Комбинаторные задачи
план-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему

 УРОК ПО ТЕМЕ: «КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА РАЗМЕЩЕНИЙ ИЗ п ЭЛЕМЕНТОВ ПО k (k ≤ п)»

Цель: продолжить формирование умений применять формулу нахождения числа размещений из п элементов по k при решении задач.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Вычислить:

а) ;           б) ;           в) .

2. Делится ли 50!:

а) на 75;            б) 77;            в) 159.

3. Имеются три книги трех различных авторов: Толстого Л. Н. (Т); Пушкина А. С. (П); Достоевского Ф. М. (Д). Сколькими способами из этих книг можно расположить на полке:

а) одну книгу; б) две книги; в) три книги?

III. Формирование умений и навыков.

На этом уроке следует решать упражнения не только на прямое применение формулы нахождения числа размещений, но и задачи повышенной сложности, а также задачи, имеющие несколько способов решения.

№ 761.

Р е ш е н и е

Выбираем 5 букв для обозначения точек из 26 букв в алфавите; порядок выбора имеет значение (какую точку какой буквой обозначим):

.

О т в е т: 7 893 600 способов.

№ 763.

Р е ш е н и е

Выбираем  из  10 цифр семь, причем первый выбор делается из 9 цифр (без нуля). Используя метод исключения лишних вариантов, получаем:

 1·  2 · 3 · 4 · 5 · 7 · 8 · 9 · 9 = 544320.

О т в е т: 544320.

№ 764.

Р е ш е н и е

Выбираем 3 цифры из 5 данных, причем:

а) последней  цифрой  должна  быть  2  или  4;  количество  вариантов  (фиксирована 2) +  (фиксирована 4) = 2 ·  = 2 · 3 · 4 = = 24.

б) последней  цифрой  должна  быть  5;  количество  вариантов  равно  (фиксирована 5) =  = 3 · 4 = 12.

О т в е т: а) 24 числа; б) 12 чисел.

Прежде чем приступить к самостоятельной работе, можно решить два задания повышенной сложности с факториалами.

№ 837.

Р е ш е н и е

Число оканчивается одним нулем, если среди множителей, на которые оно разлагается, есть одно число 10; оканчивается двумя нулями, если есть два множителя 10; и тремя нулями – если есть три множителя 10.

Поскольку п! есть произведение п последовательных натуральных чисел, то в нем каждый второй множитель четный, то есть содержит в разложении число 2, а каждый пятый множитель кратен 5. Поэтому каждый пятый множитель в п! добавляет в разложение этого числа одно число 10.

Таким образом,

а) 5! содержит двойки и одну 5, что дает один множитель 10, то есть 5! заканчивается одним нулем;

б) 10! содержит двойки и две 5, что дает два множителя 10, то есть 10! оканчивается двумя нулями;

в) 15! содержит двойки и три 5, что дает три множителя 10, то есть 15! оканчивается тремя нулями.

О т в е т: а) 5!; б) 10!; в) 15!

№ 840.

Р е ш е н и е

а)  = 42;   = 42;

п · (п + 1) = 42; п = 6.

З а м е ч а н и е: квадратное уравнение можно не решать, так как второй корень не будет натуральным числом.

б)

О т в е т: а) п = 6; б) п = 5.

IV. Самостоятельная работа.

В а р и а н т  1

1. Сколькими способами пять школьников, сдающих экзамен, могут занять места в классе, в котором стоят 20 одноместных столов?

2. Решить уравнение:

п! = 7 (п – 1)!.

3. Сколькими нулями оканчивается число 12!?

В а р и а н т  2

1. Сколькими способами семь малышей могут занять места в комнате детского сада, в которой стоит 18 детских стульчиков?

2. Решить уравнение:

п! = 12 (п – 1)!.

3. Сколькими нулями оканчивается число 16!?

Р е ш е н и е

В а р и а н т  1

1. Выбираем пять столов для школьников из 20 имеющихся (порядок выбора учитывается):

 = 16 · 17 · 18 · 19 · 20 = 1 860 480.

О т в е т: 1 860 480 способов.

2. п! = 7 (п – 1)!;

    п (п – 1)! = 7 (п – 1)!;

    п = 7.

О т в е т: п = 7.

3. В числе 12! содержится две пятерки и двойки, что дает два множителя 10. Значит, 12! заканчивается двумя нулями.

О т в е т: двумя нулями.

В а р и а н т  2

1. Выбираем семь стульчиков из 18 имеющихся (порядок выбора имеет значение):

 = 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 = 160 392 960.

О т в е т: 160 392 960 способов.

2. п! = 12 (п – 1)!;

    п (п – 1)! = 12 (п – 1)!;

    п = 12.

О т в е т: п = 12.

3. В числе 16! содержится три пятерки и двойки, что дает три множителя 10. Значит, 16! заканчивается тремя нулями.

О т в е т: тремя нулями.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– Что называется размещением из п элементов по k?

– Запишите формулу нахождения  через факториалы.

– Запишите  по комбинаторному правилу умножения.

Домашнее задание: № 835, № 836.

З а д а ч а. Из трехзначных чисел, записанных с помощью цифр 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 (без повторения цифр), сколько таких, в которых:

а) не встречаются цифры 6 и 7;

б) цифра 8 является последней?