Урок алгебры и начала анлиза 11 класс
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА 11 КЛАСС

МУХАМЕТШИНА Л.Р.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФОРМУЛЫ ПЕРЕХОДА
К НОВОМУ ОСНОВАНИЮ ЛОГАРИФМА

Цели: продолжить формировать умение осуществлять переход от одного логарифма к другому с новым основанием; формировать умения решать логарифмические уравнения с помощью формулы перехода к новому основанию логарифма.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Вычислите.

а) log 2 5 · log 5 2;                б) ;                        в) log 25 125;

г) log 25 9 · log 3 5;                д) log 3 2 + log 3 ;        е) .

2. Решите уравнение.

а) log 2 x = log 2 2x;                б) log 3 2x = 4;                в) lg x2 = 0;

г) lg x + lg 15 = 2;                д)  = 16;                е) log 3 3x = .

III. Объяснение нового материала.

Рассматриваем пример № 2 со с. 273 учебника. Учащиеся помнят, что любое логарифмическое уравнение сводится к решению уравнения вида log a f (x) = log a g (x). Иными словами, все логарифмы в уравнении должны быть с одинаковыми основаниями. Если это не так, то мы переходим во всех логарифмах к одному основанию, используя формулу перехода и следствия.

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 46.7, № 46.8 (а).

Решение:

№ 46.7.

а) log 4 x + log 16 x + log 2 x = 7;

log 2 x + log 2 x + log 2 x = 7;

log 2 x = 7;

log 2 x = 4;

х = 16.

б) log 3 x + = 6;

log 3 x + 2 log 3 x – log 3 x = 6;

2 log 3 x = 6;

log 3 x = 3;

х = 27.

Ответ: а) 16; б) 27.

№ 46.8 (а).

 + 2;     ОДЗ:

 = 5 · log 3 x + 2;

 – 5 · log 3 x – 2 = 0.

Пусть t = log 3 x, тогда 3t2 – 5t – 2 = 0.

D = (–5)2 – 4 · 3 · (–2) = 25 + 24 = 49.

t1 =  = 2;   t2 = .

Проведем обратную подстановку.

log 3 x = 2        или             log 3 x =

х = 9                             x =

Ответ: а) 9; .

2. № 46.11.

Решение:

lg 2 = a, lg 3 = b.

а) log 4 12 = ;

б) log 6 18 = log 6 6 + log 6 3 = 1 +  = 1 +  = 1 +  =
= ;

в) log 0,5 3 = – log 2 3 = ;

г) 24 = – log 3 24 = – (log 3 3 + log 3 8) = – (1 + 3 log 3 2) =
= –1 – 3 ·  = –1 – .

Ответ: а) 1 + ; б) ; в) ; г) .

При решении этого упражнения ученики комбинируют различные формулы, выражающие свойства логарифмов.

3. № 46.13 (а; б), № 46.14*, № 46.15* (а), № 46.16* (а).

Основная трудность при решении данных упражнений это использование всех формул, выражающих свойства логарифма, формулы перехода к новому основанию и перехода к равносильной системе неравенств.

Решение:

№ 46.13

а) log 3 x + 1 = 2 log x 3;     ОДЗ:

log 3 x + 1 = .

Пусть log 3 x = t, t ≠ 0, тогда имеем: t + 1 = ;

t2 + t – 2 = 0;   t1 = 1;   t2 = –2.

Проведем обратную подстановку.

log 3 x = 1        или               log 3 x = –2

х = 3                               x =

б) 2 log x 5 – 3 = – log 5 x;     ОДЗ:

 – 3 + log 5 x = 0.

Пусть t = log 5 x, t ≠ 0, тогда  – 3 + t = 0;

t2 – 3t + 2 = 0;   t1 = 1;   t2 = 2.

Проведем обратную подстановку.

log 5 x = 1        или               log 5 x = 2

х = 5                               х = 25

Ответ: а) ; 3; б) 5; 25.

№ 46.14.

а) log 4 (x + 12) · log x 2 = 1;     ОДЗ:

 = 1;

log 2 (x + 12) = log 2 x;

log 2 (x + 12) = 2 log 2 x;

log 2 (x + 12) = log 2 x2;

x + 12 = x2;

x2 – x – 12 = 0;

х1 = –3;     х2 = 4.

Корень х1 = –3 – не удовлетворяет ОДЗ, значит х2 = 2 – решение уравнения.

б) 1 + log x 5 · log 7 x = log 5 35 · log x 5;     ОДЗ:

1 + log x 5 · log 7 x = (log 5 5 + log 5 7) · log x 5;

1 + log x 5 · log 7 x = log x 5 + log 5 7 · log x 5;

1 = log x 5 (1 + log 5 7 – log 7 x);

log 5 x = 1 + log 5 7 – ;

log 5 x ·  = 1 – log 5 7;

log 5 x = log 5 7;

х = 7.

Ответ: а) 4; б) 7.

№ 46.15 (а)

log 2x + 1 (5 + 8x – 4x2) + log 5 – 2x (1 + 4x + 4x2) = 4.

Разложим на множители выражения, стоящие под знаками логарифмов.

4x2 – 8x – 5 = 0.

D1 = 16 + 20 = 36;

x1 = ;     x2 = .

Значит, 5 + 8x – 4x2 = –4 = (5 – 2x)(2x + 1);

1 + 4x + 4x2 = (1 + 2x)2 = (2x + 1)2.

Имеем: log 2x + 1 ((2x + 1)(5 – 2x) + log 5 – 2x (2x + 1)2 = 4;

log 2x + 1 ((2x + 1) + log 2x + 1 (5 – 2x) + 2 log 5 – 2x (2x + 1) = 4;

1 + log 2x + 1 (5 – 2x) +  – 4 = 0.

Пусть t = log 2x + 1 (5 – 2x), t ≠ 0, тогда 1 + t +  – 4 = 0;

t2 – 3t + 2 = 0;   t1 = 1;   t2 = 2.

Проведем обратную подстановку.

log 2x + 1 (5 – 2x) = 1                или                log 2x + 1 (5 – 2x) = 2

2x + 1 = 5 – 2x;                                        (2x + 1)2 = 5 – 2x;

4x = 4;                                                4x2 + 4x + 1 – 5 + 2x = 0;

х = 1,                                                4x2 + 6x – 4 = 0;

                                                        2x2 + 3x – 2 = 0;

                                                        D = 9 – 4 · 2 · (–2) = 25;

                                                        x1 = ;

                                                        x2 =  = –2.

Проверим полученные решения на принадлежность ОДЗ:

х2 = –2 – не удовлетворяет ОДЗ, значит х = 1 и х =  – корни уравнения.

Ответ: а) ; 1.

№ 46.16 (а).

log 9 x2 + (–x) < 2;     ОДЗ: x < 0;

log 3 | x | + (–x) – 2 < 0.

Так как x < 0, то | x | = –x, значит, имеем:

(–x) + log 3 (–x) – 2 < 0.

Пусть t = log 3 (–x), тогда t2 + t – 2 < 0;

log 3  < log 3 (–x) < log 3 3;

 < (–x) < 3;

–3 < x < –.

Ответ: а) –3 < x < –.

При решении этого неравенства учащиеся сталкиваются с двойной трудностью: сперва необходимо «навесить» модуль на х в первом логарифме (по формуле log a x2n = 2n log a | x | (n ∈ Z)), а затем «раскрыть» его с учетом ОДЗ (| x | = –x, если x < 0).

V. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Найдите значение выражения   –  – log 2 14.

2. Известно, что log 2 5 = a. Найдите log 25 0,5.

3. Решите уравнение log 5 x – 3 log x 5 = 2.

Вариант 2

1. Найдите значение выражения .

2. Известно, что log 3 2 = a. Найдите log 0,5 81.

3. Решите уравнение x + 2 = 3 log x .

Вариант 3

1. Найдите значение выражения  3.

2. Известно, что lg 3 = a, lg 5 = b. Найдите log 25 375.

3. Решите уравнение log 4 (3x + 7) + log (3x + 7) 4 = 2,5.

Вариант 4

1. Найдите значение выражения 200.

2. Известно, что lg 3 = a, lg 4 = b. Найдите log 9 192.

3. Решите уравнение log 8 (27x – 1) + log (27x – 1) 8 = .

VI. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

– Назовите формулу перехода к новому основанию логарифма.

– Какие следствия из этой формулы существуют?

– Как используется формула перехода к новому основанию логарифма и её следствия при решении уравнений и неравенств?

Домашнее задание: № 46.8 (б), № 46.12, № 46.13 (в; г), № 46.15* (б), № 46.16* (б).