методическая разработка урока "Сложение вероятностей"
методическая разработка по алгебре (11 класс)

АННОТАЦИЯ

к уроку математики «Сложение  вероятностей»

Урок «Сложение  вероятностей» проводился в11 классе.   Для проведения урока использовался УМК  Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин ;   Урок входит в раздел « Элементы теории вероятности».

Тип урока – урок открытия новых знаний.

Цели урока: создание условий для формирования умения находить вероятность суммы событий;   организовать совместную деятельность, нацеленную на предметный результат.

Планируемые результаты:

предметные: умение  вычислять вероятность суммы событий

личностные: умение работать в группах,

                         слушать учителя, товарища,

                         вести диалог,

                         аргументировать свою точку зрения

 метапредметные:   умение устанавливать причинно – следственные связи,

                       умение строить логическое  рассуждение, умозаключение;

                       умение анализировать информацию;

                       умение планировать и осуществлять деятельность, направленную на

                            развитие учебно – познавательной компетентности;

                    умение  контролировать и оценивать процесс и результаты своей

                           деятельности.

Факторы, обеспечивающие результативность обучения:

     А) подобранные  упражнения  выполняют познавательные и воспитательные функции. Большинство из них по новой теме,  из пройденных тем подобраны такие упражнения, которые подтолкнут учащихся к решению поставленной проблемы. Задания базового уровня позволяют ученикам прочно усвоить алгоритм нахождения вероятности в случае суммы событий, более сложные задачи уже требуют от учащегося логического и творческого приложения мысли.   Задания самостоятельной работы соответствовали уровню первичного закрепления знаний и умений. Вся использованная система упражнений этого урока способствовала глубокому усвоению учащимися всех необходимых  материалов изучаемой темы.

          Б) формы организации познавательной деятельности: использована фронтальная форма организации на этапе актуализации знаний, при планировании деятельности,  при проведении эвристического диалога, при подведении итогов. Такая форма организации позволяет общаться со всеми учащимися класса, позволяет вовлекать их в процесс, пробуждать у них ответные мысли, чувства, переживания. Каждый ученик «потребляет» информацию, и энергию, передаваемую учителем. В процессе поиска истины учащиеся вовлечены в групповую форму работы, где каждый вносит свой посильный вклад для получения результата.  Такая  форма деятельности рекомендована к использованию  для развития у обучающихся таких качеств, как  взаимная ответственность, внимательность, к тому же формирует  чувство коллективизма. Индивидуальная форма работы была использована при проведении самостоятельной работы. Такая форма учит индивидуальному труду, способствует воспитанию самостоятельности и организованности учащихся. Воспитывает в учащихся ответственность за принятое решение

          В) ресурсы урока: на уроке использовался   УМК Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин .      К уроку был подготовлен раздаточный материал, содержащий  таблицу(опорный конспект урока),  текст самостоятельной работы, и табличка для проведения для проведения рефлексивной части урока.  Используемая на уроке презентация  содержала задание для создания мотивационного настроения обучающихся  и задания этапа актуализации знаний, задания для работы в группах, текст самостоятельной работы и  ответы к  ней, вместе с критериями   оценивания.    

 Г) показатели результативности урока: результаты проведенной самостоятельной работы( 70 %  - хорошо и отлично, 30% - удовлетворительно) и результаты оценивания  уровня усвоения нового материала учащимися: 60% поставили себе за урок «4»,   25% - «5»,  15% - «3».

Конкурс

на лучшую методическую разработку

учителей математики общеобразовательных организаций Калужской области

«Современный урок математики»

КОНСПЕКТ УРОКА

«Сложение вероятностей»

Автор:   Рогачева Н.В.

        2020

Ход урока

I. Самоопределение к учебной деятельности

- на прошлых уроках мы изучали события и их вероятности. Говорят, что

 наибольшая вероятность встать не с той ноги у сороконожки.

-прокомментируйте это утверждение: это действительно так, или можно оспорить данное предложение

II. Актуализация знаний и фиксирование индивидуального затруднения в пробном действии 

-начнем с повторения изученного.

• Фронтальный опрос проверки теоретических знаний.

А. КАК НАЗЫВАЕТСЯ СОБЫТИЕ, КОТОРОЕ …….

1. при заданных условиях может произойти или не произойти(случайное)
2. должно непременно произойти(достоверное)   
3. когда оно заведомо не может произойти,(невозможное)
4. Вероятность достоверного события равна (1)
5. А невозможного ( 0)
6. В коробке находятся 2  зеленых, 3 красных, 5 жёлтых шаров. Наугад вынимается один из шаров. Охарактеризуйте событие, как случайное, невозможное или достоверное

• Выбран шар (достоверное)   
• Выбран красный шар; (случайное)
• Выбран  черный шар;(невозможное)
• Выбран красный,  зеленый или жёлтый шар. ( достоверное)

Б  КАК НАЗЫВАЮТСЯ СОБЫТИЯ,  ЕСЛИ…….

1.  Они не могут произойти одновременно в одном испытании. (несовместные)
2. в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании (совместные)
3.   в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны.(противоположные)
4. Назовите событие противоположное данному:

• студент сдаст зачет; (студент не сдаст зачет)
•  попадание   при выстреле; (промах при выстреле)
• выпадение орла   при одном броске (выпадение решки при одном броске)

5. Среди событий, связанных с одним бросанием  игральной кости найти пары совместных и пары несовместных событий.:

1) выпало 2 очка; 2) выпало 5 очков; 3) выпало более 2 очков ; 4) выпало число очков, кратное двум

Ответ. Совместные 3 пары : 1и 4; 2 и 3; 3 и 4 .

Несовместные 3 пары : 1 и 2; 1 и 3; 2 и 4.

6. Что изображено с помощью кругов Эйлера?

   произведение А и В                          сумма А и В                          отрицание А

7.Опишите, в чем состоит сумма следующих несовместных событий:

а). Учитель вызвал к доске ученика (событие А), ученицу (событие В).

б).  «Родила царица в ночь, не то сына (А), не то дочь (В)…».

в).  Случайно выбранная цифра меньше 5 (А), больше 6 (В).

Решение: а). Учитель вызвал к доске ученика или ученицу (А илиВ).

б). Царица родила сына или дочь (А илиВ).

в). Случайно выбранная цифра меньше 5 или больше 6 (А или В, то есть это одна из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

В. Определите вероятность наступления

1. В жеребьевке участвуют 5 немцев, 8 французов и 3 эстонца. Какова вероятность того, что первым (/вторым/седьмым/последним – не важно) будет выступать француз. ( 8/16=1/2=0,5)
2. Когда подбрасываем монету, какова вероятность выпадения решки?(1/2=0,5)
3. А если подбрасываем монету два раза? Какова вероятность того, что оба раза выпадет орел? (1/4=0,25)
4. Бросаем игральную кость. Какова вероятность, что выпадет четное число?      ( 3/6=0,5)
5. В ящике 10 шаров: 3 синих, 6 белых, остальные красные.  Шары различаются только цветом. Наугад (не глядя) достаём один из них. Какова вероятность того, что выбранный таким образом шар окажется  белого  цвета?                 Какова вероятность того, что выбранный таким образом шар окажется цветным(не белым)

III. Выявление места и причины затруднения 

-для решения данной задачи недостаточно знания   классического определения вероятности, необходимо знать гораздо больше.

-Почему мы не можем найти вероятность  вытаскивания цветного шара?  Давайте порассуждаем: цветного  - это как? (синего или красного)

-значит событие А – появление цветного шара это сложное событие, которое можно разбить на две простые  составляющие:( В – появление синего шара, С – появление красного шара)

- события В и С являются какими? ( несовместными)

-  т.е. А = В + С

-и чтобы найти вероятность наступления события А, надо найти…. (вероятность  суммы событий В и С)

-которая будет равна,…. как вы думаете чему?( сложению вероятности В и вероятности С)

- Молодцы!  

-Так какая тема нашего урока?

-Формулируем тему и цели урока.

IV. Построение проекта выхода из затруднения 

-. Какую цель ставим?   (устранение затруднения: мы должны научиться решать задачи,  используя сложение вероятностей)

 - существует теорема сложения вероятностей и следствия из нее.  Эти утверждения затрагивают вероятность наступления несовместных событий, событий, образующих полную группу(в частности, противоположных) и событий, имеющих частичное совпадение.

- я предлагаю вам разделиться на три группы: каждая группа получит  конкретную  задачу, которую необходимо решить и постараться обобщить полученные вычисления, т.е.   получить    формулу для вычисления суммы вероятностей в каждом конкретном случае.

1 группа: Бросаем один раз  игральный кубик. Какова вероятность выпадения на нем двух или пяти очков?

Рекомендуемый план:

1. Обозначьте события А и В
2. Определите,  какими они являются между собой
3. Нарисуйте их графическую интерпретацию
4. Запишите количество всех возможных исходов и благоприятных
5.  Определите  вероятность наступления этих событий

2 группа:  Бросаем  один  раз игральный  кубик. Вероятность выпадения четного количества очков равна 0, 52. Найдите вероятность выпадения на нем нечетного количества очков.

Рекомендуемый план

1. Обозначьте события А и В
2. Определите,  какими они являются между собой
3. Нарисуйте их графическую интерпретацию
4. Запишите количество всех возможных исходов и благоприятных
5.  Определите  вероятность наступления этих событий

3 группа: Бросаем, один раз, два игральных кубика. Какова вероятность выпадения на них двух или пяти очков?

Рекомендуемый план

1. Обозначьте события А и В
2. Определите,  какими они являются между собой
3. Нарисуйте их графическую интерпретацию
4. Что означает зона пересечения двух множеств?(совместное наступление событий)
5. Как это записывается?
6. Сколько раз эта комбинация повторяется?  …..    (дважды)
7. Запишите количество всех возможных исходов и благоприятных
8. Определите  вероятность наступления этих событий

 V. Реализация построенного проекта 

Через определенное время представители от каждой группы выступают со своими выводами. Учитель, вместе с учениками, обсуждают их выступления, вносят корректирующие поправки

Учитель подводит итог:

- Итак, вы рассмотрели нахождение вероятности в трех случаях: при несовместных событиях, противоположных событиях и совместных событиях.

-  Попытайтесь еще раз четко сформулировать правило нахождения вероятности в каждом из этих случаев.

- Открываем учебник, Проверяем, правильно ли вы  вывели необходимые формулы? Молодцы! Вы отлично справились с заданием

-Давайте алгоритмизируем наши действия:

-Что нужно сделать, чтобы  найти вероятность в каждом из этих случаев?

(1. ввести обозначения событий

2. если событие сложное, разбить его на простые и обозначить их

3. выяснить к какому виду они относятся

4. применить нужную формулу)

          -давайте же дорешаем нашу задачу, с которой все началось. Про цветные шары. Хорошо

-Для лучшего запоминания  я предлагаю вам  зафиксировать новый материал в виде таблицы   (раздаточный материал для каждого ученика): 

VI. Физкультминутка

А теперь, ребята, встали.

Быстро руки вверх подняли,

В стороны, вперед, назад.

Голову поднимем выше

И легко, легко подышим.

Повернулись вправо, влево,

Тихо сели, вновь за дело

VII.Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи.

-Отдохнули!  Переходим к  закреплению изученного материала.

• Работа с учебником.

№  522

№  524

№ 526, задания решаются на доске,

более сильным учащимся, которые уже справились с этими номерами предлагается выполнить самостоятельно № 527, выполнение которого они приносят на проверку учителю

-давайте еще раз повторим правила нахождения вероятности в каждом конкретном случае.  

 -У кого есть какие то вопросы, кому что непонятно?

-Все понятно, хорошо, сейчас мы это и проверим.

VIII.Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону 

-Предлагаю вам выполнить самостоятельную работу, которая состоит из  вопросов теста с тремя вариантами ответов.

1. Как называется событие, которое состоит в том, что происходит хотя бы одно из данных событий А и B?

1. Сумма событий A и B
2. Произведение событий A и B
3. Отношение событий A и B

2.  Могут ли события быть одновременно и несовместными и совместными?

А) да              Б) нет                               В) не знаю

3.  Входит ли в понятие суммы событий (А + В) событие, состоящее в одновременном наступлении события А и события В?

А) да              Б) нет                               В) не знаю

4. Из полной колоды карт вынимается одна карта. Выяснить, являются

совместными или несовместными события: «вынута карта красной масти» и «вынут валет»;

А) да              Б) нет                               В) не знаю

5. Вероятность попадания мяча в корзину, брошенного один раз некоторым баскетболистом, равна 0,6. Чему равна вероятность того, что, бросив мяч в корзину, этот баскетболист промахнётся?  

А)  0,36                        Б)  1                              В)  0,4

 6.  Из колоды карт (36 шт.) вынута одна карта. Найти вероятность того, что это "дама" или "король".

А)  2/9              Б)   4/9                           В)  8/9

7  Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна. Какова вероятность того, что будет вынута  карта бубновой масти  или туз?

  А)  ½               Б)    1/18                           В)  1/3

-После выполнения работы сравнить полученные ответы с эталонными

 КЛЮЧ:

и по предложенной шкале оцените  свою работу.

 Оценивание:

7 – 6  «+»      -  отметка 5

5 – 4 «+»      -  отметка 4

2 -  3 «+»     -  отметка 3

 1  «+»   -      отметка 2

(Задания в виде раздаточного материала.(или на слайде )Ответы и критерии оценивания –  на обороте доски или на слайде.)

По окончанию выполнения работы учитель:

-Поднимите руки, кто поставил себе «5», «4», «3»

- У кого есть ошибки?

-  В чём причина?

 -Давайте разберем задания, вызвавшие затруднения,  на доске

IX.  Рефлексия учебной деятельности на уроке 

-Давайте подведем итоги нашей проделанной на сегодняшнем уроке работе:

- Какая  проблема  возникла у нас  в начале урока ? ( неумение определять вероятность наступления суммы событий)

- Как мы ее разрешили?  ( мы вывели правила сложения  вероятностей)

-  Сколько случаев мы рассмотрели? (три)

- Расскажите,  какой формулой сложения вероятностей  вы будете пользоваться в каждом из этих случаев

 -Оцените свою деятельность на уроке по предлагаемой таблице.

(В виде раздаточного материала каждому ученику).

 Отдельные учащиеся высказываются вслух.

 - мы узнали правила сложения  вероятностей, научились применять  их  на практике.

  - Как вы думаете: чем мы будем заниматься на следующем уроке?

 (  будем еще решать задачи на сложение вероятностей)

X. Домашнее задание

Необходимый уровень:    № 523

Повышенный уровень:  №  528

Творческое задание:

Придумать свою задачу на применение изученных сегодня формул

ПРИЛОЖЕНИЯ

к уроку»Сложение вероятностей»

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Задания, используемые  на этапе актуализации и фиксирования индивидуального затруднения в пробном действии:

А. КАК НАЗЫВАЕТСЯ СОБЫТИЕ, КОТОРОЕ ……. 

1. при заданных условиях может произойти или не произойти(случайное)
2. должно непременно произойти(достоверное)   
3. когда оно заведомо не может произойти,(невозможное)
4. Вероятность достоверного события равна (1)
5. А невозможного ( 0)
6. В коробке находятся 2  зеленых, 3 красных, 5 жёлтых шаров. Наугад вынимается один из шаров. Охарактеризуйте событие, как случайное, невозможное или достоверное

• Выбран шар (достоверное)   
• Выбран красный шар; (случайное)
• Выбран  черный шар;(невозможное)
• Выбран красный,  зеленый или жёлтый шар. ( достоверное)

Б  КАК НАЗЫВАЮТСЯ СОБЫТИЯ,  ЕСЛИ…….

1.  Они не могут произойти одновременно в одном испытании. (несовместные)
2. в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании (совместные)
3.   в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны.(противоположные)
4. Назовите событие противоположное данному:

• студент сдаст зачет; (студент не сдаст зачет)
•  попадание   при выстреле; (промах при выстреле)
• выпадение орла   при одном броске (выпадение решки при одном броске)

5. Среди событий, связанных с одним бросанием  игральной кости найти пары совместных и пары несовместных событий.:

1) выпало 2 очка; 2) выпало 5 очков; 3) выпало более 2 очков ; 4) выпало число очков, кратное двум

Ответ. Совместные 3 пары : 1и 4; 2 и 3; 3 и 4 .

Несовместные 3 пары : 1 и 2; 1 и 3; 2 и 4.

6. Что изображено с помощью кругов Эйлера?

   произведение А и В                          сумма А и В                          отрицание А

7.Опишите, в чем состоит сумма следующих несовместных событий:

а). Учитель вызвал к доске ученика (событие А), ученицу (событие В).

б).  «Родила царица в ночь, не то сына (А), не то дочь (В)…».

в).  Случайно выбранная цифра меньше 5 (А), больше 6 (В).

Решение: а). Учитель вызвал к доске ученика или ученицу (А илиВ).

б). Царица родила сына или дочь (А илиВ).

в). Случайно выбранная цифра меньше 5 или больше 6 (А или В, то есть это одна из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

В. Определите вероятность наступления 

1. В жеребьевке участвуют 5 немцев, 8 французов и 3 эстонца. Какова вероятность того, что первым (/вторым/седьмым/последним – не важно) будет выступать француз. ( 8/16=1/2=0,5)
2. Когда подбрасываем монету, какова вероятность выпадения решки?(1/2=0,5)
3. А если подбрасываем монету два раза? Какова вероятность того, что оба раза выпадет орел? (1/4=0,25)
4. Бросаем игральную кость. Какова вероятность, что выпадет четное число?      ( 3/6=0,5)
5. В ящике 10 шаров: 3 синих, 6 белых, остальные красные.  Шары различаются только цветом. Наугад (не глядя) достаём один из них. Какова вероятность того, что выбранный таким образом шар окажется  белого  цвета?                 Какова вероятность того, что выбранный таким образом шар окажется цветным(не белым)

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Задания для работы в группах и планы- подсказки к ним

1 группа: Бросаем один раз  игральный кубик. Какова вероятность выпадения на нем двух или пяти очков?

Рекомендуемый план:

1. Обозначьте события А и В
2. Определите,  какими они являются между собой
3. Нарисуйте их графическую интерпретацию
4. Запишите количество всех возможных исходов и благоприятных
5.  Определите  вероятность наступления этих событий

2 группа:  Бросаем  один  раз игральный  кубик. Вероятность выпадения четного количества очков равна 0, 52. Найдите вероятность выпадения на нем нечетного количества очков.

Рекомендуемый план

1. Обозначьте события А и В
2. Определите,  какими они являются между собой
3. Нарисуйте их графическую интерпретацию
4. Запишите количество всех возможных исходов и благоприятных
5.  Определите  вероятность наступления этих событий

3 группа: Бросаем, один раз, два игральных кубика. Какова вероятность выпадения на них двух или пяти очков?

Рекомендуемый план

1. Обозначьте события А и В
2. Определите,  какими они являются между собой
3. Нарисуйте их графическую интерпретацию
4. Что означает зона пересечения двух множеств?(совместное наступление событий)
5. Как это записывается?
6. Сколько раз эта комбинация повторяется?  …..    (дважды)
7. Запишите количество всех возможных исходов и благоприятных
8. Определите  вероятность наступления этих событий

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Используется на этапе реализации построенного проекта

Для лучшего запоминания я предлагаю вам  материал, представленный в виде таблицы

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Используется при проведении физкультминутки

А теперь, ребята, встали.

Быстро руки вверх подняли,

В стороны, вперед, назад.

Голову поднимем выше

И легко, легко подышим.

Повернулись вправо, влево,

Тихо сели, вновь за дело

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

на этапе  Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

 1. Как называется событие, которое состоит в том, что происходит хотя бы одно из данных событий А и B?

1. Сумма событий A и B
2. Произведение событий A и B
3. Отношение событий A и B

2.  Могут ли события быть одновременно и несовместными и совместными?

А) да              Б) нет                               В) не знаю

3.  Входит ли в понятие суммы событий (А + В) событие, состоящее в одновременном наступлении события А и события В?

А) да              Б) нет                               В) не знаю

4. Из полной колоды карт вынимается одна карта. Выяснить, являются

совместными или несовместными события: «вынута карта красной масти» и «вынут валет»;

А) да              Б) нет                               В) не знаю

5. Вероятность попадания мяча в корзину, брошенного один раз некоторым баскетболистом, равна 0,6. Чему равна вероятность того, что, бросив мяч в корзину, этот баскетболист промахнётся?  

А)  0,36                        Б)  1                              В)  0,4

 6.  Из колоды карт (36 шт.) вынута одна карта. Найти вероятность того, что это "дама" или "король".

А)  2/9              Б)   4/9                           В)  8/9

7  Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна. Какова вероятность того, что будет вынута  карта бубновой масти  или туз?

  А)  ½               Б)    1/18                           В)  1/3

6  – 7   «+»      -  отметка 5

4  –  5 «+»      -   отметка 4

2  -   3 «+»     -    отметка 3

 1        «+»   -      отметка 2

ПРИЛОЖЕНИЕ 7

Используется на этапе рефлексии учебной деятельности на уроке