Дидактические материалы для занятий математического кружка "Математика +" 7 класс. Занятие 3. Задачи на четность
план-конспект занятия по математике (7 класс) по теме

Задачи на четность

Вы, конечно, знаете, что числа бывают четные и нечетные.

Четные числа - это те, которые делятся на 2 без остатка (например, 2, 4, 6 и т.п.). Каждое такое число можно записать в виде 2K, подобрав подходящее целое K.

Нечетные числа - это те, которые при делении на 2 дают в остатке 1 (например, 1, 3, 5 и т.п.). Каждое такое число можно записать в виде 2K + 1, подобрав подходящее целое K.

Говоря о чётности, надо помнить, что только целые числа могут быть чётными и нечётными. Поэтому число вида 2n, где n- любое целое число, всегда чётно, а число вида 2n+1 всегда нечётно. Число 0 является чётным числом.

Многие задачи решаются путем использования свойств четности чисел. Рассмотрим  некоторые свойства чётности:

• Произведение любого целого числа на чётное число чётно.
• Произведение двух нечётных чисел нечётно.
• Сумма двух чисел разной чётности нечётна.
• Сумма двух чисел одной чётности чётна.
• Если сумма двух чисел нечётна, то слагаемые имеют разную чётность.
• Если сумма двух чисел чётна, то слагаемые имеют одинаковую чётность.
• Чётность суммы двух чисел равна чётности их разности.
• Чётность суммы совпадает с чётностью количества нечётных слагаемых.

Рассмотрим несколько задач, решение которых построено на четности чисел:

 Задача 1: 

Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могли ли получить число 11011811061018224521543?

 Решение: 

Если произведение (x – y) ∙ x ∙ y нечётно, то нечётны все множители, то есть (x – y), x и y. А это невозможно, так как если числа x и y нечётны, то их разность x – y чётна.

Ответ: нет, не могут.

 Задача 2: 

Чётова пишет на доску одно целое число, а Нечётов — другое. Если произведение чётно, победителем объявляют Чётову, если нечётно, то Нечётова. Может ли один из игроков играть так, чтобы непременно выиграть?

 Решение: 

Чётова может написать число 0. (Или любое другое чётное число.) Произведение любого чётного числа и любого целого числа чётно, поэтому Чётова всегда будет выигрывать.

Задача 3.

Сумма трёх чисел нечётна. Сколько слагаемых нечётно?

Решение:

Одно или три.

Нетрудно привести примеры, что оба случая возможны. Остальные два случая (нечётных слагаемых два или нет совсем) легко приводятся к противоречию.
ВЫВОД:
Чётность суммы совпадает с чётностью количества нечётных слагаемых.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.

Не вычисляя суммы 1+2+3+……+1999, определите её чётность.

Решение:

В этой сумме 1000 нечётных слагаемых. Следовательно, она чётна.

Задача 2.

Ученица 5 класса Катя и несколько ее одноклассников встали в круг, взявшись за руки. Оказалось, что каждый держит за руки либо двух мальчиков, либо двух девочек. Если в кругу стоит пять мальчиков, то сколько там стоит девочек?

Решение. 

Одна девочка в кругу уже есть — это сама Катя. Тогда соседние с ней мальчики должны стоять между двумя девочками и так далее. То есть если с одной стороны от мальчика стоит девочка, то и с другой тоже. Поэтому мальчики и девочки в кругу чередуются. Значит, мальчиков и девочек там равное количество, а именно по 5.

Ответ. 5 девочек.

Задача 3.

Можно ли разменять 25 рублей при помощи десяти купюр достоинством в 1, 3 и 5 рублей?

Ответ: Нет

Задача 4.

Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все ее страницы по порядку числами от 1 до 192. Вася вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 1990?

Решение:

На каждом листе сумма номеров страниц нечетна, а сумма 25 нечетных чисел – нечетна.

Ответ:   не могло

Задача 5.

Сумма 2002 натуральных чисел - число нечетное. Каким числом: четным или нечетным является произведение этих чисел?

Решение:

Так как сумма 2002 чисел - число нечетное, то число нечетных слагаемых - нечетно. Тогда среди 2002 чисел есть хотя бы одно четное число. А значит, произведение 2002 чисел будет четным числом.

Ответ: чётное число.

Задача 6.

На доске написаны натуральные числа от 1 до 2010. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность. Сколько раз нужно выполнить эту операцию, чтобы на доске осталось одно число?

Решение:

 Каждый раз количество чисел уменьшается на 1 (вместо двух остается одно). Было 2010 чисел, осталось одно, шагов 2009. Так как числа, записанные на доске, натуральные и взяты последовательно, то они отличаются друг от друга на единицу, и, учитывая, что количество чисел четно, можно сделать вывод - в результате останется нечетное  число.

Ответ: 2009 раз нужно выполнить  операцию, чтобы на доске осталось одно число.  

Задача 7.

Из поврежденной книги выпала часть сшитых вместе листов. Номер первой выпавшей страницы – 143. Номер последней записан теми же цифрами, но в ином порядке. Сколько страниц выпало из книги?

Решение:

Номер последней страницы должен быть четным числом, т.к. номер первой – число нечетное. Значит, номер последней страницы заканчивается цифрой 4. Осталось расставить цифры 1 и 3. Если на первом месте будет стоять цифра 1, то получим, что номер последней страницы меньше номера первой выпавшей, чего быть не может. Таким образом, получаем, что номер последней страницы 314. Количество выпавших страниц равно 314 – 142 = 172.

Ответ: 172 страницы.

Задача 8.

Если в числовой автомат ввести какое-то число, то он может за один шаг прибавить к нему 2 или 3 или умножить его на 2 или на 3. В автомат ввели число 1 и заставили его перебрать  все возможные комбинации из трех ходов. Сколько раз при этом в результате получились четные числа?

Решение:

(из нечетного получается на следующем шаге 2 четных, 2 нечетных, а из четного – 3 четных и 1 нечетное)

Ответ: в результате  42 раза получились четные числа.

Задача 9.

В одном месяце три среды выпали на четные числа. Какого числа в этом месяце было второе воскресенье?

Решение. 

Если среда пришлась на четное число, то следующая придется на нечетное, поскольку неделя состоит из семи дней. Таким образом, для того, чтобы три среды выпали на четные числа, всего их должно быть в этом месяце пять. При этом первая среда должна приходиться на четное число. Если первая среда придется на четвертое число, то пятая должна быть тридцать второго числа, а в месяце не более тридцати одного дня. Тем более первая среда не может быть позже четвертого. Следовательно, первой средой будет второе число месяца. Тогда месяц начнется со вторника, первое воскресенье будет шестого, а второе воскресенье – тринадцатого.

Ответ: тринадцатого.

Задача 10.

На доске записано несколько последовательных натуральных чисел. Ровно 52% из них – чётные. Сколько чётных чисел записано на доске?

Решение

  Так как записанные натуральные числа являются последовательными, то чётные и нечётные числа чередуются. По условию чётных чисел больше, значит, записанная последовательность начинается и заканчивается чётными числами.
  Чётных чисел больше на одно, значит, одно число составляет  (52 – 48)%  от их общего количества. Следовательно, искомое количество чётных чисел равно  52 : (52 – 48) = 13.

Ответ   13.

Задача 11.

Петя вынимает из мешка чёрные и красные карточки и складывает их в две стопки. Класть карточку на другую карточку того же цвета запрещено. Десятая и одиннадцатая карточки, выложенные Петей, - красные, а двадцать пятая - чёрная. Какого цвета двадцать шестая выложенная карточка?

Подсказка

Покажите, что после того, как была положена карта с нечётным номером, сверху оказались две карточки одного цвета.

Решение

Заметим, что положения, когда сверху лежат две карты одного цвета, и положения, когда сверху лежат две карты разного цвета, чередуются. Поскольку 10-я и 11-я карты - красные, то после того как была положена 11-я карта, сверху лежали две карты одного цвета (красные). Значит, и после того, как была положена 25-я карта (как и любая карта с нечётным номером), сверху оказались две карты одного цвета. Так как 25-я карта чёрная, то две верхние карты - чёрные. Поэтому, следующая, 26-я карта может быть только красной (на чёрную карту можно положить только красную).

Ответ  красная.

Задача 12.

На дереве растет 2001 апельсинов и 2002 банана. Разрешено срывать одновременно два фрукта. Если срывают два одинаковых фрукта, то вместо них мгновенно вырастает один банан. Если же срывают два разных фрукта, то вместо них мгновенно вырастает один апельсин. Через некоторое время на дереве остался один фрукт. Что это за фрукт - банан или апельсин?

Подсказка

Проследите за четностью числа бананов и апельсинов.

Решение

Заметим, что в результате срывания двух бананов или одного банана и одного апельсина количество апельсинов не меняется, а в результате срывания двух апельсинов количество апельсинов уменьшается на 2. Таким образом, четность числа апельсинов никогда не меняется. Вначале было нечетное число апельсинов. Значит, последним фруктом на дереве мог оказаться только апельсин.

Ответ   апельсин