Этапы урока

Время

Деятельность учителя

Деятельность

обучающихся

Формируемые УУД

ФОУД

I. Мотивационно-целевой этап

17 мин

1.1 Организационный момент.

1.2 Постановка проблемной ситуации.

Что нового вы узнали на предыдущих уроках?На этом уроке мы продолжим исследовать функции с помощью производной.

На предыдущих уроках узнали как с помощью производной найти  критические точки, промежутки возрастания, убывания функции, ее экстремумы, наибольшее/наименьшее значение

Фронтальная

На экране вы видите график  функции  y=f (x):

Какие свойства функции можно определить по графику? Назовите их.

Как найти точки экстремумов функции?

1) D(f) = R;

2) функция непрерывна

3) Функция возрастает  на отрезке [-2; 0,5] и на промежутке  [3; +∞), а значит,  f '(x) > 0  на  (-2; 0,5) и на (3; +∞).

Убывает на (-∞; -2] и на  [0,5; 3], а,  значит, f '(x) < 0   на (-∞; -2) и на  (0,5; 3).

4)наибольшее значение функции не существует, наименьшее равно-2

E(f) = [-2; +∞).

Если производная при переходе через критическую точку меняет знак с «+» на «-», то данная точка является точкой максимума, если же производная при переходе через критическую точку меняет знак с  «-»на «+», то данная точка является точкой минимума, если производная при переходе через критическую точку знак не меняет, то данная критическая точка не является точкой экстремума.

познавательные
(формулирование
познавательной цели)

регулятивные

(целеполагание)

личностные
(смыслообразование)

Групповая

Сформулируйте алгоритм нахождения промежутков возрастания, убывания и экстремумов функции у = f(x), заданной аналитически.

Исследуйте функцию

f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

Учитель записывает на доске
под диктовку учащихся.

Учащиеся формулируют, на экране последовательно открываются шаги алгоритма.

1. Найти область определения функции.

2. Найти производную функции.

3. Найти критические точки.

4. Отметить на числовой прямой область определения и критические точки. Пользуясь обобщенным методом интервалов, определить знаки производной на полученных промежутках.

5. Пользуясь достаточными признаками, найти промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции.

1. D(f) = R,  f(x) непрерывна на D(f).
2. Функция общего вида непериодическая.
3. Точки пересечения с осью х:  (0; 0) и (-3; 0), т. к. f(x)=0, т. е. ⅓x³+2x²+3x=0

                                  ⅓x (x²+6x+9)=0

                                  ⅓x (х + 3)² = 0

                                   х = 0; х = -3

групповая

- Что вы повторили?

1.3 Постановка проблемного вопроса

- Как вы думаете, какое следующее задание я вам предложу?

 - Итак, вы провели исследование функции. А теперь вам надо, используя результаты исследования, построить график функции f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

Возникнут ли у вас затруднения?

 с осью у: (0; 0).

4. Производная функции: 
5. f '(x) = x² + 4х + 3,  D(f '(x)) =R

критические точки: f '(x) = 0

при х = -3, х = -1.

Отмечаем на числовой прямой критические точки и определяем знаки производной на полученных промежутках:

  f '(x) > 0   на (-∞; -3) и на (-1; +∞); f '(x) < 0 на  (-3; -1), значит, f(x)  возрастает  на (-∞; -3] и на  [-1; +∞), убывает на  [-3; -1].

fmax = 0 при х = -3, fmin = -4 при х = -1

           4) Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

           5) E(f) = R

1.4 Выявление затруднений

Учитель предлагает нескольким учащимся озвучить затруднения.

 - Какое задание вы должны были выполнить? 

 - Почему у вас возникли затруднения?

 - Что вы используете для исследования функции?

1.5 Построение проекта выхода из затруднения.

 Сформулируйте цель вашей деятельности.Cформулируйте тему урока. Тема урока открывается на доске. Итак, у вас возникло затруднение при построении графика функции. Что вы раньше использовали для построения графиков функций?

Используя данные исследования, построить график функции

Не знаем способа построения графиков по данным исследования функции

Производную.

Узнать способ построения графика, используя исследование функций с помощью производной.

Применение производной для построения графиков функций.

таблицы с некоторыми точками, принадлежащими графику.

II. Процессуально-познавательный этап

20 мин

-  Но часто точки не дают объективной картинки графика. И теперь, зная алгоритм исследования функции, какие данные будете вносить в таблицу?

2.1 Реализация построенного проекта. На доске открывается пустая таблица:

Результаты, полученные в таблице, переносим на координатную плоскость.

Что еще можно сделать, чтобы более точно построить график?

нужно внести в таблицу результаты исследования функции, затем по таблице построить график

Перечисляют шаги, которые вы выполняли при исследовании функции.

(По ходу заполняется таблица)

Можно найти несколько дополнительных точек, принадлежащих графику функции.

Познавательные (знаково-символическое моделирование, умение структурировать знания, умение осознанно строить речевые высказывания в устной и письменном виде);

На доске появляетсяграфик функции f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x

Вы построили график функции.

Как вы это сделали?

2.2 Первичное закрепление приобретенных знаний.

Что теперь необходимо сделать?

Постройте теперь график

функции  f(x) = х + .

Мы создали алгоритм построения графика. (Еще раз проговариваем этапы исследования функции и построения ее графика)

надо научиться использовать алгоритм для построения графиков

Один ученик работает у доски, комментируя свои действия, остальные – в тетрадях.  

1. D (f) = (-∞; 0) U (0; + ∞), 
2.  f(x) непрерывна на D (f).
3. Производная функции: f '(x) = 1 – 4/ x².

D(f ') = (-∞; 0) U (0; + ∞).

4. Критические точки: f'=0 при х=2 и х=-2, точек, в которых f'  не существует–нет.

регулятивные (умение контролировать процесс и результаты своей деятельности, умение различать субъективную сложность задачи и объективную трудность);

5. Дополнительные точки:  

       6.  График функции:

личностные (развитие познавательных интересов, учебных мотивов, формированиеготовности  к сотрудничеству, оказанию помощи).

2.3 Самостоятельная работа с самопроверкой по образцу

– А теперь давайте проверим, как каждый из вас понял, как применять построенный алгоритм.

Исследовать функцию и построить ее график

− У кого задание вызвало затруднение?

− На каком шаге алгоритма?

− В чем причина возникшего затруднения?

− У кого задание выполнено правильно?

Учащиеся выполняют задание самостоятельно, после выполнения работы учащиеся сопоставляют свои работы с подробным образцом:

1) D (f) = R, функция непрерывна.

2) y| = 3x2 – 6x

3) 3x2 – 6x = 0; D (f|) = R

х1 = 0; х2 = 2

индивидуальная

3. Рефлексивно-оценочный этап

3 мин

3.1 Рефлексия учебной деятельности на уроке.

– Что нового вы сегодня узнали? Что вы создали? Где вы сможете применить новые знания?Оцените свою деятельность на уроке: поднимите руку, если вы поняли, как построить график функции, иначе не поднимайте.

3.2 Информация о домашнем  задании. Прочитать п.24, разобрать примеры выполнения заданий в нем, выполнить
№ 300−301 (а, б), 304 (б), аналогичные заданиям из классной работы.

3.3 Оценка содержательного аспекта деятельности обучающихся на уроке.

Мы узнали, как можно построить график функции с помощью производной.

Мы создали алгоритм построения графика.

Записывают домашнее задание, задают вопросы, если они есть.

коммуникативные (оценка совместных действий)

регулятивные (контроль, коррекция и оценка своих результатов)

Фронтальная