План-конспект к вебинару по теме «Арифметический квадратный корень»
методическая разработка по алгебре

Вебинар по теме «Арифметический квадратный корень» 

Николаев Андрей Алексеевич 

ВВЕДЕНИЕ 

Добрый день. Сегодня мы с вами обсудим тему, которой был посвящен видео урок: «Арифметический квадратный корень» 

Вы можете задавать свои вопросы в чате, и мы обязательно на них ответим. 

В главе, которую вы изучаете, рассматриваются три важных вопроса: АКК, действительные числа и свойства корней 

Для начала коротко повторим, что мы уже знаем: 

Квадратным корнем из числа a называется число, квадрат которого равен b. 

Запишем иначе: Число b называется квадратным корнем из числа a, если b2=a 

Так же квадратный корень из числа еще называют корнем второй степени из этого числа. 

Рассмотрим пример решения уравнения: x2=49 

Какие числа при возведении в квадрат дает значение 49? 

Это числа 7 и -7. Проверим: 72=49 и (-7)2=49, обратим внимание, что при умножении двух отрицательных чисел в ответе получаем положительное. 

Рассмотрим еще примеры: a2=121, b2=9, c2=-25. Заметим, что для всех примеров, кроме последнего, в ответе будут 2 корня. 

Возникли сложности с последним примером. Мы пока не можем найти такого числа, которое при возведении в квадрат давало бы отрицательное число, потому что при возведении в квадрат нуля получаем ноль, а при возведении в квадрат отрицательного или положительного числа получаем положительное по правилу умножения. 

В будущем вы познакомитесь с новыми числами, которые называются КОМПЛЕКСНЫЕ. Они построены так, что это действие становится возможным. Там применяется другое правило умножения чисел. Если хотите узнать об этом подробнее, можете изучить самостоятельно.

А сейчас мы делаем вывод: квадратный корень мы можем найти только для неотрицательных чисел, т.е. выражение b2=a имеет смысл (выполняется) только при b0. 

В видео вы слышали только про квадратные корни, но в алгебре существуют и корни других степеней. Например, корень третьей степени называют кубическим корнем, так же есть корни пятой степени, седьмой, десятой и др.  

Извлечение корня какой-либо степени из числа – это тоже возведение в степень, только дробную. Например, у квадратного корня эта степень  , … О дробных степенях вы узнаете в 9 классе. Пока же будем помнить, что раз это тоже степени, то они к ним можно применять правила действий со степенями … 

Теперь вспомним, что же такое арифметический квадратный корень 

АКК из числа a называется НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЕ число b, квадрат которого равен a. 

Или: =b называется АКК числа а, если a2=b и . 

Выражение, стоящее под знаком АКК, называется подкоренным выражением. А операция нахождения АКК — извлечением корня 

Получается, разница между КК и АКК в том, что при нахождении КК в ответе может быть отрицательное число, а при нахождении АКК ответом будут ТОЛЬКО положительные числа или 0. 

Есть ли для АКК такое же ограничение, как и для КК? Есть! Подкоренное выражение (или число, из которого извлекается корень) должно быть больше или равно 0. т.е. Это можно записать так: 

Выражение √a =b выполняется, если a2=b и b0 и a0 

Рассмотрим примеры, которые мы уже видели: , 

ТАБЛИЦА КВАДРАТОВ 

Вы заметили, что в примерах мы искали квадратные корни подбором. 

Чтобы было проще и быстрее искать АКК двузначных чисел, применяют таблицу квадратов двузначных чисел. С ней вы могли знакомить на уроках про степени, а сегодня мы еще раз повторим, как определять АКК по этой таблице. 

К примеру: найдите √5476 

Для начала мы ищем данное число, которое стоит под корнем (подкоренное выражение) в таблице. Строчка, в которой находится число показывает количество десятков искомого числа. А столбец — количество единиц. 

Давайте еще посмотрим пример найдем в таблице значения: √8836 и √2601. ответ 94 и 51 

Если же под знаком корня стоит какое-то числовое выражение, то сначала надо выполнить действия под корнем, получить число, а потом вычислять корень, например  

Обратим внимание, что в таблице квадратов есть далеко не все числа. Например, в ней нет числа 9215. А как извлечь из него квадратный корень? Может быть, приближенно? 

Для этого нам понадобится одно очень важное свойство квадратного корня 

СРАВНЕНИЕ ЧИСЕЛ 

Давайте сравним √4096 и √2809. √4096=64, √2809=53. 64>53. Значит √4096>√2809 

На самом деле, мы можем заметить, что, если чем больше число мы возводим в квадрат, тем больше будет это значение. Соответственно, чем больше подкоренное выражение, тем больше значение этого корня 

Сравните по этому правилу: √8836 и √8649; √576 и √625. В этих случаях мы можем проверить себя по таблице квадратов. 

Но сравните числа √9215 и √9200. Значения этих корней иррациональны, но по правилу мы с легкостью можем сравнить их. 

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 

Давайте теперь попробуем извлечь квадратный корень из 2. Немного подумаем и поймем, что это число сразу назвать мы не можем. 

√2 находится между √1 и √4, т.е. между 1 и 2. 

Приблизимся еще больше к его значению. Ровно посередине между 1 и 2 находится 1,5, возведем его в квадрат 1,52=2,25. Еще больше приблизились к √2, 1<√2<1,5 

Интересное замечание: используя таблицу квадратов, можно быстро узнать квадраты чисел 1,1; 1,2; 1,3; 1,4. Ищем квадрат этого числа без запятой, а затем отделяем запятой 2 знака с конца. Получаем, что 1,42=1,96. Значит, 1,4<√2<1,5. 

Далее мы можем еще больше приблизиться к ответу на вопрос чему же равен √2, но конечного ответа среди рациональных чисел мы не найдем. Такие числа как называют иррациональными, их нельзя представить в виде обыкновенной дроби, их открытие приписывают Пифагору. Позднее вы узнаете, что их можно записывать в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. 

Больше про иррациональные числа вы будете узнавать в школе на уроках алгебры, научитесь с ними работать и даже производить вычисления. 

Давайте теперь выполним задание: Расположите числа √27, √13, √25 и √39 на координатной прямой 

Ответ: в порядке возрастания разберем: 3<√13<4, 5<√27<6, √25=5, 6<√39<49 

СВОЙСТВА КОРНЕЙ 

Итак, мы уже сказали, что для корней выполняются те же свойства, что и для степеней с натуральным показателем. Мы с вами разберем два из них. 

Первое — возведение в степень произведения: 

(a*b)n=an*bn это свойство для степеней переформулируем его для корней любой степени и квадратного корня: n√(a*b)=n√a*n√b 

Для квадратного корня: √(a*b)=√a*√b Оно выполняется, только если оба множителя неотрицательны 

Это свойство удобно, когда подкоренное выражение большое число, из которого сложно извлечь корень подбором или его нет в таблице квадратов. 

Например, вычислите: √11025. Разложим подкоренное выражение на множители: 11025=5*2205=5*5*441=5*5*3*147=25*3*3*49 

Получаем: √25*9*49=√25*√9*√49=5*3*7=105 

Вычислите: √39204. Аналогично: 39204=2*19602=2*2*9801=2*2*9*1089=4*9*9*121 

√39204=√4*81*121=√4*√9*√121=2*3*11=66 

Второе свойство, которое мы с вами рассмотрим, основано на возведении в степень частного: (a/b)n=an/bn 

Для корней: .

Оно выполняется, если оба корня неотрицательны и b≠0.

Пример: Вычислим

Подробнее об этом вам расскажут на видеоуроках на следующей неделе, и мы тоже обсудим вычисление корней на вебинаре. 

Вы можете задавать свои вопросы в чате, и мы обязательно на них ответим.