Программа элективного курса
методическая разработка

Рабочая программа элективного курса
«Дифференциальные уравнения и их приложения»

Пояснительная записка

Предлагаемый элективный курс рассчитан на одиннадцатиклассников естественнонаучного, физико-математического профилей и для учащихся с особыми математическими способностями. Он может читаться как в первом полугодии 11 –го класса, так и во втором, с той разницей, что некоторые темы раздела «Повторение» при чтении в первом полугодии могут проходиться параллельно с их изложением в основном курсе анализа или даже с некоторым опережением. Введение элементов теории дифференциальных уравнений в содержание математической подготовки на профильном уровне является важным аспектом модернизации содержания образования, поскольку роль соответствующих знаний в разработке современных научных теорий, производственной, экономической и др. видах деятельности неуклонно повышается.

Программой школьного курса математики не предусмотрены обобщение и систематизация знаний по данной теме. Это и позволит реализовать элективный курс «Дифференциальные уравнения и их приложения «. Учителю курс поможет наиболее качественно подготовить учащихся к математическим олимпиадам, сдаче ЕГЭ и экзаменов при поступлении в вузы.

Программа элективного курса предполагает знакомство с теорией и практикой рассматриваемых вопросов и рассчитана на календарный год. Программа содержит список литературы по предложенным темам.

В процессе изучения данного курса предполагается использование различных методов активизации познавательной деятельности школьников, а также различных форм организации их самостоятельной работы.

Результатом освоения программы курса является представление школьниками творческих индивидуальных и групповых работ на итоговом занятии.

Цель курса «Введение в теорию дифференциальных уравнений» состоит в ознакомлении учащихся с элементами теории и способами решений уравнений нового для них типа – дифференциальных.

Задачами курса являются:

- расширение представлений учащихся о прикладных аспектах математики;

- совершенствование в использовании математического аппарата, в частности, аппарата дифференциально-интегрального исчисления;

- формирование устойчивого интереса к изучению дисциплин естественно- математического цикла, развитие творческих способностей;

- способствование формированию качеств самостоятельности и  самоактуализации.

Курс направлен на приобретение знаний:

- о дифференциальных уравнениях как математических моделях реальных процессов;

- об основных понятиях и фактах теории дифференциальных уравнений;

- о классах уравнений, решаемых аналитически;

- о методах решений уравнений стандартных типов.

Перечень приобретаемых умений:

- моделировать простейшие процессы (движения точки и др.) в виде дифференциальных уравнений;

- решать задачу интегрирования (в случае уравнений первого и высших порядков);

- разделять переменные и сводить уравнения других типов к случаю разделения переменных;

- понижать порядок (в случае соответствующих уравнений второго порядка);

- решать линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Элективный курс рассчитан на 34часа для учащихся 11 класса, проявляющих интерес к изучению математики.

Нормативными документами для составления рабочей программы элективного курса явились:

Федеральный компонент государственного стандарта общего образования, утверждённый приказом Минобразования РФ № 1089 от 09.03.2004;

Федеральный базисный учебный план для среднего (полного) общего образования, утверждённый приказом Минобразования РФ №1312 от 05.03.2004;

Федеральный перечень учебников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования к использованию в образовательном процессе в образовательных учреждениях, реализующих образовательные программы общего образования на 2012/2013 учебный год, утверждённым Приказом МО РФ №2885 от 27.12.2011г.;

-Письмо Минобрнауки России от01.04.2005 №03-417 «о перечне учебного и компьютерного оборудования для оснащения образовательных учреждений»; - Образовательная программа МБОУ Средняя общеобразовательная школа-интернат № 3 г.

Улан-Удэ

Курс позволит школьникам систематизировать, расширить и укрепить знания, связанные с дифференциальными уравнениями, подготовиться для дальнейшего изучения тем, использующих это понятие, научиться решать разнообразные задачи различной сложности, способствует выработке и закреплению навыков самостоятельной работы.

При реализации программы используются элементы технологий:

личностно-ориентированного обучения, направленного на перевод обучения на субъективную основу с установкой на саморазвитие личности;

развивающего обучения, в основе которого лежит способ обучения, направленный на включение внутренних механизмов личностного развития школьников;

объяснительно-иллюстративного обучения, суть которого в информировании, просвещении учащихся и организации их репродуктивной деятельности с целью выработки как общеучебных, так и специальных (предметных) знаний.

формирования учебной деятельности школьников, которая направлена на приобретение знаний с помощью решения учебных задач. В начале урока классу предлагаются учебные задачи, которые решаются по ходу урока, в конце урока, согласно этим задачам, проводится диагностирующая проверка результатов усвоения с помощью тестов.

дифференцированного обучения, где учащиеся класса делятся на условные группы с учётом типологических особенностей школьников. При формировании групп учитываются личностное отношение школьников к учёбе, степень обученности, обучаемости, интерес к изучению предмета, к личности учителя;

Также при реализации программы используются и традиционные технологии, такие как технология формирования приёмов учебной работы, изложенная в виде правил, алгоритмов, образцов, планов описаний и характеристики объектов.

При реализации программы используются и традиционные формы организации обучения, такие как комбинированный урок, урок-беседа, повторительно-обобщающий урок, урок-лекция, урок-семинар, урок-практикум, урок развития речи.

При реализации программы используются практически все методы организации учебно-познавательной деятельности, классифицирующиеся:

- по характеру познавательной деятельности школьников (объяснительно- иллюстративный, репродуктивный, метод проблемного изложения, частично-поисковый);                                      -          -   по источникам знаний (словесные, наглядные, практические);

-   по логике раскрытия учебного материала (индуктивные и дедуктивные)

-   по степени самостоятельности обучающихся;

-обобщающая беседа по пройденному материалу, практические работы, тестирование, фронтальный опрос, индивидуальная работа (карточки, устный опрос), дискуссии, составление презентаций, публикаций.

В процессе реализации программы формируются также ключевые компетенции:

а) информационные компетенции,

б)познавательные компетенции,

в)коммуникативные компетенции,

 г) рефлексивные компетенции.

Требования к уровню усвоения учебного материала

В результате изучения программы элективного курса "Дифференциальные уравнения и их приложения " учащиеся получают возможность

После изучения дисциплины «Дифференциальные уравнения и их приложения» учащиеся должны знать:

- основные понятия и определения;

- основные теоремы существования и единственности решения;

- теоремы о свойствах решений линейных дифференциальных уравнений и систем;

- теоремы о представлении решений дифференциальных уравнений и систем с постоянными коэффициентами;

- утверждения об устойчивости решений и поведении траекторий вблизи положений равновесия;

-  краевые задачи и свойства их решений;

- уравнения в частных производных первого порядка и способы представления решений. Учащиеся должны уметь:

-  решать основные типы дифференциальных уравнений первого порядка;

-  ставить и решать задачу Коши;

-  решать линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами;

-  решать линейные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами;

-  решать краевые задачи;

-  исследовать устойчивость решений;

-  строить траектории на фазовой плоскости;

- решать уравнения в частных производных первого порядка.

Виды и формы контроля:

самостоятельные работы, тестирование, контрольные работы, зачеты

Содержание тем учебного материала

1. Производная и первообразная. Повторение (8 часов).

1.1 Мгновенная скорость.

1.2 Производная функции в точке, геометрический смысл, касательная к графику функции.

1.3 Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные элементарных функций.

1.4 Экспонента как ненулевая функция, совпадающая со своей производной. Показательная и логарифмическая функции.

1.5 Нахождение перемещения по графику скорости. Первообразная, определённый интеграл и формула Ньютона-Лейбница.

1.6 Простейшие приёмы интегрирования (линейность интеграла и линейные замены).

1.7 Общие правила интегрирования (метод замены переменных и метод интегрирования по частям).

1.8 Интегралы от некоторых элементарных функций.

2. Простейшие дифференциальные уравнения. Уравнение у' = ку (12 часов).

2.1 Закон Мальтуса. Учёт рождаемости и смертности. Биотический потенциал живых организмов.

2.2 Модель неограниченного роста. Примеры реально зафиксированных вспышек роста живых организмов и их влияние на экосистемы.

2.3 Закон радиоактивного распада. Уравнение радиоактивного распада.

2.4 Дифференциальное уравнение и его решения. Задача Коши.

2.5 Радиоуглеродный метод датировки ископаемых остатков живых организмов.

2.6 Изменение атмосферного давления с высотой.

2.7 Задача о трении намотанного каната.

3. Дифференциальные уравнения вида у' = f(y) (6 часов).

3.1 Задача о нагревании или остывании тела во внешней среде с постоянной температурой.

3.2 Задача о скорости химической реакции образования димеров.

3.3 Модель изменения численности с учётом конкуренции за ресурс (модель Ферхюльста). Логистическая кривая.

3.4 Задача о вытекании воды из сосуда под действием тяжести.

4. Некоторые более сложные уравнения и системы уравнений (8 часов).

4.1 Обзор некоторых простейших типов дифференциальных уравнений. Уравнения с разделяющимися переменными.

4.2 Примеры уравнений первого порядка с неразделяющимися переменными и приёмы их решения.

4.3Некоторые уравнения второго порядка. Сведение к системам уравнений первого порядка. Уравнение Ньютона.

4.4 Затухающие колебания.

4.5 Модель роста численности «хищник-жертва». Уравнения Лоттки-Вольтерра.

4.6 Задача о падении тела в воздухе.

4.7 Реактивное движение. Формула Циолковского.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Что называется дифференциальным уравнением?

2. Что такое порядок дифференциального уравнения?

3. Как ставится задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка?

4. Что называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными?

5. В чем состоит схема решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными?

6. Что называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка?

7. В чем состоит схема решения однородного дифференциального уравнения первого порядка?

8. Что называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого

порядка?

9. В чем состоит схема решения линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка?

10.Что называется уравнением Бернулли?

11. В        чем состоит схема решения уравнения Бернулли?

12. Какие        дифференциальные уравнения второго порядка решаются припомощи понижения порядка?

13. В        чем состоит схема решения дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка?

14. Как        ставится задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка?

15.Что называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами?

16.Что называется характеристическим многочленом для дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?

17.В чем состоит схема решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами?

18.Что называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами?

19.В чем состоит схема решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами?

Литература:

Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975.

Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1991.

Бугров Я.С. Никольский С.М. Высшая математика /Под ред. Садовничего В.А.-Дрофа

2005

Зельдович Я. Б. , Яглом И. М. «Высшая математика для начинающих физиков и техников» М., «Наука», 1982.

Ильин В.А. Высшая математика. Учебник. - М.: Проспект,2002.

Дополнительная литература

Зайцев В. Ф. , Полянин А. Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. М.: Физматлит, 2003.

Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М. 1987.

Латипов Х. Р. Качественные исследования характеристик одного класса дифференциальных уравнений в целом. Т.: ФАН, 1993

Матвеев Н. М. «Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений», «Лань», 2003

Петровский И. Г. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1964.

Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001.

Полянин А. Д. , Зайцев В. Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. М.: Физматлит, 2002 .

Полянин А. Д., Зайцев В. Ф. , Журов А. И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М.: Физматлит, 2005.

Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. - ЛКИ, 2008. -

240 с.

Шубин М. А. «Математический анализ для решения физических задач» М., МЦНМО,

2003.

11. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.