Доклад с презентацией по теме "Изучение тригонометрических функций в средней школе"
методическая разработка по алгебре (9, 10, 11 класс)

МБОУ «Обусинская СОШ-интернат имени А.И.Шадаева

Изучение

тригонометрических функций

в средней школе

Выполнила:

Ихенова И.А.

учитель математики

Обуса

2023 год

Введение

В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд». Со временем в нее начали вкрапляться некоторые аналитические моменты. В первой половине 18-го века произошел резкий перелом, после чего тригонометрия приняла новое направление и сместилась в сторону математического анализа. Именно в это время тригонометрические зависимости стали рассматриваться как функции. Это имеет не только математико-исторический, но и методико-педагогический интерес.

В настоящее время изучению тригонометрических функций именно как функций числового аргумента уделяется большое внимание в школьном курсе алгебры и начал анализа. Существует несколько различных подходов к преподаванию данной темы в школьном курсе, и учитель, особенно начинающий, легко может запутаться в том, какой подход является наиболее подходящим. Тригонометрические функции представляют собой наиболее удобное и наглядное средство для изучения всех свойств функций (до применения производной), а в особенности такого свойства многих природных процессов как периодичность. Поэтому, их изучению следует уделить пристальное внимание.

Большие трудности при изучении темы «Тригонометрические функции» в школьном курсе возникают из-за несоответствия между достаточно большим объемом содержания и относительно небольшим количеством часов, выделенным на изучение данной темы.

Цели изучения

тригонометрических функций

Основными целями изучения тригонометрических функций числового аргумента являются:

1. ознакомление учащихся с новым видом трансцендентных функций;
2. развитие навыков вычислительной практики (работа с трансцендентными функциями зачастую требует громоздких вычислений);
3. наглядная иллюстрация всех основных свойств функций (в особенности периодичности);
4. установление межпредметных связей с практикой (изучение колебаний маятника, электрического тока, волновой теории света невозможны без знаний о тригонометрических функциях);
5. развитие логического мышления (обилие формул порождает необходимость преобразований не алгебраического характера, которые носят исследовательский характер).

Этапы изучения

тригонометрических функций

В изучении тригонометрических функций можно выделить следующие этапы:

1. Первое знакомство с тригонометрическими функциями углового аргумента в геометрии. Значение аргумента рассматривается в промежутке (0о;90о). На этом этапе учащиеся

узнают, что угла зависят от его градусной меры, знакомятся с табличными значениями, основным тригонометрическим тождеством и некоторыми формулами приведения.

2. Обобщение понятий синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов (0о;180о). На этом этапе рассматривается взаимосвязь тригонометрических функций и координат точки на плоскости, доказываются теоремы синусов и косинусов, рассматривается вопрос решения треугольников с помощью тригонометрических соотношений.
3. Введение понятий тригонометрических функций числового аргумента.
4. Систематизация и расширение знаний о

тригонометрических функциях числа, рассмотрение графиков функций, проведение исследования, в том числе и с помощью производной.

Особенности изучения

Отметим, что изучение тригонометрических функций в школьном курсе имеет некоторые особенности. Во-первых, до изучения тригонометрических функций, рассматривались функции вида

где х и у – некоторые действительные числа, здесь же - углу ставится в соответствие число, что является несколько непривычным для учащихся. Кроме того, раньше все функции задавались формулами, в которых явным образом был указан порядок действий над значениями аргумента для получения значений функции. Теперь же учащиеся сталкиваются с функциями, заданными таблично.

Таким образом, изучая тригонометрические функции, учащиеся лучше начинают разбираться в сущности самого понятия функции. Они начинают осознавать, что функцией может быть зависимость между любыми множествами объектов, даже если они имеют различную природу (лишь бы каждому значению аргумента соответствовало единственное значение функции).

Изложение темы «Тригонометрические функции» в школьных учебниках математики

В настоящее время вопросы тригонометрии изучаются в 10-11 классах в рамках курса "Алгебра и начала анализа".

• .

В школах используются учебники таких авторов, как Ш.А. Алимов, М.И. Башмаков, А.Н. Колмогоров, А.Г. Мордкович, С.М. Никольский. Данные учебники дают цельное и полное представление о школьном курсе алгебры и начала анализа, отвечают требованиям обязательного минимума содержания образования, но каждый из них имеет свои особенности.

В учебнике Башмакова М.И. следующий порядок:

функции → преобразования → уравнения.

В учебнике Мордковича А.Г. другой порядок:

функции → уравнения → преобразования.

В учебниках Колмогорова А.Н. и Никольского С.М.:

преобразования → функции → уравнения.

В учебнике Алимова Ш.А.:

преобразования → уравнения → функции.

Расположение тем в учебнике Алимова Ш.А. имеет ряд особенностей: изучение тригонометрических уравнений подразумевает изучение обратных тригонометрических функций. Таким образом, сначала учащиеся детально прорабатывают понятия арксинуса, арккосинуса и арктангенса, а затем только приступают к работе с синусом, косинусом и тангенсом, хотя с точки зрения логики, целесообразнее сделать наоборот;

• изучение тригонометрических функций после тригонометрических уравнений выкидывает из рассмотрения один из немаловажных методов решения тригонометрических уравнений – а именно графический метод (к тому времени мы еще не умеем строить графики тригонометрических функций).

Методика преподавания темы ‹‹Тригонометрические

функции›› в курсе алгебры и начал анализа

В изучении тригонометрических функций в школе можно выделить два основных этапа:

1. Первоначальное знакомство с тригонометрическими функциями углового аргумента в курсе геометрии (8-9 класс).
2. Систематизация и расширение знаний о тригонометрических функциях в курсе алгебры и начал анализа (10-11 класс).

На первом этапе не доказывается и не уточняется, что изучаемые зависимости являются функциями. Изменение синуса и косинуса при изменении угла доказываются на основе свойств наклонной. Эти понятия достаточно абстрактны для курса геометрии, поэтому усваиваются довольно плохо. Но еще большие трудности вызывает переход к аргументу, большему 900. Ведь мы определяли тригонометрические функции через отношение сторон прямоугольного треугольника, а, как известно, в прямоугольном треугольнике не может быть угла с градусной мерой, большей 900. Для объяснения этого факта уже на этом этапе приходится рассматривать окружность, и это является своеобразной пропедевтической работой для введения тригонометрических функций числового аргумента с помощью окружности в курсе алгебры и начал анализа.

На втором этапе происходит переход от углового аргумента к числовому. С самого начала курса мы должны рассматривать тригонометрические функции углов любой величины – значит предварительно нужно познакомить учеников с углом, как с величиной, способной изменяться от - ∞ до +∞.

В курсе геометрии такое понятие не фигурировало, следовательно, это необходимо восполнить на втором этапе. Таким образом, возникает необходимость введения числовой окружности, работу с которой целесообразно провести также на втором этапе.

В процессе работы с числовой окружностью у учащихся должны быть сформированы следующие умения:

1. находить на числовой окружности точки, соответствующие заданным числам, выраженным в долях числа π и выраженным не в долях числа π;
2. составлять аналитические записи для дуг числовой окружности;
3. определять принадлежность точки какой-либо координатной четверти;
4. работать одновременно в двух системах координат – в криволинейной и прямоугольно-декартовой и осуществлять переход от одной системы координат к другой;
5. находить координаты точек числовой окружности и отыскивать на числовой окружности точки по заданным координатам.

В арсенале учителя должно находиться как минимум два макета с числовыми окружностями. На первом из них отсчет ведется в положительном направлении с указанием расположения основных точек, а на втором – в отрицательном направлении. Много внимания уделяется изучению числовой окружности в учебнике Мордковича А.Г.: §4 Числовая окружность(13 стр текста с разъяснениями и примерами), §5 Числовая окружность на координатной плоскости(8стр), есть отдельно §13, посвященный преобразованиям графиков тригонометрических функций.

Учащиеся должны уяснить тот факт, что на числовой прямой можно было откладывать не только положительные, но и отрицательные значения, причем сколь угодно большие, а на числовой окружности можно делать то же самое, но следует учитывать тот факт, что на прямой соответствие между точками и числами взаимно-однозначное, а на окружности у каждой точки бесконечно много имен, отличающихся друг от друга на 2πn.

Когда учащиеся научатся работать с числовой окружностью как с самостоятельным объектом, можно приступать к введению самих тригонометрических функций.

Не стоит забывать, что определения тригонометрических функций с помощью числовой окружности плохо укладываются в сознании ребят по одной простой причине: на первом этапе определения были даны в геометрической трактовке – как отношения сторон прямоугольного треугольника. Из психологии известно: «если какое-нибудь важное понятие вводится в первый раз, то ассоциации, сопутствующие ему, врезаются в сознание учащегося чрезвычайно прочно. Последующие впечатления бывают слабее и не могут стереть того обличия, в котором это понятие явилось впервые».

Несмотря на то, что мы уже использовали окружность для введения «новых» определений синуса и косинуса на этапе расширения множества значений, принимаемых углом, необходимо еще раз провести взаимосвязь между прямоугольным треугольником и числовой окружностью.

Работа по построению графиков и исследованию функций может проводиться двумя способами:

1. Сначала по точкам строится график, а затем с помощью графической интерпретации исследуются все свойства функции
2. Построение графика происходит после исследования функции, а наглядные представления о свойствах учащиеся получают, анализируя поведение функций на числовой окружности.

Наиболее целесообразно применять второй подход, так как при этом подходе, во-первых, все свойства тригонометрических функций иллюстрируются на обеих моделях (на числовой окружности и на графике), а, во-вторых, это является хорошей подготовительной работой для дальнейшего обучения исследованию функций и построению графиков с помощью производной.

Несмотря на то, что анализируя поведение функции на числовой окружности, мы всего лишь иллюстрируем некоторое свойство, не стоит забывать, что иногда «доказательство» с помощью окружности является единственным доступным для школьников способом обоснования некоторых фактов. Хотя некоторые случаи все-таки требуют более четкого обоснования формулируемых утверждений.

Федеральная рабочая программа

по учебному предмету «Математика»

Из опыта работы

Я в своей практике использовала первый способ: с помощью единичной окружности строили с обучающимися графики функций у=sinx, у=cosx, у=tgx, затем изучали свойства функций. После учились применять преобразования графиков функций:

f(x)→f(x)+a, f(x)→f(x+b), f(x)→kf(x), f(x)→f(nx), f(x)→ - f(x),

причем, сначала эти преобразования и комбинации преобразований делали с графиками элементарных функций: у=ах2, у=, затем с графиками тригонометрических функций. В 11 классе всегда находятся ученики, выбирающие для сдачи профильный уровень ЕГЭ, преобразования графиков пригодятся им, например, для решения 11го задания по теме «График функций».

Математика

Профильный уровень ЕГЭ

11 задание

Такое решение дается на сайте «Решу ЕГЭ», я же даю другой способ решения. Видно, что график получен из графика функции у= переносом на 4 единицы влево и на 1 единицу вверх, значит это график функции

у= +1. Если привести дробь к знаменателю х+4, она примет вид у=, отсюда делаем вывод: k=1.

«Учебник Алимова Ш.А. по сравнению с другими изобилует большим количеством цитат и шуточных математических рисунков. Это, несомненно, развивает математический кругозор учащихся, но, что касается содержательной стороны этого учебника, то, по моему мнению, он больше подойдет для обучения математике в профильных (не математических) классах.» С этой цитатой я не согласна, т.к. шуточных рисунков в нем нет. Есть разные изречения в начале каждой главы. Например, самое первое изречение - А.Д. Александрова звучит так: «Холодные числа, внешне сухие формулы математики полны внутренней красоты и жара сконцентрированной в них мысли.»

В ходе построения графиков тригонометрических функций и их преобразований каждый ученик, я думаю, может увидеть эту внутреннюю красоту.

Литература

1. Алимов Ш.А. Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы//учебник – Москва: Просвещение, 2021

2. Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы//учебник – Москва: Просвещение, 1992

3. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы//учебник – Москва: Просвещение, 1999

4. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы//учебник – Москва: Мнемозина. 2003

#1041;ескин Н.М. Вопросы тригонометрии и ее преподавания//Москва: Учпедгиз, 1950

#1050;рамор В.С. Тригонометрические функции//Москва: Просвещение, 1979

7. Мордкович А.Г. Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной школе//