Определенный интеграл
план-конспект занятия по алгебре (10, 11 класс)

Практическая работа

Определенный интеграл и его свойства

Цель: научиться вычислять определенные интегралы, используя непосредственное интегрирование, метод подстановки, интегрирование по частям.

1. Определенный интеграл

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a; b]. Разобьем этот отрезок на  n частей точками a< x0< x1< x2 <....< xn=b, выберем на каждом элементарном отрезке  xk – 1 ≤  x ≤ xk произвольную точку ξk и обозначим через Δ xk длину каждого такого отрезка.

Интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a; b] называется сумма вида:

   n

 Σ f(ξk) Δxk = f(ξ1)Δ x1 + f(ξ2)Δ x2 +...+ f(ξn)Δ xn

 k=1

Определение. Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:

Для вычисления определенного интеграла от функции f(x) служит формула Ньютона-Лейбница:

т. е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

2. Основные свойства определенного интеграла

10. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е. если а = const, то

20. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных функций равен алгебраической сумме их интегралов, т. е.

30. Если a < c < b, то

40. Если функция f(x) неотрицательна на отрезке [a; b], где a < b, то

50. Если f(x) ≥ g(x) для всех x ∈ [a; b], где a < b, то

3. Методы вычисления определенного интеграла

Непосредственное интегрирование

Чтобы вычислить определенный интеграл , нужно:

1) найти какую-нибудь первообразную F(x) для функции f(x) (найти неопределенный интеграл от функции f(x), в котором можно принять С = 0);

2) в полученном выражении подставить вместо x сначала верхний предел a, а затем нижний предел b, и из результата первой подстановки вычесть результат второй.

Пример 1. Вычислить

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница получаем:        =         

=19, 5

Пример 2. Вычислить

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница:=

Пример 3. Найти

Решение.  =

Метод замены переменной (метод подстановки)

При вычислении определенного интеграла методом подстановки новая переменная вводится подобно случаю неопределенного интеграла. Однако в отличие от неопределенного интеграл а, где в полученном результате мы снова возвращались к прежнему переменному, здесь этого делать не надо.

Пример. Вычислить

Решение. Введем новую переменную интегрирования с помощью подстановки .  Дифференцируя, имеем:

Находим новые пределы интегрирования. Для этого подставим в соотношение  значения x = 1 и x = 2, соответственно получим:

Следовательно,

=

Интегрирование по частям

Если функции u(x) и v(x) и их производные u′(x) и v′(x) непрерывны в промежутке , то формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид:

Пример. Вычислить

Решение. Положим ,

             Тогда ,

Следовательно,  =

Упражнения

Вычислить определенные интегралы:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.