есть остаются постоянными. В силу аналогичности текстовых задач на движение, производительность и грузоподъёмность все способы и приёмы решения задач на движение применимы и к решению задач на производительность и грузоподъёмность.

Выбор переменной в текстовых задачах на производительность и грузоперевозки

Если в условии задачи не указаны единицы измерения работы, то весь объём работы и объём перевозимого груза удобнее обозначить за единицу, тогда производительность и грузоподъёмность будет измеряться в доле объёма работы и объёма груза в единицу времени.

Полезно также помнить, что производительность совместного труда нескольких участников и грузоподъёмность нескольких перевозящих средств равны сумме производительностей и сумме грузоподъёмностей соответственно.

Для успешного решения текстовых задач на производительность и грузоперевозки алгебраическим способом обычно за переменную принимают производительность или грузоподъёмность, но иногда удобнее обозначать переменной время. Сориентироваться в выборе переменной помогает главный вопрос задачи.

Полезно также помнить, что, если в условии описано много различных взаимосвязей между неизвестными величинами, то лучше все неизвестные обозначить буквами и опираясь на них составить по условию задачи несколько уравнений. В этом случае не должна пугать громоздкость составленных математических моделей. Обычно с помощью несложных преобразований уравнения хорошо упрощаются, а их количество сокращается.

Примеры решения текстовых задач на производительность и грузоперевозки

ЗАДАЧА 1.  В Простоквашино Дядя Фёдор, кот Матроскин, Шарик и почтальон Печкин решили покрасить забор. Если красить забор будут Дядя Фёдор, кот Матроскин и почтальон Печкин, то они покрасят его за 1 час. Кот Матроскин, Шарик и почтальон Печкин смогут выкрасить забор за 1 час 15 минут, а Дядя Фёдор и Шарик справятся с работой за 1 час 40 минут. За сколько минут смогут выкрасить забор все четыре героя из Простоквашино?

Р Е Ш Е Н И Е :

Решим задачу геометрическим способом. Так как в условии задачи не указаны единицы измерения работы, то логично объём работы покраски забора обозначить за 1 единицу. Тогда производительность работы:

Известно, что общая производительность каждого вида работы равна сумме производительностей каждого участника работы. Смоделируем условия задачи на геометрических фигурах:

     – производительность Дяди Фёдора,

     –производительность кота Матроскина,

     –производительность почтальона Печкина,

     –производительность Шарика.

     +      +     =1/60 (ед./мин) –производительность 1/60 работы в минуту совместного труда Дяди Фёдора, кота Матроскина и почтальона Печкина.

     +      +     =1/75 (ед./мин) –производительность 1/75 единицы работы в минуту совместного труда кота Матроскина, Шарика и почтальона Печкина.

     +       =1/100 (ед./мин) –производительность 1/100 единицы работы в минуту совместного труда Дяди Фёдора и Шарика.

Несложно заметить, что во всех трёх строках встречается по два прямоугольника каждого из четырёх цветов, следовательно, сложив соответственно левые и правые части, получаем, что удвоенная сумма всех четырёх производительностей равна

Чтобы найти производительность всех четверых участников их совместной работы, надо обе части полученного равенства поделить на два.

Чтобы ответить на главный вопрос задачи и найти время работы всех четверых участников, надо работу 1 единицу разделить на полученную производительность 1/50 (ед./мин).

Таким образом, все четыре героя из Простоквашино смогут выкрасить забор за 50 минут.

О Т В Е Т: 50 минут.

ЗАДАЧА 2. Первая труба наполняет резервуар на 5 минут дольше, чем вторая. Обе трубы вместе наполнят этот резервуар за 6 минут. За сколько минут наполняет этот резервуар первая труба?

Р Е Ш Е Н И Е:

Решим задачу алгебраическим способом. Главный вопрос задачи – это время, за которое первая труба заполняет резервуар. Тогда логично будет обозначить эту величину за переменную t (мин). Тогда второй трубе на наполнение резервуара понадобится (t – 5) (мин). Так как в условии задачи не даны единицы измерения объёма резервуара, то примем этот объём за 1 единицу.

Тогда можно выразить производительность работы первой и второй труб. Производительность их совместной работы равна сумме производительностей каждой трубы, значит:

По условию задачи сказано, что вместе две трубы наполняют резервуар за 6 минут. Следовательно, их производительность равна 1 /6 резервуара в минуту. Получили уравнение

Приведём дроби к общему знаменателю и перенесём всё в левую часть, имеем

Решая квадратное уравнение   –t2 + 17t – 30 = 0, умножим обе части уравнения на –1. Получаем t2 – 17t + 30 = 0. Корнями этого уравнения являются t1 = 15 и t2 = 2.

По смыслу задачи время работы первой трубы должно быть больше 5, так как по условию задачи первая труба наполняет резервуар на 5 минут дольше, чем вторая.

Значит, значение t = 2 является посторонним решением.

Таким образом, первая труба наполняет резервуар за 15 минут. Мы ответили на главный вопрос задачи.

О Т В Е Т: 15 минут.

ЗАДАЧА 3. Три самосвала разной грузоподъёмности возят груз. Он будет вывезен полностью, если все они сделают по 8 рейсов. Груз также будет вывезен, если первый самосвал сделает 4 рейса, второй – 2 рейса, третий – 16 рейсов. Если первый и третий совершат соответственно 6 и 12 рейсов, то сколько рейсов нужно сделать второму, чтобы весь груз был вывезен? 

Р Е Ш Е Н И Е:

Решим задачу алгебраическим способом с помощью системы уравнений. В условии задачи нет единиц измерения массы груза, следовательно, весь груз примем за 1 единицу.

Введём переменные:

 х – доля груза, который помещается на первый самосвал;

у - доля груза, который помещается на второй самосвал;

z – доля груза, который помещается на третий самосвал;

k - количество рейсов, которое нужно сделать второму самосвалу, чтобы весь груз был вывезен.

По условию задачи груз будет вывезен полностью, если все самосвалы сделают по 8 рейсов, значит, составим уравнение

8x + 8y + 8z = 1.

Так же по условию задачи груз будет вывезен, если первый самосвал сделает 4 рейса, второй –2 рейса, третий – 16 рейсов, значит, получим ещё одно уравнение:

4x + 2y + 16z = 1.

А еще по условию задачи, если первый и третий совершат соответственно 6 и 12 рейсов, то k  рейсов нужно сделать второму, чтобы весь груз был вывезен, тогда получим уравнение:

6x + ky + 12z = 1.

Рассмотрим систему трёх уравнений с четырьмя неизвестными:

Обнулим коэффициенты при х  у второго и третьего уравнений. Для этого из удвоенных слагаемых второго уравнения вычтем соответствующие слагаемые первого уравнения, а затем из слагаемых третьего уравнения вычтем соответствующие слагаемые первого уравнения, умноженные на 0,75. Получаем новую систему уравнений:

Теперь аналогично обнулим коэффициенты при z во втором и третьем уравнениях. Для этого из коэффициентов второго уравнения вычтем учетверённые соответствующие коэффициенты третьего уравнения. Получаем новое уравнение:

(20 – 4k)y = 0.

Так как по смыслу задачи грузоподъёмность второго самосвала у не может равняться 0, то решением полученного уравнения будет k = 5.

Мы ответили на главный вопрос задачи: для вывоза всего груза второй самосвал должен сделать 5 рейсов.

О Т В Е Т: 5 рейсов.

Примеры решения текстовых задач на производительность

ЗАДАЧА 1.  Три поросёнка Ниф-Ниф, Наф-Наф и Нуф-Нуф решили своими руками сделать игрушки для новогодней ёлки. Ниф-Ниф изготовлял 5 игрушек в час, а Наф-Наф 8 игрушек в час. Ниф-Ниф и Наф-Наф начали работу одновременно, а Нуф-Нуф –на полчаса позже. Через некоторое время Нуф-Нуф догнал по количеству изготовленных игрушек Ниф-Нифа, а ещё через полтора часа после этого догнал и Наф-Нафа. Определите производительность труда Нуф-Нуфа.

Р Е Ш Е Н И Е:

Решим задачу алгебраическим способом.

Введём переменные:

р – производительность труда Нуф-Нуфа  игрушек в час.

t – время в часах, через которое Нуф-Нуф догнал по количеству изготовленных игрушек Ниф-Нифа.

По условию задачи Нуф-Нуф начал работать на полчаса позже, значит, он проработал до этого момента (t –0,5) часов. Так как Нуф-Нуф догнал по количеству изготовленных игрушек Ниф-Нифа, значит, можно составить уравнение:

p(t – 0,5) = 5t.

По условию задачи через полтора часа Нуф-Нуф догнал по количеству игрушек и Наф-Нафа. Значит, за время работы Нуф-Нуф сделал p(t +1) игрушек, а Наф-Наф 8(t + 1,5) игрушек. Мы получили второе уравнение:

p(t +1) = 8(t + 1,5).

По условию задачи надо найти значение переменной р. Следовательно, из каждого полученного уравнения выразим переменную t через переменную р. Из первого уравнения имеем:

Из второго уравнения получим

Левые части выражений равны, следовательно, и правые части тоже равны. Мы получили пропорциональное уравнение с одной переменной р, а именно:

Известно, что в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов. Значит, получим уравнение:

0,5р(р – 8) = (12 – р)(р – 5).

Раскрыв скобки, перенесём всё в левую часть уравнения и приведём подобные члены. Получаем квадратное уравнение

1,5р2 – 21р + 60 = 0.

Обе части уравнения умножим на две третьих. Имеем квадратное уравнение:

р2 –14р + 40 = 0; с корнями р1 = 4  и  р2 = 10.

По условию задачи Нуф-Нуф начал работать позже и догнал по количеству изготовленных игрушек своих друзей, следовательно, его производительность должна быть больше производительности и Ниф-Нифа, и Наф-Нафа. Значит, по смыслу задачи значение р должно быть больше 8-ми. Получили, что р = 4 является посторонним решением, а значение р = 10даёт ответ на главный вопрос задачи: производительность труда Нуф-Нуфа 10 игрушек в час.

О Т В Е Т: 10 игрушек в час.

ЗАДАЧА 2. В бассейн проведены две труб – подающая и отводящая, причём через первую бассейн наполняется на 2 часа дольше, чем через вторую опорожняется. При заполненном на одну треть бассейне были открыты обе трубы, и бассейн оказался пустым через 8 часов. За сколько часов, действуя отдельно, первая труба наполняет бассейн?

Р Е Ш Е Н И Е:

Решим задачу алгебраическим способом.

Введём переменные.

Главный вопрос задачи заключается в определении количества часов, за которое первая труба, действуя отдельно, наполняет бассейн. Значит:

t – время работы первой трубы для заполнения бассейна в часах;

t – 2 – время слива воды из бассейна через вторую трубу в часах, так как по условию задачи через первую бассейн наполняется на 2 часа дольше, чем через вторую опорожняется.

В условии задачи отсутствуют единицы измерения объёма бассейна, значит, весь объём бассейна примем за 1 единицу. При заполненном на одну треть бассейне были открыты обе трубы, и бассейн оказался пустым через 8 часов. Следовательно, 2/3 бассейна заполняется 

Выразим объём бассейна через производительность подающей трубы, а именно, как одна третья бассейна плюс её производительность 1 делённая на t и умноженная на время работы трубы 8 часов

Объём бассейна через производительность отводящей трубы выразится как её производительность 1 деленная на (t – 2) и умноженная на время работы 8 часов

 Приведём дроби к общему знаменателю и упростим числитель.

Тогда получим уравнение

Известно, что дробь равна 0, если числитель равен 0. Решая квадратное уравнение

t2 – 2t – 48 = 0,

Получаем корни t1 = – 6 и t2 = 8. По смыслу задачи значение времени t должно быть неотрицательной величиной, значит, корень t = – 6 является посторонним решением. А корень t = 8 даёт ответ на главный вопрос задачи: первая труба заполняет бассейн за 8 часов.

О Т В Е Т: 8 часов.

ЗАДАЧА 3. Одновременно зажжены две свечи одинаковой длины, но разной толщины. Одна сгорает за 5 часов, а другая – за 4 часа. Через сколько минут были погашены одновременно две свечи, если от первой свечи остался огарок в 4 раза длиннее, чем от второй?

Р Е Ш Е Н И Е:

Решим задачу алгебраическим способом.

Введём переменную. Так как главным вопросом является количество минут одновременного горения свечек, то логично за переменную t часов обозначить это время.

t – количество минут одновременного горения свечек в часах.

По условию задачи две свечи одинаковой длины, причём их длина не выражена в единицах измерения, значит, примем длину свечей за 1 единицу. Также в условии сказано, что свечи разной толщины и одна из них сгорает за 5 часов, а другая – за 4 часа. Следовательно,

Выразим длину огарков после горения свечей в течение t часов.

По условию задачи от первой свечи остался огарок в 4 раза длиннее, чем от второй. Значит, составим уравнение

Раскрыв скобки и проведя алгебраические преобразования, получаем корень уравнения

Мы ответили на главный вопрос задачи: через 3,75 часа огарок первой свечи будет в 4 раза длиннее огарка второй свечи. Выразим результат времени в минутах, для этого 3,75 умножим на 60 минут. Получаем 225 минут.

О Т В Е Т: 225 минут.

Пример решения текстовых задач на грузоперевозки

ЗАДАЧА. Три автомашины перевозят зерно, загружаясь в каждом рейсе полностью. За один рейс первая и вторая машины перевозят вместе 6 тонн зерна, а первая и третья вместе за два рейса перевозят столько же зерна, сколько вторая за 3 рейса. Какое количество зерна перевозит за один рейс вторая машина, если известно, что некоторое количество зерна вторая и третья перевозят вместе, совершая в 3 раза меньше рейсов, чем потребовалось бы третьей машине для перевозки того же количества зерна.

Р Е Ш Е Н И Е:

Решим задачу алгебраическим способом.

Введём переменные. Так как главным вопросом задачи является определение количества зерна, которое перевозит за один рейс вторая машина, то логично обозначить за х тонн зерна за один рейс грузоподъёмность второй машины.

x – грузоподъёмность второй машины за один рейс в тоннах.

По условию задачи за один рейс первая и вторая машины перевозят вместе 6 тонн зерна, значит,

(6 – х) – грузоподъёмность первой машины за один рейс в тоннах.

у – грузоподъёмность третьей машины в тоннах.

По условию задачи первая и третья машины вместе за два рейса перевозят столько же зерна, сколько вторая за 3 рейса. Тогда можем составить уравнение

2(6 – х + у) = 3х.

По условию задачи некоторое количество зерна вторая и третья машины перевозят вместе, совершая в 3 раза меньше рейсов, чем потребовалось бы третьей машине для перевозки того же количества зерна. Тогда можем составить уравнение

х + у = 3у.

Так как главным вопросом задачи является значение переменной х, то из второго уравнения выразим у через х.

Имеем у = 0,5х. Подставим полученное выражение в первое уравнение вместо у. Получаем уравнение с одной переменной

2(6 – 0,5х) = 3х.

Раскрыв скобки, решим уравнение 12 – х = 3х. Нетрудно вычислить его корень х = 3. Мы ответили на главный вопрос задачи 3 тонны зерна перевозит за один рейс вторая машина.

О Т В Е Т: 3 тонны.

Литература:

1.    Г.Н. Тимофеев Математика для поступающих в вузы. Учебное пособие. Текстовые задачи. – Йошкар-Ола: Мар. гос. ун-т, 2006 г.

2.    В. Булынин Применение графических методов при решении текстовых задач. – Еженедельная учебно-методическая газета «Математика», №14, 2005 г.

3.    Н.И. Попов, А.Н. Марасанов Задачи на составление уравнений. Учебное пособие. Йошкар-Ола: Мар. гос. ун-т, 2003 г.

4.    http://festival.1september.ru/articles/310281/ Н.А. Зарипова Программа элективного курса "Текстовые задачи".

5.    http://festival.1september.ru/articles/415044/ Н.А. Зарипова  Методика решения задач группы vts. Материалы к проведению элективного курса "Решение текстовых задач"