Загадки чисел Фибоначчи
творческая работа учащихся по алгебре (7 класс) на тему

               Министерство общего среднего и профессионального

образования Свердловской области

Нижнесергинский муниципальный район

Загадки чисел Фибоначчи

Исполнитель: Хакимова Элина,

ученица 7 б класса

МАОУ СШ №1

 г. Михайловска

Руководитель: Матвеева Мария Павловна,

учитель математики МАОУ СШ №1

 г. Михайловска

г. Михайловск

2016 год

Содержание

стр.

Введение                                                                                                                  3

Глава I. Леонардо Пизанский (Фибоначчи).                                                                      5

Глава II. Числа Фибоначчи и их свойства.                                                      7

Глава III. Использование последовательности Фибоначчи.                      10

1.Числа Фибоначчи и золотое сечение.                                                               10

2.Спирали Фибоначчи в природе.                                                                        11

3. Золотое сечение в нашей жизни.                                                                     14

4. Мои исследования.                                                                                            19

Заключение                                                                                                           20

Литература                                                                                                             21

Приложение                                                                                                           22

Введение

     Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира.

Н.И. Лобачевский

Человек стремится к знаниям, пытается изучить Мир, который его окружает. Сегодня, в век высоких технологий, изучение ведётся не только на нашей планете Земля, но и за её пределами – во Вселенной. Но это не значит, что на Земле всё изучено, а наоборот, остаётся огромное количество непонятных и необъяснимых явлений.

Великие ученые древности считали количественные отношения основой сущности мира. Поэтому числа и их соотношения занимали величайшие умы человечества. «Числа управляют миром!  Число – это сила, царящая над богами и смертными!» - так говорили ещё древние  пифагорейцы. Актуальна  ли в наши дни эта основа учения Пифагора?

Оказывается, закономерность явлений природы, строение и многообразие живых организмов на нашей планете, всё, что нас окружает, поражая воображение своей гармонией и упорядоченностью, законы мироздания, движение человеческой мысли и достижения науки – всё это можно объяснить последовательностью чисел - последовательностью Фибоначчи.

Почему же эта последовательность чисел столь распространена в нашем мире? Что это за магические числа, которые таят в себе великую загадку?

Я захотела узнать  о  тайнах   чисел Фибоначчи.  Результатом моей деятельности и явилась данная исследовательская работа.

Актуальность исследования в том, что при изучении в математике числа, нам  хочется убедиться в том, что действительно, явления всей Вселенной подчинены определенным числовым соотношениям,   найти  эту невидимую  связь между математикой и жизнью!  

Цель исследования – знакомство с числами Фибоначчи, изучение их свойств и областей применения.  

Задачи исследования:    

• изучить последовательность чисел Фибоначчи;
• описать способ построения ряда Фибоначчи и спирали Фибоначчи;
• изучить проявление чисел Фибоначчи и связанного с ним закона золотого сечения   в природе;
• найти примеры математических закономерностей  в строении человека  с точки зрения феномена Золотого сечения.  

Объект исследования: человек, математические абстракции, созданные человеком, окружающий растительный  и животный  мир.

Предмет  исследования: форма и строение исследуемых предметов и явлений.

Новизна  исследования: открытие чисел Фибоначчи в окружающей нас  действительности.

Практическая  значимость: использование приобретенных знаний и навыков исследовательской работы при изучении других школьных предметов.  

Глава I. Леонардо Пизанский (Фибоначчи).

Леона́рдо Пиза́нский (лат. LeonardoPisano, около 1170 года, Пиза — около 1250 года, там же) — первый крупный математик средневековой Европы (приложение 1). Наиболее известен под прозвищем Фибона́ччи (Fibonacci); о происхождении этого псевдонима имеются разные версии. По одной из них, его отец Гильермо имел прозвище Боначчи («Благонамеренный»), а сам Леонардо прозывался filiusBonacci («сын Благонамеренного»). По другой, Fibonacci происходит от фразы FiglioBuonoNatoCi, что в переводе с итальянского означает «хороший сын родился».

Отец Фибоначчи по торговым делам часто бывал в Алжире, и Леонардо изучал там математику у арабских учителей. Позже посетил Египет, Сирию, Византию, Сицилию. Леонардо изучал труды математиков стран ислама (таких как ал-Хорезми и Абу Камил); по арабским переводам он ознакомился также с достижениями античных и индийских математиков.

На основе усвоенных им знаний Фибоначчи написал ряд математических трактатов, представляющих собой выдающееся явление средневековой западноевропейской науки.

В одном из своих трудов под названием «Книга вычислений» он представил Европе одно из величайших открытий всех времён и народов – десятичную систему счисления.

Другая книга Фибоначчии, «Практика геометрии» (Practicageometriae, 1220 год), содержит разнообразные теоремы, относящиеся к измерительным методам. Наряду с классическими результатами Фибоначчи приводит свои собственные — например, первое доказательство того, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке (Архимеду этот факт был известен, но если его доказательство и существовало, до нас оно не дошло).

«Книга квадратов» (Liberquadratorum, 1225 год), содержит ряд задач на решение неопределённых квадратных уравнений.

Значительную часть усвоенных им знаний он изложил в своей выдающейся «Книге абака» (Liberabaci, 1202 год; до наших дней сохранилась только дополненная рукопись 1228 года). Эта книга содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени, изложенные с исключительной полнотой и глубиной. В книге рассматривается арифметика целых чисел на основе десятичной нумерации. В ней же Леонардо излагает действия над обыкновенными дробями, рассматривает приёмы решения задач, основанные на пропорциях. Леонардо впервые в Европе использовал отрицательные числа, которые рассматривал как долг. Таким образом. эта книга содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени, изложенные с исключительной полнотой и глубиной.

Роль его книг в развитии математики и распространении в Европе математических знаний трудно переоценить. По этим книгам, превосходящим по своему уровню арабские и средневековые европейские сочинения, учили математику, чуть ли не до времен Декарта (XVII в.).

Глава II. Числа Фибоначчи и их свойства.

Числа Фибоначчи  или Последовательность Фибоначчи - числовая последовательность, обладающая рядом свойств,  была выведена Леона́рдо благодаря проблеме с кроликами, которую автор изложил в книге “Книге абака”: один человек посадил в загон, со всех сторон окруженный стеной, пару кроликов. Вопрос: сколько пар кроликов может произвести эта пара за год, если известно, что ежемесячно, начиная со второго месяца, каждая пара производит на свет еще одну пару кроликов.

Решая эту математическую задачу, он пытался создать формулу, описывающую последовательность  размножения кроликов (приложение 2).

В итоге Фибоначчи определил, что число пар кроликов в каждый из последующих двенадцати месяцев будет соответственно: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Где каждое последующее число - это сумма двух предыдущих.

Это ряд (числа) Фибоначчи:    

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, …

Когда появился ряд Фибоначчи, никто, в том числе и он сам, не подозревал, насколько близко ему удалось приблизиться к разгадке одной из величайших тайн мироздания!

Данная последовательность имеет множество свойств, интересных с математической точки зрения. 

1) Отношение какого-либо элемента последовательности к предшествующему ему колеблется около числа 1,618…, через раз, то превосходя, то, не достигая его:

То есть, частное от деления последующего числа Фибоначчи на предыдущее, по мере роста самих чисел, стремиться к 1,618.  Именно это постоянное число деления в средние века было названо Божественной пропорцией, а ныне  именуется как золотое сечение  или золотая пропорция.

В алгебpе это число обозначается гpеческой буквой фи (Ф)

                               Итак,               φ = 1,618

          233 / 144   = 1,618                          

377 / 233   = 1,618        

610 / 377   = 1,618

987 / 610   = 1,618

1597 / 987  = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Сколько бы раз мы не делили одно на другое, соседнее с ним число, мы всегда получим  1, 618.

2. А если сделаем наоборот, то есть  разделим  меньшее  число  на большее, то получим 0, 618, это число, обратное к 1, 618, тоже называется золотой пропорцией.
3. Если делить элементы последовательности через один, то получим числа 2,618… и 0,382…, которые так же являются  взаимно обратными числами.
4. Каждое третье число чётное, каждое четвёртое делится на 3, каждое пятое – на 5, каждое пятнадцатое – на 10.
5. Невозможно построить треугольник, сторонами которого являются числа ряда Фибоначчи (никакое число ряда не может повторяться дважды).

Фибоначчи вёл отшельнический образ жизни, много времени проводил на природе, и, гуляя в лесу, он обратил внимание, что эти числа стали буквально преследовать его.  Повсюду в природе он снова и снова встречал эти числа.

Учёные, анализируя дальнейшее применение числового ряда Фибоначчи к природным феноменам и процессам, обнаружили, что эти числа содержатся буквально во всех объектах живой природы, в растениях, в животных и в человеке. Удивительная математическая игрушка оказалась уникальным кодом, заложенным во все природные объекты самим Творцом  Вселенной.

Глава III. Использование последовательности Фибоначчи.

1.Числа Фибоначчи и золотое сечение

Фибоначчи как бы напомнил свою последовательность человечеству. Она была известна еще древним грекам и египтянам. И действительно, с тех пор в природе, архитектуре, изобразительном искусстве, математике, физике, астрономии, биологии и многих других областях были найдены закономерности, описываемые коэффициентами Фибоначчи.

Фибоначчи по сути не открыл ничего нового, он просто напомнил миру о таком явлении, как Золотое сечение. Что же такое « золотое сечение»?

Золотое сечение - высшее проявление совершенства целого и его частей в науке, искусстве и природе. Если на простом примере, то Золотое Сечение - это деление отрезка на две части в таком соотношении, при котором большая часть относится к меньшей, как их сумма (весь отрезок) к большей (рис. 1).

b : а = с : b  или  a : b = b : c

Рис. 1. Геометрическое изображение золотой пропорции

Если принять весь отрезок с за 1, то отрезок b, будет равен 0,618, отрезок а будет равен 0,382, только так будет соблюдено условие Золотого Сечения (0,618/0,382=1,618; 1/0,618=1,618). Отношение с к b равно 1,618, а  с к а  равно 2,618. Это всё те же, уже знакомые нам, коэффициенты Фибоначчи.

Если взять прямоугольник с длиной и шириной равными двум соседним числам Фибоначчи, то получится «Золотой прямоугольник». Его длинные стороны соотносятся с короткими сторонами в соотношении 1,168 : 1.

Золотой прямоугольник обладает многими необычными свойствами. Отрезав от золотого прямоугольника квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника,

мы снова получим золотой прямоугольник меньших размеров (приложение 3).

Этот процесс можно продолжать до бесконечности. Продолжая отрезать квадраты, мы будем получать все меньшие и меньшие золотые прямоугольники и  если каждый из них разделить дугой, то система начнет приобретать некоторую форму в виде спирали, имеющей большое значение в математических моделях природных объектов.

Спираль золотого сечения идеальна. Эта спираль не имеет ни начала, ни конца. Она бесконечна. Но можно построить предполагаемое начало, от которого спираль начнет свою “раскрутку”. Это очень важное свойство. Оно позволяет Природе после очередного замкнутого цикла осуществлять строительство новой спирали с  “нуля”.

2.Спирали Фибоначчи в природе

Если посмотреть на растения и деревья вокруг нас, то видно, сколь много листьев на каждом из них. Издалека, кажется, что ветки и листья на растениях расположены случайным образом, в произвольном порядке. Однако во всех растениях чудесным образом, математически точно спланировано какая веточка, откуда будет произрастать, как ветки и листья будут располагаться около стебля или ствола.

С первого дня появления растение в точности следует в своём развитии этим законам, то есть ни один лист, ни один цветок не появляется случайно. Ещё до появления растение уже точно запрограммировано. Сколько будет веток на будущем дереве, где вырастут ветки, сколько будет листьев на каждой ветке, и как, в каком порядке будут располагаться листья.

Если мы зададимся целью  отыскать числовые закономерности в живой природе, то заметим, что эти числа часто встречаются в различных спиральных формах, которыми так богат мир растений.  

Ряд Фибоначчи характеризует структурную   организацию многих живых систем.

Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности.

Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), в числе оборотов на стебле, в числе листьев в цикле  проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя и   закон золотого сечения.

Расстояние между листьями (или ветками на стволе растения) относятся примерно как числа Фибоначчи.

Выяснилось, что в расположении листьев на ветке семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения.

Семечки в корзине  подсолнечника выстраиваются вдоль спиралей, которые закручиваются как слева направо, так и справа налево. В одну сторону у среднего подсолнечника закручено 13 спиралей, в другую – 21. Отношение 13: 21 – отношение Фибоначчи.У более крупных соцветий подсолнечника число соответствующих спиралей больше, но отношение числа спиралей, закручивающихся в разных направлениях также равно числу 1,618

Просто удивительно, сколько постоянных можно вычислить пpи помощи последовательности Фибоначчи, и как ее члены проявляются в огромном количестве сочетаний. Однако не будет преувеличением сказать, что это не просто игра с числами, а самое важное математическое выражение природных явлений из всех когда-либо открытых. Рассматриваемые примеры показывают присутствие этой математической последовательности в разных сферах жизни и еще раз доказывают связь с Золотым сечением.

Похожее спиральное расположение наблюдается у чешуек сосновых шишек или ячеек ананаса(приложение 5). Чешуйки на поверхности сосновой шишки  расположены строго закономерно - по двум спиралям, которые пересекаются приблизительно под прямым углом. Число таких спиралей у сосновых шишек равно 8 и 13 или 13 и 21.

По золотой спирали свёрнуты раковины многих моллюсков (приложение 6).  Если развернуть одну такую раковину, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Дело в том, что отношение измерений завитков раковины постоянно и равно 1.618.

Однако нет сомнения, что эти неразумные существа не имеют представления не только о  спирали, но не обладают даже простейшими математическими знаниями, чтобы самим создать себе спиралевидную раковину.

Но тогда как, же эти неразумные существа смогли определить и избрать для себя идеальную форму роста и существования в виде спиральной раковины? Могли ли эти живые существа, которых ученых мир называет примитивными формами жизни, рассчитать, что идеальной для их существования будет спиральная  форма ракушки? Пытаться объяснить происхождение подобной даже самой примитивной формы жизни случайным стечением неких природных обстоятельств по меньшей мере абсурдно. Совершенно ясно, что этот проект является осознанным творением.

Некоторые пауки, сплетая паутину, закручивают нити вокруг центра по золотым спиралям.

В животном мире мы  также можем найти множество примеров спиралей (приложение 7) .

В форме спирали развиваются рога и бивни животных, когти львов и клювы попугаев являют собой логарифмические формы и напоминают форму оси, склонной обратиться в спираль.

Интересно, что спиралью закручивается ураган, облака циклона и это хорошо видно из космоса (приложение 8).

Природа повторяет свои находки, как в малом, так и в большом. По золотым спиралям закручиваются многие галактики, в частности и галактика Солнечной системы. Галактика – это спираль, соответствующая формуле Золотого сечения! (приложение 9)

3. Золотое сечение в нашей жизни

Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления.

Присутствие золотой пропорции и чисел Фибоначчи в живой природе позволяют говорить о некотором едином механизме их возникновения. Числа Фибоначчи и золотое сечение являются математическим описанием некоторого формообразующего процесса. Если такой формообразующий процесс является законом живой природы, то с его помощью можно объяснить наличие золотой пропорции в соотношении частей тела человека.

Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения. Они используют мерки с тела человека, сотворенного также по принципу золотой сечения.

Леонардо Да Винчи и Ле Корбюзье перед тем как создавать свои шедевры брали параметры человеческого тела, созданного по закону Золотой пропорции. Мы уже говорили, что отношений соседних чисел в ряду Фибоначчи есть число φ = 1,618. Оказывается, что и сам человек – просто кладезь числа фи. Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными. Принцип расчета золотой меры на теле человека можно изобразить в виде схемы представленной ниже.

M/m=1,618

Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618.

Если бы эти линии были единственными, где в человеческом теле имеется пропорция фи, это, вероятно, было бы только интересным фактом. На самом деле пропорция фи обнаруживается в тысячах мест по всему телу, а это не просто совпадение.

Есть и еще несколько основных золотых пропорций нашего тела:

• расстояние от кончиков пальцев до запястья и от запястья до локтя равно 1:1.618
• расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618
• расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618
• расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618
• расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1.618
• расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618
• расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618

В строении черт лица человека также есть множество примеров, приближающихся по значению к формуле золотого сечения. Однако не бросайтесь тотчас же за линейкой, чтобы обмерять лица всех людей. Потому что точные соответствия золотому сечению, по мнению ученых и людей искусства, художников и скульпторов, существуют только у людей с совершенной красотой. Собственно точное наличие золотой пропорции в лице человека и есть идеал красоты для человеческого взора.

К примеру, если мы суммируем ширину двух передних верхних зубов и разделим эту сумму на высоту зубов, то, получив при этом число золотого сечения, можно утверждать, что строение этих зубов идеально.

Золотое сечение в чертах лица человека является критерием совершенной красоты.

На человеческом лице существуют и иные воплощения правила золотого сечения. Приведу несколько таких соотношений:

• Высота лица / ширина лица,
• Центральная точка соединения губ до основания носа / длина носа.
• Высота лица / расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ
• Ширина рта / ширина носа,
• Ширина носа / расстояние между ноздрями,
• Расстояние между зрачками / расстояние между бровями.                                             

Золотая пропорция прослеживается и в строении легких человека.

Американский физик Б.Д.Уэст и доктор А.Л. Гольдбергер во время физико-анатомических исследований установили, что в строении легких человека также существует золотое сечение (приложение 10).

Особенность бронхов, составляющих легкие человека, заключена в их асимметричности. Бронхи состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых (левый) длиннее, а другой (правый) короче.

Было установлено, что эта асимметричность продолжается и в ответвлениях бронхов, во всех более мелких дыхательных путях. Причем соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618.

Все сведения о физиологических особенностях живых существ, будь то растение, животное или человек,  хранятся в микроскопической молекуле ДНК, строение которой также содержит в себе закон золотой пропорции. Молекула ДНК состоит из двух вертикально переплетенных между собой спиралей. Длина каждой из этих спиралей составляет 34 ангстрема, ширина 21 ангстрема. (1 ангстрем - одна стомиллионная доля сантиметра).
Так вот 21 и 34 - это цифры, следующие друг за другом в последовательности чисел Фибоначчи, то есть соотношение длины и ширины логарифмической спирали молекулы ДНК несет в себе формулу золотого сечения 1:1,618(приложение 11).

Спирали есть и в человеке. С помощью спиралей мы слышим. Также,  во внутреннем ухе человека имеется орган Cochlea ("Улитка"), который исполняет функцию передачи звуковой вибрации. Эта костевидная структура наполнена жидкостью и  сотворена в форме улитки, имеющей  в себе золотые пропорции (приложение 12).

И таких примеров можно найти предостаточно – было бы желание исследовать природные объекты и процессы. Мир настолько пронизан числами Фибоначчи, что  порой кажется: только ими Вселенная и  может быть объяснена.

Числа Фибоначчи и Золотое сечение используется в психологии. Например, чтобы выяснить, как развивается механизм творчества человека, В.В. Клименко воспользовался математикой. Числа Фибоначчи делят нашу жизнь на этапы по количеству прожитых лет:

• 0 — начало отсчета — ребенок родился. У него еще отсутствуют не только психомоторика, мышление, чувства, воображение, но и оперативный энергопотенциал. Он — начало новой жизни, новой гармонии;
• 1 — ребенок овладел ходьбой и осваивает ближайшее окружение;
• 2 — понимает речь и действует, пользуясь словесными указаниями;
• 3 — действует посредством слова, задает вопросы;
• 5 — «возраст грации» — гармония психомоторики, памяти, воображения и чувств, которые уже позволяют ребенку охватить мир во всей его целостности;
• 8 — на передний план выходят чувства. Им служит воображение, а мышление силами своей критичности направлено на поддержку внутренней и внешней гармонии жизни;
• 13 — начинает работать механизм таланта, направленный на превращение приобретенного в процессе наследования материала, развивая свой собственный талант;
• 21 — механизм творчества приблизился к состоянию гармонии и делаются попытки выполнять талантливую работу;
• 34 — гармония мышления, чувств, воображения и психомоторики: рождается способность к гениальной работе;
• 55 — в этом возрасте, при условии сохраненной гармонии души и тела, человек готов стать творцом. И так далее...

4. Мои исследования.

Я нашла пропорции различных частей тела моих одноклассников, и убедилась, что они действительно  составляют число, очень близкое к золотому сечению (приложение 13).

Занесла данные измерений и вычислений в таблицу.

По результатам исследования видно, что пропорция "фи", которая равна отношению соседних чисел из ряда Фибоначчи, проявляется и в человеческом теле.

Заключение

Суммарной последовательностью Фибоначчи легко можно трактовать закономерность проявлений Золотых чисел, встречаемых в природе. Эти законы действуют в независимости от нашего знания, от чьего-то желания принимать или не принимать их.

На основании исследования необходимых печатных материалов по теме “ Числа Фибоначчи “ мною была изучена последовательность Фибоначчи, её определения и особености. Числа Фибоначчи оказались везде вокруг нас. Я обнаружили  спираль Фибоначчи в  окружающих  нас растениях, живых организмах. Теперь понятно, почему спираль называют ещё «кривой жизни». Спираль стала  символом эволюции, ведь и  развивается  всё именно  по спирали.

Я увидели, что даже в строении  человека  проявляют себя числа  из последовательности  Фибоначчи,   что отражает гармоничность их строения. Сосновая шишка, подсолнух, человек устроены с математической точностью.

Жизнь – это не хаос случайностей, а осуществление генетически закрепленных программ. На Земле, как и во всей Вселенной, дают о себе знать удивительный порядок и совершенная гармония. Зачастую их невозможно выразить словами и тогда приходится обращаться к языку математики (языку чисел). Вот почему так важно изучать и его. В природе действительно существует основной закон пропорции и коэффициент Фибоначчи помогает понять его. Красота и математика неразрывно  связаны друг с другом.

Работа над данной темой стала для меня интересной и значимой, расширила кругозор и объем знаний по этой теме, заложенный в школьную программу.

В дальнейшем я планирую продолжить исследовательскую деятельность по данной теме и более детально изучить вопросы, связанные с числами Фибоначчи, более полно рассмотреть возможности практического применения чисел Фибоначчи.

Список литературы

1. Н. Я. Виленкин, Л. П. Шибасов, З. Ф. Шибасова «За страницами учебника математики»
2. Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. – М., Наука, 1984
3. Елизаров Н.Г., Понарядова Р.С. Учителю математики (методические рекомендации по эстетическому воспитанию на уроках и внеклассных занятиях по математике). – Сыктывкар: «Пролог», 1995. – 194 с.
4. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. – Москва: «Педагогика», 1985. – 352 с.

Сайты Интернета:

1.http://www.chydesa-sveta.ru/en/chisla_fibonachchi.html

2.http://zagadkamozga.ru/node/630

3.http://magov.net/blog/3621.html

4.http://greenword.ru/2009/06/fibonacci-sequence.html

5.http://esopedia.ru/ChislaFibonachchi

6.http://reflection.org.ua/vselennaya/zagadka-chisel-fibonachi.html

7.http://dip-ref.ru/diplom/778.htm

8.http://evolutionoftruth.com/abennett 

9.http://evolutionoftruth.com/goldensection/solarsys.htm

10.http://www.goldenmuseum.com/ 

11.http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott 

Приложение 1

Леонардо Пизанский (Фибоначчи)

Приложение 2

Последовательность  размножения кроликов

Приложение 3

Золотой прямоугольник

Приложение 4

Семечки подсолнечника

Подсолнечник

 21 и 34 спирали                      

Приложение 5

Чешуйки сосновых шишек и ячеек ананаса

 Приложение 6  

Раковины многих моллюсков

Приложение 7

Спирали в животном мире

Приложение 8

Ураган, облака циклона

Приложение 9

Галактики

Приложение 10

Золотая пропорция в строении легких человека

Приложение 11

Молекула ДНК

Приложение 12

Спирали человека

Приложение 13

Пропорции различных частей тела