мастер-класс"Способ отбора корней в тригонометрическом уравнении"
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (10 класс)

Слайд 1

Методы отбора корней в тригонометрических уравнениях на заданном промежутке

Слайд 2

Баллы за задание №12 (С-1) 2015 2018 2020 2021 1 балл 90,7% 73, 7% 92,2% 100% 2 балла 69,4% 51,1% 83,5% 100%

Слайд 5

Обязательный минимум знаний sin x = a , -1  a  1 (  a   1) x = arcsin a + 2  n, n  Z x =  - arcsin a + 2  n, n  Z sin x = 1 x =  /2 + 2  k, k  Z sin x = - 1 x = -  /2 + 2  k, k  Z sin x = 0 x =  k, k  Z y x y x x y

Слайд 6

Обязательный минимум знаний cos x = a , -1  a  1 (  a   1) x =  arccos a + 2  n, n  Z arccos (- a) =  - arccos a cos x = 1 x = 2  k, k  Z cos x = - 1 x =  + 2  k, k  Z cos x = 0 x =  /2 +  k, k  Z y x y x y x

Слайд 7

Обязательный минимум знаний tg x = a , a  R x = arctg a +  n, n  Z arctg (- a) = - arctg a ctg x = a , a  R x = arcctg a +  n, n  Z arctg (- a) =  - arctg a

Слайд 8

Рекомендации по решению тригонометрических уравнений Свести уравнение к простейшему Некоторые методы решения тригонометрических уравнений Применение тригонометрических формул Использование формул сокращённого умножения Разложение на множители Сведение к квадратному уравнению относительно sin x, cos x, tg x Введением вспомогательного аргумента Делением обеих частей однородного уравнения первой степени ( asin x +bcosx = 0 ) на cos x Делением обеих частей однородного уравнения второй степени (a sin 2 x +bsin x cos x+ c cos 2 x =0) на cos 2 x

Слайд 9

Различные способы отбора корней cos 2x = ½, x  [-  /2; 3  /2] 2x = ± arccos ½ + 2  n, n  Z 2x = ±  /3 + 2  n, n  Z x = ±  /6 +  n, n  Z Отберём корни с помощью тригонометрической окружности Ответ : -  /6;  /6; 5  /6; 7  /6 Найти корни уравнения, принадлежащие данному промежутку (с помощью тригонометрической окружности)

Слайд 10

Различные способы отбора корней Найти корни уравнения, принадлежащие данному промежутку (арифметический, метод перебора) sin 3x = √3/2, x  [-  /2;  /2] 3x = ( – 1) k  /3 +  k, k  Z x = ( – 1) k  /9 +  k/3, k  Z Отберём корни с помощью перебора значений k: k = 0, x =  /9 – принадлежит промежутку k = 1, x = –  /9 +  /3 = 2  /9 – принадлежит промежутку k = 2, x =  /9 + 2  /3 = 7  /9 – не принадлежит промежутку k = – 1, x = –  /9 –  /3 = – 4  /9 – принадлежит промежутку k = – 2, x =  /9 – 2  /3 = – 5  /9 – не принадлежит промежутку Ответ: -4  /9;  /9; 2  /9

Слайд 11

Различные способы отбора корней tg 3x = – 1 , x  (-  /2;  ) 3x = –  /4 +  n, n  Z x = –  /12 +  n/3, n  Z Отберём корни с помощью неравенства: Ответ: – 5  /12; –  /12;  /4; 7  /12; 11  /12 –  /2 < –  /12 +  n/3 <  , – 1/2 < – 1/12 + n/3 < 1, – 1/2 + 1/12 < n/3 < 1+ 1/12, – 5/12 < n/3 < 13/12, – 5/4 < n < 13/4, n  Z, n = – 1; 0; 1; 2; 3 Найти корни уравнения, принадлежащие данному промежутку ( с помощью неравенства) n = – 1, x = –  /12 –  /3 = – 5  /12 n = 0, x = –  /12 n = 1, x = –  /12 +  /3 =  /4 n = 2, x = –  /12 + 2  /3 = 7  /12 n = 3, x = –  /12 +  = 11  /12

Слайд 12

Различные способы отбора корней Найти корни уравнения, принадлежащие данному промежутку ( с помощью графика) cos x = – √2/2, x  [ – 4; 5  /4] x =  arccos (– √2/2) + 2  n, n  Z x =  3  /4 + 2  n, n  Z Отберём корни с помощью графика: Ответ:  5  /4;  3  /4 x = –  /2 –  /4 = – 3  /4; x = –  –  /4 = – 5  /4

Слайд 13

1. Решить уравнение 7 2cosx = 49 sin2x и указать его корни на отрезке [  ; 5  /2] 7 2cosx = 49 sin2x, 7 2cosx = 7 2sin2x, 2cos x = 2sin 2x, cos x – 2 sinx cosx = 0, cos x (1 – 2sinx) = 0, cos x = 0 , x =  /2 +  k, k  Z или 1 – 2sinx = 0, sin x = ½, x =  /6 + 2  k, k  Z x = 5  /6 + 2  k, k  Z Решим уравнение: Проведём отбор корней с помощью тригонометрической окружности: Ответ: а)  /2 +  k, k  Z, x1 =  /6 + 2  k, k  Z; x2 = 5  /6 + 2  k, k  Z б) 3  /2; 5  /2; 13  /6 x = 2  +  /6 = 13  /6

Слайд 14

4cos 2 x + 8 cos (x – 3  /2) +1 = 0 4cos 2 x + 8 cos (3  /2 – x) +1 = 0, 4cos 2 x – 8 sin x +1 = 0, 4 – 4sin 2 x – 8 sin x +1 = 0, 4sin 2 x + 8sin x – 5 = 0, D/4 = 16 + 20 = 36, sin x = – 2,5  или sin x = ½ x1=  /6 + 2  k, k  Z x2 = 5  /6 + 2  k, k  Z 2. Решить уравнение 4cos 2 x + 8 cos (x – 3  /2) +1 = 0 Найти его корни на отрезке [3  ; 9  2]

Слайд 15

Проведем отбор корней на отрезке [3  ; 9  2] (с помощью графиков) x = 4  +  /6 = 25  /6 Ответ: а) x1 =  /6 + 2  k, k  Z x2 = 5  /6 + 2  k, k  Z б) 25  /6 sin x = ½ Построим графики функций y = sin x и y = ½

Слайд 16

3. Решить уравнение 4 – cos 2 2x = 3 sin 2 2x + 2 sin 4x Найти его корни на отрезке [0; 1] 4 – cos 2 2x = 3 sin 2 2x + 2 sin 4x 4 (sin 2 2x + cos 2 2x ) – cos 2 2x = 3 sin 2 2x + 4 sin 2x cos 2x, sin 2 2x + 3 cos 2 2x – 4 sin 2x cos 2x = 0 Если cos 2 2x = 0, то sin 2 2x = 0, что невозможно, поэтому cos 2 2x  0 и обе части уравнения можно разделить на cos 2 2x. tg 2 2x + 3 – 4 tg 2x = 0, tg 2 2x – 4 tg 2x + 3= 0, tg 2x = 1, 2x =  /4 +  n, n  Z x =  /8 +  n/2, n  Z или tg 2x = 3, 2x = arctg 3 +  k, k  Z x = ½ arctg 3 +  k/2, k  Z

Слайд 17

Проведём отбор корней на отрезке [0; 1] 4 – cos 2 2x = 3 sin 2 2x + 2 sin 4x x =  /8 +  n/2, n  Z или x = ½ arctg 3 +  k/2, k  Z Так как 0 < arctg 3<  /2, 0 < ½ arctg 3<  /4, то ½ arctg 3 является решением Так как 0 <  /8 <  /4 < 1,значит  /8 также является решением Другие решения не попадут в промежуток [0; 1], так как они получаются из чисел ½ arctg 3 и  /8 прибавлением чисел, кратных  /2. Ответ: а)  /8 +  n/2, n  Z ; ½ arctg 3 +  k/2, k  Z б)  /8; ½ arctg 3

Слайд 18

4. Решить уравнение log 5 (cos x – sin 2x + 25) = 2 Найти его корни на отрезке [2  ; 7  /2] log 5 (cos x – sin 2x + 25) = 2 cos x – sin 2x + 25 > 0, cos x – sin 2x + 25 = 25, 25 > 0, cos x – 2sin x cos x = 0, cos x (1 – 2sin x) = 0, cos x = 0, x =  /2 +  n, n  Z или 1 – 2sinx = 0, sin x = 1/2 x =  /6 + 2  k, k  Z x = 5  /6 + 2  k, k  Z Решим уравнение:

Слайд 19

1) x =  /2 +  n, n  Z 2    /2 +  n  7  /2, n  Z 2  1/2 + n  7/2, n  Z 2 – ½  n  7/2 – ½, n  Z 1,5  n  3, n  Z n = 2; 3 x =  /2 + 2  = 5  /2 x =  /2 + 3  = 7  /2 x = 2  +  /6 = 13  /6 x = 3  –  /6 = 17  /6 Проведём отбор корней на отрезке [2  ; 7  /2]: Проведём отбор корней на отрезке 2) sin x = 1/2 Ответ: а)  /2 +  n, n  Z; x1 =  /6 + 2  k, k  Z x2 = 5  /6 + 2  k, k  Z б) 13  /6 ; 5  /2; 7  /2; 17  /6

Слайд 20

5. Решить уравнение 1/sin 2 x + 1/sin x = 2 Найти его корни на отрезке [-5  /2; -3  /2] 1/sin 2 x + 1/sin x = 2 x   k Замена 1/sin x = t, t 2 + t = 2, t 2 + t – 2 = 0, t 1 = – 2, t 2 = 1 Решим уравнение: 1/sin x = – 2, sin x = – ½, x = –  /6 + 2  n, n  Z или x = – 5  /6 + 2  n, n  Z 1/sin x = 1, sin x = 1, x =  /2 + 2  n, n  Z

Слайд 21

1) x = -  /6 + 2  n, n  Z -5  /2  -  /6 + 2  n  -3  /2, n  Z -5/2  -1/6 + 2n  -3/2, n  Z -5/2 +1/6  2n  -3/2 + 1/6, n  Z – 7/3  2n  -4/3, n  Z -7/6  n  -2/3, n  Z n = -1 x = -  /6 - 2  = -13  /6 Рассмотрим остальные серии корней и проведём отбор корней на отрезке алгебраическим методом [-5  /2; -3  /2] Продолжим отбор корней на отрезке Ответ: а)  /2 + 2  n, n  Z ; x1 = -  /6 + 2  k, k  Z x2 = - 5  /6 + 2  k, k  Z б) -13  /6 ; -3  /2 2) x =  /2 + 2  n, n  Z -5  /2   /2 + 2  n  -3  /2, n  Z -5/2  1/2 + 2n  -3/2, n  Z -5/2 - 1/2  2n  -3/2 - 1/2, n  Z – 3  2n  -2, n  Z -1,5  n  -1, n  Z n = -1 x =  /2 - 2  = -3  /2

Слайд 22

6. Решить уравнение |sin x|/sin x + 2 = 2cos x Найти его корни на отрезке [-1; 8] Решим уравнение |sin x|/sin x + 2 = 2cos x 1)Если sin x >0, то |sin x| =sin x Уравнение примет вид: 2 cos x=3, cos x =1,5 – не имеет корней 2) Если sin x <0, то |sin x| =-sin x и уравнение примет вид 2cos x=1, cos x = 1/2, x = ±π/3 +2πk, k  Z Учитывая, что sin x < 0, то остаётся одна серия ответа x = - π/3 +2πk, k  Z Произведём отбор корней на отрезке [-1; 8] k=0, x= - π/3 , - π < -3, - π/3 < -1, -π/3 не принадлежит данному отрезку k=1, x = - π/3 +2π = 5 π/3<8, 5 π/3  [-1; 8] k=2, x= - π/3 + 4π = 11 π/3 > 8, 11 π/3 не принадлежит данному отрезку. Ответ: а) - π/3 +2πk, k  Z б) 5 π/3

Слайд 23

7. Решить уравнение 4sin 3 x=3cos(x- π/2) Найти его корни на промежутке [7  /2; 9  /2) Решим уравнение 4sin 3 x = 3cos(x- π/2) 4sin 3 x = 3cos(π/2-х), 4sin 3 x - 3cos(π/2-х) = 0, 4sin 3 x – 3sin x = 0, sin x (4sin 2 x – 3) = 0, sin x= 0 x=  n, n  Z или 4sin 2 x – 3=0, sin x=√3/2; sin x =-√3/2 sin x=√3/2, x1=  /3 + 2  k, k  Z, x2=4  /3 + 2  k, k  Z. sin x =-√3/2, x1=-  /3 + 2  k, k  Z, x2= -4  /3 + 2  k, k  Z.

Слайд 24

Объединим решения ( см. рисунок) Уравнение можно решить короче, зная формулу sin 3x = 3sinx – 4sin 3 x : 4sin 3 x – 3sin x =0, 3sin x – 4sin 3 x =0, s in 3x = 0, х =  m/3, m  Z или х =  m/3, m  Z

Слайд 25

Проведём отбор корней на промежутке [7  /2; 9  /2) х=  m/3, m  Z. 7  /2 ≤  m/3 < 9  /2, 21/2 ≤ m<27/2, m  Z, 10,5 ≤ m < 13,5, m  Z, m =10; 11; 12, x= 10  /3, x= 11  /3, x= 12  /3 Ответ : а)  m/3, m  Z; б) 10  /3; 11  /3; 12  /3

Слайд 26

8. Решить уравнение √1-sin 2 x= sin x Найти его корни на промежутке [5  /2; 4  ] Решим уравнение √1-sin 2 x= sin x. sin x ≥ 0, 1- sin 2 x = sin 2 x; sin x ≥ 0, sin x≥0, 2sin 2 x = 1; sin x =√2/2; sin x = - √2/2; sin x =√2/2 sin x =√2/2 x=(-1) k  /4 +  k, k  Z

Слайд 27

Проведём отбор корней на отрезке [5  /2; 4  ] x=(-1) k  /4 +  k, k  Z sin x =√2/2 у =sin x и у=√2/2 5  /2 +  /4 = 11  /4 Ответ: а) (-1) k  /4 +  k, k  Z ; б) 11  /4

Слайд 28

9. Решить уравнение (sin2x + 2 sin 2 x)/√-cos x =0 Найти его корни на промежутке [-5  ; -7  /2] Решим уравнение (sin2x + 2 sin 2 x)/√-cos x =0. 1) cos x <0 ,  /2 +2  n

Слайд 29

Отберём корни на заданном отрезке Отберём корни на заданном отрезке [-5  ; -7  /2] x=  +2  n, n  Z ; -5  ≤  +2  n ≤ -7  /2, -5-1 ≤ 2n ≤ -7/2-1, -3≤ n ≤ -9/4, n  Z n = -3, x=  -6  = -5  x= 3  /4 + 2  n, n  Z -5  ≤ 3  /4 + 2  n ≤ -7  /2 -23/8 ≤ n ≤ -17/8, нет такого целого n. Ответ: а)  +2  n, n  Z ; 3  /4 + 2  n, n  Z ; б) -5  .

Слайд 30

10. Решить уравнение 2sin2x =4cos x –sinx+1 Найти его корни на промежутке [  /2; 3  /2 ] Решим уравнение 2sin2x = 4cos x – sinx+1 2sin2x = 4cos x – sinx+1, 4 sinx∙cos x – 4cos x + sin x -1 = 0, 4cos x(sin x – 1) + (sin x – 1) = 0, (sin x – 1)(4cos x +1)=0, sin x – 1= 0, sin x = 1, x =  /2+2  n, n  Z или 4cos x +1= 0, cos x = -0,25 x = ± (  -arccos (0,25)) + 2  n, n  Z Запишем корни этого уравнения иначе x =  - arccos(0,25) + 2  n, x = -(  - arccos(0,25)) + 2  n, n  Z

Слайд 31

Отберём корни с помощью окружности x =  /2+2  n, n  Z, х =  /2; x =  -arccos(0,25)+2  n, х=-(  -arccos(0,25)) +2  n, n  Z, x =  - arccos(0,25), x =  + arccos(0,25) Ответ: а)  /2+2  n,  -arccos(0,25)+2  n, -(  -arccos(0,25)) +2  n, n  Z; б)  /2;  -arccos(0,25);  +arccos(0,25)