Дидактические материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ. Решение квадратных неравенств методом интервалов.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9 класс)

Опубликовано 21.03.2021 - 21:02 - Юлия Валерьевна Александрова

В работе представлено описание метода интервалов при решении квадратных неравенств. Даются основные положения при использовании данного метода. Приводится алгоритм решения квадратных неравенств методом интервалов. В работе представлены два вида тестов: каждому неравенству поставить в соответствие множество решений изображенных на рисунке; нахождение решения неравенства по изображенному числовому промежутку. В работе содержиться и самостоятельная работа по данной теме.

Скачать:

Вложение	Размер
Решение квадратных неравенств методом интервалов. Два вида тестов и самостоятельная работа	716.58 КБ

Предварительный просмотр:

Дидактические материалы по алгебре 9 класса

к теме

«Метод интервалов»

Александрова Юлия Валерьевна,

учитель математики,

ГБОУ СОШ № 249 имени М. В. Маневича

Кировского района

Санкт-Петербурга

Решение квадратных неравенств методом интервалов в курсе алгебры 9 класса.

Методом интервалов (иногда его называют также методом промежутков), называется метод решения неравенств, основанный на исследовании смены знаков функции. Данный метод находит применение в широком круге задач, в частности, при решении линейных неравенств, квадратных неравенств, рациональных неравенств

В основе метода интервалов лежат следующие положения:

Знак произведения (частного) однозначно определяется знаками сомножителей (делимого и делителя).
Знак произведения не изменится (изменится на противоположный), если изменить знак у четного (нечетного) числа сомножителей.
Знак многочлена справа от большего (или единственного) корня совпадает со знаком его старшего коэффициента. В случае отсутствия корней знак многочлена совпадает со знаком его старшего коэффициента на всей области определения.
Если строго возрастающая (убывающая) функция имеет корень, то справа от корня она положительна (отрицательна) и при переходе через корень меняет знак.

На изучение темы «Метод интервалов» в курсе алгебры 9 класса отводится 4 учебных часа. Перед данной темой изучается способ решения квадратных неравенств графическим способом.

Уже через несколько уроков графический способ решения квадратных неравенств отходит на второй план, так как в дальнейшем рассматривается решение рациональных неравенств методом интервалов.

При изучении этого способа решения квадратных неравенств ученики испытывают трудности. Лучше всего ребятам предложить алгоритм, в котором сочетаются несколько видов деятельности.

Алгоритм метода интервалов.

Перенести все члены неравенства в левую часть, оставив в правой части неравенства ноль.
Найти корни соответствующего уравнения.
Нанести найденные корни на числовую прямую.
Определить знаки в получившихся интервалах.
Отметить интервал с нужным знаком.
Записать ответ.

Для более успешного изучения темы предлагаются следующие виды работ:

1. Задание на соответствие – «Каждому неравенству поставить в соответствие множество решений, изображенных на рисунке». Данный вид работы позволяет ученикам закрепить навык работы с несколькими числовыми промежутками и отработать части алгоритма метода интервалов: перенести все члены неравенства в левую часть, решить соответствующее уравнение. Приложение 1.

2. Задание с выбором ответа – тест «Выбери верное решение». Нахождение решения неравенства, по уже изображенным промежуткам. Этот вид работы более сложный. Он позволяет отработать такие этапы алгоритма как: перенести все члены неравенства в левую часть, оставив в правой части ноль и определение знаков в промежутках. Приложение 2.

Завершает изучение темы самостоятельная работа на несколько вариантов. В этом случае ученикам надо полностью воспроизвести изученный алгоритм решения квадратных неравенств методом интервалов. Приложение 3.

Литература

Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк и др., Алгебра 9 класс, М., Просвещение, 2010.
Самостоятельная работа «Квадратные уравнения» [Электронный ресурс].- Методическая копилка учителя математики. Режим доступа: http://www.metodkopilka.com/article.aspx?menuID=6&SubMenuID=23&id=123&SubID=25, - свободный. Дата обращение 08.11. 2012.

Приложение 1. Задание на соответствие.

Вариант 1. Каждому неравенству поставьте в соответствие множество решений, изображенных на рисунке.		Вариант 2. Каждому неравенству поставьте в соответствие множество решений, изображенных на рисунке.
А. х2 – 16 0	1.	А. 12х + 7х2 > –5	1. множество решений
Б. 4х – х2 < 0	2.	Б. –2х – 1 > 4х2	2.
В. 12 + 3х2 20х	3. нет решений	В. 17х + 10х2 < 0	3.
Г. 9х2 > –25 – 30х	4.	Г. 11х – 5 < 2х2	4.
Д. –3х2 – 6х < 4	5.	Д. 9х2 – 24х > –16	5. нет решений
Е. 10х > –8х2 – 3	6.	Е. 6х2 – 42 0	6.
Ж. a2 + 12 – 7a < 0	7.	Ж. 10 + c2 – 11c 0	7.
	8. множество решений		8.

Вариант 3. Каждому неравенству поставьте в соответствие множество решений, изображенных на рисунке.		Вариант 4. Каждому неравенству поставьте в соответствие множество решений, изображенных на рисунке.
А. 12х – 35 х2	1.	А. 14х – х2 48	1.
Б. х2 – 11х > 42	2.	Б. 6х – 1 9х2	2. нет решений
В. 2 + 3х2 > 4х	3.	В. 6х2 + 3 – 7х	3.
Г. –24х < 9 + 16х2	4. множество решений	Г.19х – 14 – 6х2 0	4.
Д. 5х < х2	5.	Д. 9х2 > 4	5.
Е. –х2 + 8 0	6.	Е. х2 < 4х	6.
Ж. –17a – 12 – 6a2	7. нет решений	Ж. n2 11n – 10	7. множество решений
	8.		8.

Ответы к заданию на соответствие.

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4
А	5	8	2	4
Б	1	5	5	1
В	4	4	4	2
Г	7	2	1	8
Д	8	7	8	6
Е	2	3	3	3
Ж	6	6	6	5

Приложение 2. Тест «Выбери верное решение»

Вариант 1	1) p2 < 13p – 36	2) –х2 < 2 + 2х
	а.	а.	Нет решений
	б.	б.	Множество решений
	в.	в.
	г.	г.
3) х2 – 25х > 0	4) –15 > – 3х2	5) 4 + 9х2 –12х
а.	а.	а.
б.	б.	б.
в.	в.	в.
г.	г.	г.
6) –8 18х – 5х2	7) –х2 < 35 + 12х	8) 14 – х – 3х2 0
а.	а.	а.
б.	б.	б.
в.	в.	в.
г.	г.	г.

Вариант 2	1) –4х + х2 < 0	2) 16 + х2 –8х
	а.	а.
	б.	б.
	в.	в.
	г.	г.
3) 0,9 – х2 0	4) –2х > 7х2 – 5	5) х2 + 19х + 90 0
а.	а.	а.
б.	б.	б.
в.	в.	в.
г.	г.	г.
6) 3s2 + 8s > 3	7) х2 – 5х > 84	8) 6х – 2х2 > 5
а.	а.	а.	Множество решений
б.	б.	б.	Нет решений
в.	в.	в.
г.	г.	г.

Вариант 3		1) 9х – х2 0	2) 4х2 – 9 > 0
		а.	а.
		б.	б.
		в.	в.
		г.	г.
3) 7х + 10х2 +2 < 0		4) 40х – 25х2 7	5) 20х + 4х2 + 25 0
а.	Множество решений	а.	а.
б.	Нет решений	б.	б.
в.		в.	в.
г.		г.	г.
6) n2 + 5n – 84 0		7) 3 – 3х2 > 0	8) 7х – 2х2 < 6
а.		а.	а.
б.		б.	б.
в.		в.	в.
г.		г.	г.

Вариант 4		1) 10 – 7х – 3х2 < 0	2) х2 – 2х – 48 0
		а.	а.
		б.	б.
		в.	в.
		г.	г.
3) 24х – 9 16х2		4) 4х2 < 15 – 4х	5) –1,2 –0,2х2
а.		а.	а.
б.		б.	б.
в.		в.	в.
г.		г.	г.
6) k2 > 8k – 17		7) 0 < 6х – х2	8) 3х2 – х > 0
а.	Нет решений	а.	а.
б.	Множество решений	б.	б.
в.		в.	в.
г.		г.	г.

ОТВЕТЫ к тесту

	Вариант1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4
1	а	г	в	б
2	б	а	г	в
3	г	г	б	а
4	б	в	а	в
5	г	б	г	а
6	а	а	в	г
7	в	в	а	б
8	б	б	г	в

Приложение 3. Решите неравенство методом интервалов.

ВАРИАНТ 1

1)        –х2 < 35 + 12х
2)        4х – х2 < 7
3)        х2 – 5х < 84
4)        3 – 3х2  0
5)        7х + 12 – 12х2 < 0
6)        0 6х – х2
7)        –4y2 – 25 < 20y

ВАРИАНТ 2

1)        –6х – 2х2 < 9
2)        2 + 12х2  11х
3)        –9 – 4х2 + 12х  0
4)        4 – 9х2 < 0
5)        10х + 25х2  8
6)        – х2 – 2,3х > 0
7)        13m + m2 + 36 > 0

ВАРИАНТ 3

1)        9х  х2
2)        13х – 14 – 3х2 < 0
3)        –12 < 11х + 5х2
4)        –8х – 16х2  1
5)        32 + х2 > 12х
6)        2х2 – 18 < 0
7)        11y2 + 7 + 18y  0

ВАРИАНТ 4

1)        3х2 – х > 24
2)        4х2  – 4х – 1
3)        –25 > 10х + 2х2
4)        7х < 12 + х2
5)        х2  4х
6)        –3х2 + 7 < – 4х
7)        k2 – 25 0

ВАРИАНТ 5

1)        4 > 20х – 25х2
2)        2х < х2
3)        21х + 9х2 + 10 0
4)        4х2  36
5)        5 + 4х + х2 > 0
6)        х2 – 12х + 32 < 0
7)        5 – 3а2 – 2а  0

ВАРИАНТ 6

1)        9х > –2х2 – 10
2)        х2 – 6х  0
3)        11+ х2 + 6х > 0
4)        3 + х2  4х
5)        – х2 + 1,21 < 0
6)        9х2 + 4 + 12х > 0
7)        –7t 2 + 4t + 3 > 0

Ответы к самостоятельной работе

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3
1		Множество решений
2	Множество решений
3		1,5	Множество решений
4
5
6
7	Все числа кроме

	Вариант 4	Вариант 5	Вариант 6
1		Все числа, кроме – 0,4
2	– 0,5
3	Нет решений		Множество решений
4
5		Множество решений
6			Все числа кроме
7