Выполнение упражнений на тему: решение задач с помощью квадратных уравнений.
план-конспект урока по алгебре (8 класс) на тему

Этапы урока

Деятельность учителя

Деятельность ученика

1. Организационный момент

- Здравствуйте ребята, присаживайтесь.

Учащиеся рассаживаются, слушают учителя.

2. Актуализация опорных знаний и способов действий

- Итак, начнем. Откройте тетради, запишите число, классная работа. На сегодняшнем уроке мы будем закреплять материал, пройденный на предыдущих уроках. Поэтому запишите тему урока: Решение задач с помощью квадратных уравнений.

- Решите задачи по вариантам.

Учитель раздает карточки с

заданиями на 2 варианта.

-На решение задач отводится 5 минут. По окончании решения сверимся с полученными ответами.

Карточка №1 (Вариант 1)

Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 1 меньше другого, равно 72. Найдите эти числа.

Карточка № 2 (Вариант 2)

Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 2 больше другого, равно 15. Найдите эти числа.

-Время вышло. 1 вариант, какое уравнение и какие корни у вас получились?

-1 вариант, все согласны с полученными ответами?

-2 вариант, какое уравнение и какие корни вы получили?

-У всех так получилось?

-Я надеюсь, что все справились с решением данных задач.

Записывают в тетради число, классная работа, тему урока.

Слушают учителя, решают в тетради:

Вариант 1. 

Решение: Пусть первое натуральное число равно х, тогда второе число х–1. По условию задачи произведение чисел равно 72. Получаем уравнение:

х×(х-1) = 72,

х2 - х – 72 = 0,

D=1+288=289,

==9, ==-8.

Так как х натуральное число, то -8 –посторонний корень. Значит одно из чисел 9, а другое 9-1=8

Ответ: 9;  8.

Вариант 2.

Решение: Пусть х –первое натуральное число, тогда х+2 – второе число. По условию задачи произведение чисел равно 15. Получаем уравнение:

 х×(х+2)=15,

 х2 + 2х – 15=0,

D=4+60=64,

==3, =-5.

Так как х – натуральное число, то -5 – посторонний корень, значит первое число равно 3, а второе 3+2=5.

Ответ: 3;  5.

Ученики поднимают руку, отвечают.

- Получилось уравнение: х2 - х – 72 = 0,

Корни равны:  9 и 8.

Ученики отвечают:

-Да.

-Получилось уравнение: х2 + 2х – 15=0, корни 3 и 5.

отвечают:

-Да.

3. Закрепление изученного материала

-На прошлом уроке мы узнали, что многие задачи алгебры приводят к необходимости решения квадратного уравнения. В этом вы убедились еще раз, решая задания по вариантам.

-Давайте вспомним алгоритм решения задачи с помощью квадратного уравнения.

- А теперь давайте потренируемся в составлении уравнений по условию задачи, а также закрепим навык решения квадратных уравнений.

Учитель раздает карточки с задачами.

Карточка:

Задача №1. В прямоугольном треугольнике один катет больше другого на 3 см, а гипотенуза равна 15 см. Найти длину меньшего катета треугольника.

Задача №2. Турист должен был пройти 6 км за определенный срок. Однако он задержался с выходом на 30 мин, поэтому, чтобы прийти вовремя, он шел со скоростью, превышающей намеченную на 1 км/ч. С какой скоростью шел пешеход?

Задача №3. Заказ на 240 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

-Прочитайте задачу №1.

-Для того, чтобы правильно составить уравнение, нужно вспомнить теорему Пифагора. Напомните мне ее.

-Выполните решение у доски. Есть желающие?

Учитель вызывает ученика к доске. Если нет желающих, сам вызывает ученика.

Учитель задает вопросы классу:

-Все согласны с решением?

-Присаживайся. Решаем задачу под № 2.

Учитель вызывает ученика к доске.

Учитель обращается к ученику, стоящему у доски.

-Прочитай задачу вслух.

-С чего начнем решение?

-Проговаривай вслух каждый этап, составляй уравнение, решай его. Остальные решают в своей тетради, сверяясь с доской.

Учитель задает вопросы классу:

-Все согласны с решением?

-Присаживайся. Решаем задачу под № 3.

Учитель вызывает ученика к доске.

Учитель обращается к ученику, стоящему у доски.

-Прочитай задачу вслух.

-Проговаривая вслух каждый этап, составляй уравнение, решай его. Остальные решают в своей тетради, сверяясь с доской.

Учитель задает вопросы классу:

-Все согласны с решением?

-Присаживайся.

Слушают учителя, отвечают на вопросы.

- Этапы решения задачи:

1. Выбрать неизвестное.

2. Составить уравнение.

3. Решить его.

4. Сделать вывод о корнях.

5. Выполнить дополнительные действия.

1 ученик читает задачу.

В прямоугольном треугольнике один катет больше другого на 3 см, а гипотенуза равна 15 см. Найти длину меньшего катета треугольника.

Ученики поднимаю руку, отвечают.

- В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Ученики поднимают руку.1 учащийся решает у доски. Все остальные решают в тетради.

Решение:

-Пусть х - наименьший катет, тогда (х+3) – наибольший катет. Гипотенуза равна 15. Составим уравнение, опираясь на теорему Пифагора:

+ =

Раскроем скобки, возведем в квадрат.

++6х+9=225,

Перенесем все влево, приведем подобные:

+6х-216=0,

разделим на 2

+3х-108=0,

D=9+432=441,

==-12, ==9.

Корень уравнения -12 условию задачи не удовлетворяет, значит, меньший катет равен 9 см.

Класс отвечает:

-Да.

Ученики поднимают руку.1 выходит к доске.

Читает задачу:

Турист должен был пройти 6 км за определенный срок. Однако он задержался с выходом на 30 мин, поэтому, чтобы прийти вовремя, он шел со скоростью, превышающей намеченную на 1 км/ч. С какой скоростью шел пешеход?

-Введем неизвестную.

- Пусть х ч – намеченный срок.

Чтобы найти скорость, надо путь поделить на время, следовательно, 6/х км/ч – намеченная скорость. (х – 0,5) ч – время, затраченное фактически, 6/(х – 0,5) км/ч – фактическая скорость. По условию задачи известно, что пешеход увеличил скорость на 1 км/ч.

Получаем уравнение:

ОДЗ: х≠0,5 и х≠0

Умножаем на общий знаменатель:

6х – 6х + 3 = – 0,5х

2х2 – х – 6 = 0,

D=1+48=49,

==-1,5  

==2.

Так как время – положительное число, то – 1,5 не подходит. Намеченное время – 2 часа, а скорость, с которой шел пешеход  – 6 : 2 + 1 = 4 (км/ч).

Ответ: 4 км/ч.

Класс отвечает:

-Да.

Ученики поднимают руку.1 выходит к доске.

Читает задачу:

Заказ на 240 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

- Пусть х -производительность второго рабочего. Тогда (х+1) – производительность 1 рабочего. Работа и первого и второго рабочего равна 240. Время первого рабочего: , время второго рабочего: .

Первый рабочий выполнил заказ на час быстрее. Следовательно, времени он затрачивает на 1 час меньше, чем второй: .

Составим уравнение:

ОДЗ:

Умножаем уравнение на общий знаменатель:

Раскроем скобки, перенесем все влево, приведем подобные:

D==961

=15,

=-16

За х мы приняли производительность. Так как она не может быть отрицательной, значит х=-16-посторонний корень.

Ответ:х=15.

Класс отвечает:

-Да.

4. Постановка домашнего задания

-Наш урок подошел к концу. Запишите домашнее задание.

Учитель записывает домашнее задание на доске.

П 31. Стр 541.

№541: Скорость вертолета Ми-6 относительно воздуха равна 300 км/ч. Расстояние в 224 км вертолет пролетел дважды: один раз – по ветру, другой раз – против ветра. Определить скорость ветра, если на полет против ветра вертолет затратил на 6 минут больше, чем на полет по ветру.(При вычислении использовать микрокалькулятор).

№543.

№ 543: На посадке деревьев работали две бригады. Первая бригада ежедневно высаживала на 40 деревьев больше, чем вторая, и посадила 270 деревьев. Вторая бригада работала на 2 дня больше первой и посадила 250 деревьев. Сколько дней работала на посадке деревьев каждая бригада?

Записывают домашнее задание.

5. Подведение итогов урока

- Подводя итоги урока, ответьте на следующие вопросы.

-Все ли вам было понятно?

-Повторите алгоритм решения задачи с помощью квадратного уравнения.

- На этом наш урок закончен. Ученики, которые выходили к доске, подойдите ко мне с дневниками. До свидания!

Учащиеся отвечают на вопросы:

- Да.

-1. Выбрать неизвестное.

2. Составить уравнение.

3. Решить его.

4. Сделать вывод о корнях.

5. Выполнить дополнительные действия.

Прощаются с учителем. Подходят для выставления оценок.