Электронный учебник "Помощь в подготовке к ГИА"
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9 класс) по теме

Слайд 1

Слайд 2

§1.1 Числовые выражения Запись, состоящая из чисел, соединенных знаками арифметических действий называют числовыми выражениями . Если в числовом выражении выполнить указанные действия, то получится число, которое называют значением выражения . 2

Слайд 3

Используя известный порядок действий, получим: 6 + 12 · 3 = 42 (6 + 12) · 3 = 54 * Напоминаем , что скобки влияют на результат выполнения действия. Пример: Найти значения выражений: 6 + 12 · 3 и (6 + 12) · 3 3

Слайд 4

§1.2 Алгебраические выражения Выражение, которое состоит из букв, обозначающих любое число, чисел и знаков действий и скобок называют алгебраическим выражением. Если вместо букв подставить некоторые числа и выполнить действия, то полученное в результате число называют значением алгебраического выражения. 4

Слайд 5

Пример: Найти значение алгебраического выражения : (3а +7) · b a – b при а=10, b =5 (3 · 10 +7) · 5 10 – 5 37 · 5 = 37 5 5

Слайд 6

§2 Уравнения 6

Слайд 7

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой называется уравнением. Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение -это значит найти все его корни или установить, что их нет. §2.1 Линейные уравнения 7

Слайд 8

Задача. Решить уравнение 2(х+3)-3(х+2)=5-4(х+1) Раскроем скобки и приведем подобные члены. Получим: 2х+6-3х-6=5-4х-4 -х=-4х+1 3х=1 х=1/3 8

Слайд 9

Уравнения вида ax² + bx + c = 0 , где a, b, c – действительные числа, при чем a≠0, называется квадратным уравнением . §2.2 Квадратные уравнения 9

Слайд 10

Корни уравнения находятся по формуле: x = Выражение D= b² - 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Если D < 0, то уравнение не имеет корней , Если D = 0, то уравнение имеет один корень , Если D > 0, то уравнение имеет два корня . -b ± √ b² - 4ac 2a 10

Слайд 11

Неполные квадратные уравнения с=0 ах ² + bx=0 Пример: 2х ² - х =0 х(2х-1)=0 х=0 или 2х-1=0 х=1/2 b=0 ах ² +с =0 Пример: 1. х ² -9=0 х ² =9 х= ± 3 2. х ² +9=0 х ² =-9 не имеет корней 11

Слайд 12

Биквадратным называется уравнение вида ax + bx² + c = 0, где a≠0. Такое уравнение решается методом введения новой переменной: положив x²=y, придем к квадратному уравнению ay² + by + c = 0. §2.3 Биквадратные уравнения 4 12

Слайд 13

x²=y y² + 4y – 21 = 0 y 1 =-7 y 2 =3 x²=-7 ( нет корней) x²=3 x 1 =√3 x 2 =-√3 – являются корнями данного биквадратного уравнения. Пример: Решить уравнение x + 4x² - 21 =0 . 4 13

Слайд 14

Рассмотрим пример алгебраического уравнения , которое можно решить с помощью деления многочленов . §2.4 Алгебраические уравнения 14

Слайд 15

Решим уравнение x³-7x+6=0 Можно догадаться, что x 1 =1 является корнем этого уравнения, так как 1-7+6=0. Покажем, как можно найти остальные корни. Левую часть обозначим P 3 (x) и запишем формулу деления многочлена на ( x-1) : P 3 (x) = M 2 (x)(x-1)+R 0 M 2 - многочлен второй степени R 0 - число 15

Слайд 16

Для нахождения M 2 (x) разделим P 3 (x) на ( x-1 ): x³-7x+6 x-1 x³-x² x²+x-6 x²-7x+6 x²-x -6x+6 -6x+6 0 16

Слайд 17

Следовательно, левую часть уравнения можно разложить на множители: ( x²+x-6 )( x-1 ) =0 Решая уравнение x²+x-6 =0, находим его корни: x 2 =2, x 3 =-1 Ответ: x 1 =1, x 2 =2, x 3 =-3 17

Слайд 18

Теорема 1 . Если уравнение a 0 xⁿ+a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n =0 c целыми коэффициентами a 0 , a 1 , … a n-1 , где a n ≠0 , имеет целый корень, то этот корень является делителем числа a n . Теорема 2 . (основная теорема высшей алгебры является следующая теорема) На множество комплексных чисел любое алгебраическое уравнение имеет хотя бы один корень. 18

Слайд 19

§2.5 Рациональные уравнения Рассмотрим пример, рационального уравнения , члены которого являются рациональными алгебраическими дробями. 19

Слайд 20

1 x³ 2x+3 x+1 x+2 (x+1)(x+2) (x+1)(x+2) x+2+x³(x+1)=2x+3 ; x +x³-x-1=0 (х ² -1 )( х ² +х+1 )=0 x 1 , 2 =±1, а уравнение x²+x+1=0 не имеет действительных корней Проверка: при x=-1 знаменатели дробей равны нулю, поэтому x=-1 посторонний корень. Ответ: x=1 4 20

Слайд 21

§ 3 Системы уравнени й 21

Слайд 22

Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называют такую пару чисел x и y, которые при подстановке в эту систему обращают каждое её уравнение в верное равенство. Решить систему уравнений – это значит найти все её решения или установить, что их нет. §3. 1 Системы линейных уравнений с двумя неизвестными 22

Слайд 23

В общем виде систему двух линейных уравнений в двумя неизвестными записывают так: где a1, b1, c1, a2, b2, c2 – заданные числа, а x и y – неизвестные. a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 23

Слайд 24

Задача. Решить систему уравнений (способ подстановки) х+2у=5, 2х+у=4. 1. Из второго уравнения находим:у=4-2х 2. Подставляем у=4-2х в первое уравнение х+2(4-2х)=5 -3х=-3 х=1 у=4-2 · 1=2 Ответ: (1;2) 24

Слайд 25

Задача. Решить систему уравнений(способ сложения) 7х-2у=27, 5х+2у=33. Сложим эти равенства. 12х=60 х=5 5 · 5+2у=33 2у=8 у=4 Ответ: (5;4) 25

Слайд 26

§3.2 Системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными x²+y²=34 x-y=2 Решим способом подстановки, выразив y через x из второго уравнения системы: y=x-2. Подставляя в первое уравнение получаем x²+(x-2)²=34, откуда x1=5, x2=-3. По формуле y=x-2 находим y1=3, y2=-5. Ответ : (5;3) (-3;-5) 26

Слайд 27

Решим систему уравнений: 3x - 4 y = 2 9 x² - 16 y² = 2 0 (3 x-y ) (3x+4y)=20 Подставим в это уравнение значение 3x -4 y= 2 Полученная система свелась к системе которую можно решить способом сложения: 6 x+12 , x=2 ; 8y=8, y=1 Ответ: (2;1) 27

Слайд 28

§4 Неравенства 28

Слайд 29

§4.1 Линейные неравенства Неравенство вида ах + в ≥ 0, где а, в - любые числа,а≠0 называется линейным . Например: а) 0,5х ≤ 0 б) -3х > 0 в) 2,84х - 5,68 > 0 29

Слайд 30

1 Свойство неравенств: Из любой части неравенства можно переносить в другую любое слагаемое с противоположным знаком, не меняя при этом знак неравенства. 3х + 6 < -х + 13 3х + х < -6 + 13 30

Слайд 31

2 Свойство неравенств: Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число не меняя при этом знак неравенства. а) 3х > 9 в) ¼ х ≥ 2 3х/3 > 9/3 4 ·¼ х ≥ 4 · 2 х > 3 х ≥ 8 б) 0,5х < 0,25 2 · 0,5х < 2 · 0,25 х < 0,5 31

Слайд 32

Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный. а) -4х ≤ 2 в) - ½ х > ¼ -4х/(-4) ≥ 2/(-4) -2 · (- ½ х) < -2 ·¼ х ≥ -0,5 х < ½ б ) -0,3х < -6 -0,3х/(-0,3) > -6/(-0,3) х > 20 3 Свойство неравенств: 32

Слайд 33

§4.2 Квадратные неравенства Неравенство вида: ах ² + b х + с < 0 где а, b , с - любые числа,а≠0, называется квадратным . Например: а) 2х ² ≥ 0 б) -4х ² + 8 < 0 в) 2х - х ² ≤ 0 г) 14х + 5 > 3х ² 33

Слайд 34

Чтобы решить квадратное неравенство методом парабол, надо: 1. рассмотреть функцию у = ах ² + b х + с, определить направление ветвей; 2. решить квадратное уравнение ах ² + b х+с=0; 3. схематически построить параболу, учитывая направление ветвей и точки пересечения с осью х; 4. учитывая знак неравенства, выбрать нужные промежутки и записать ответ. 34

Слайд 35

Пример: Решить неравенство: -х ² + 7х – 12 ≥ 0 -х ² + 7х – 12 = 0 D = 49 – 48 = 1 х 1 =(-7+√1)/(-2); х 2 =(-7-√1)/(-2) х 1 =3; х 2 = 4 х ответ: х Є [ 3;4 ] 3 4 35

Слайд 36

Пример: Решить неравенство: х ² - 4 > 0 у = х ² - 4, а=1- ветви направлены вверх; х ² - 4 = 0 х ² = 4 х = ± 2 х -2 2 ответ: х Є (-∞;-2) U (2;+∞) 36

Слайд 37

§5 Системы неравенств 37

Слайд 38

Несколько неравенств образуют систему , если ставится задача найти все общие решения заданных неравенств. §5.1 Системы неравенств с одной переменной. 38

Слайд 39

Пример: Решить систему неравенств: 5 x + 2 > 3x -1 3x + 1 > 7x - 4 первое преобразуем в x > - второе преобразуем в x < таким образом, получаем: x > - x < 32 54 32 54 39

Слайд 40

С помощью координатной прямой находим, что множество решений системы есть интервал: ( - ; ). 32 54 32 54 40

Слайд 41

§6 Функции и графики 41

Слайд 42

§6.1 Область определения функций Если каждому значению x из некоторого множества чисел поставлено в соответствии число у, то говорят, что на этом множестве задана функция y(x) . X- независимая переменная или аргумент Y- зависимая переменная или функция 42

Слайд 43

Областью определения функции называют множество всех значений, которые может принимать ее аргумент. График функции - множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям независимой переменной из области определения этой функции, а ординаты - соответствующим значениям функции. 43

Слайд 44

Пример: построим графики функций 0 1 1 y x y=|x -2 | y=|x| 44

Слайд 45

§6.2 Чётность (нечётность) функций Функция y(x) называется четной , если y(-x)=y(x) для любого x из области определения этой функции. y x 45

Слайд 46

Функция y(x) называется нечетной , если y(-x)= - y(x) для любого x из области определения этой функции. y x 46

Слайд 47

Функция y(x) является возрастающей , если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция y(x) является убывающей на промежутке, если для любых x 1 , x 2 из этого промежутка из неравенства x 2 >x 1 следует, что y(x 2 )

Слайд 48

Поведение степенной функции y=x зависит от знака показателя степени r . Если r > 0 , то степенная функция y=x возрастает на промежутке х≥0. Если r < 0 , то степенная функция y=x убывает на промежутке х > 0. r r r 48

Слайд 49

Пример возрастания и убывания: Функция Возрастает на промежутке [0; +∞ ); Функция Убывает на промежутке (-∞; 0 ]; 49

Слайд 50

§6.4 Линейная функция и её график Определение Линейной функции называется функция, которую можно задать формулой вида у = kx + b , где х - независимая переменная, k и b – некоторые числа. Графиком линейной функции является прямая. 50

Слайд 51

Пример: Построить график функции у = 2х + 3 Х 0 1 У 3 5 у х 51

Слайд 52

Прямая пропорциональность Определение . Прямой пропорциональност ью называется функция, которую можно задать формулой вида у = kx , где х – независимая переменная, k – не равное нулю число. Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. 52

Слайд 53

Пример: Построить график функции у = 0,5х Х 0 2 У 0 1 у х 53

Слайд 54

§6.5 Функция y=k / x и её график Функция y=k/x , где k>0, обладает свойствами: 1 определена при x≠0 ; 2 принимает все действительные значения, кроме нуля; 3 нечетная; 4 принимает положительные значения при x> 0 и отрицательные – при x<0 ; 5 убывает на промежутках x<0 и x>0. 54

Слайд 55

Если k<0, то функция y=k/x обладает свойствами 1-3, а свойства 4-5 формируются так: 4 принимает положительное значения при x<0 и отрицательные – при x>0 ; 5 возрастает на промежутках x<0 и x>0. 55

Слайд 56

график функции y=k / x : у х k >0 k<0 56

Слайд 57

§6.6 Функция y=x² и её график График функции у = х ² называют параболой . 57

Слайд 58

График квадратичной функции 0 У Х 58

Слайд 59

У 0 График квадратичной функции Х 59

Слайд 60

У Х 0 График квадратичной функции 60

Слайд 61

График квадратичной функции Х У 0 61

Слайд 62

§6.7 Функция y=x³ и её график х 0 1 2 -1 -2 у 0 1 8 -1 -8 у х 62

Слайд 63

§7 Прогрессии 63

Слайд 64

§7.1 Числовая последовательность а 1 , а 2 , а 3 …а n … Число а 1 называют первым членом Число а 2 - вторым членом Число а 3 - вторым членом Число а n – называют n- м (энным) членом 64

Слайд 65

Задача: Числовая последовательность задана формулой а = n (n - 2) . Вычислить сотый член этой последовательности. а =100(100 - 2) = 9800 n 100 65

Слайд 66

Иногда последовательность задают формулой, позволяющей вычислить ( n + 1)-й член последовательности через предыдущие n членов. Такой способ называют рекуррентным (от латинского слова recurro- возвращаться) 66

Слайд 67

§7.2 Арифметическая прогрессия Числовая последовательность а 1 , а 2 ,а 3 ,…, а n … называется арифметической прогрессией , если для всех натуральных n выполняется равенство а n +1 = а n + d, d – некоторое число. 67

Слайд 68

Формула n -го члена арифметической прогрессии а n = а 1 + ( n - 1) d d – разность арифметической прогрессии 68

Слайд 69

Задача: Найти сотый член арифметической прогрессии, если первый её член равен -6, d=4 а = а + 99 d a = -6 + 99·4=390 100 1 100 69

Слайд 70

§7.3 Сумма n первых членов арифметической прогрессии Теорема. Сумма n первых членов арифметической прогрессии равна S n = a 1 + a n · n 2 70

Слайд 71

Задача: Найти сумму шестидесяти первых членов арифметической прогрессии 2, 4, 6, 8… а 1 = 2, d = 2, а 60 = 120 S 60 = a 1 + a 60 · 60 2 S 60 = 2 + 120 · 60 2 71

Слайд 72

§7.4 Геометрическая прогрессия Числовая последовательность b 1 , b 2 , b 3 ,…,b n … Называется геометрической прогрессией , если для всех натуральных n выполняется равенство b n+1 = b n q , где b n ≠ 0, q – некоторое число, не равное нулю 72

Слайд 73

Формула n -го члена геометрической прогрессии b n = b 1 q q – знаменатель геометрической прогрессии n -1 73

Слайд 74

Задача: Найти седьмой член геометрической прогрессии, если b 1 = 81, q = ⅓ b 7 = b 1 q b 7 = 81· (⅓) = 1/9 6 6 74

Слайд 75

§7.5 Сумма n первых членов геометрической прогрессии Теорема: Сумма n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем q ≠ 1 равна S n = b 1 (1 – q ) 1-q 75

Слайд 76

Задача: Найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии 6, 2, 2/3… b 1 = 6, q=1/3 S 5 = b 1 (1- q ) 1 – q S 5 = 6(1-1/243) = 242 1-1/3 27 5 76

Слайд 77

§7.6 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей , если модуль её знаменателя меньше единицы. 77

Слайд 78

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна S = b 1 1 - q 78

Слайд 79

Задача Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии ½, -1/6, 1/18… b 1 = ½, b 2 = -1/6, q= -1/3 S = __ ½ ___ =3/8 1-(-1/3) 79

Слайд 80

§ 8 Степень с целым и дробным показателем 80

Слайд 81

§ 8 . 1Свойтсва степени Рассмотрим степень а ⁿ, где n ε Z а ° =1 (5 ° =1) а- ⁿ=1/ а ⁿ (2- ² =1/4; 3- ³ =1/27) Степень с рациональным показателем обладает теми же свойствами, что и степень с натуральным показателем. Если а >0 , n ε Q, m ε Q, то: a · a =aⁿ aⁿ:a =aⁿ (aⁿ) = aⁿ (ab)ⁿ=aⁿbⁿ (a/b)ⁿ=aⁿ/bⁿ n m +m m - m m m 81

Слайд 82

§9 Преобразования арифметических корней 82

Слайд 83

определение Арифметическим корнем натуральной степени n ≥ 2 из неотрицательного числа a называется неотрицательное число , n - я степень которого равна a . Из определения арифметического корня следует, что если a≥0, то (ⁿ √ a) ⁿ= a, ⁿ√aⁿ = a. § 9 . 1 Свойства арифметического корня

Слайд 84

Если a ≥0, b >0 и n , m - натуральные числа , причем n ≥2, m ≥2, то 1 ⁿ√ab=ⁿ√aⁿ√b 3 (ⁿ√a)m= ⁿ √am 2 ⁿ√a = ⁿ√a 5 √ⁿ√a = √a b ⁿ√b В свойстве 1 число b может быть также равным 0, в свойстве 3 число m может быть любым целым, если а >0. m mn