Подготовительные материалы и методические рекомендации по геометрии для подготовки учащихся 9 классов к государственной итоговой аттестации
методическая разработка по геометрии (9 класс) по теме

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 147

Города Челябинска

Центральный район

В.М. Казак

ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ И  МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОДГОТОВКЕ ВЫПУСКНИКОВ 9-Х КЛАССОВ К ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗА КУРС ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ.

ГЕОМЕТРИЯ

Челябинск, 2012

Введение

Основной целью государственной (итоговой) аттестации по геометрии  выпускников девятых классов общеобразовательных учреждений является проведение открытой и объективной процедуры оценивания учебных достижений школьников, обладающей широкими дифференцирующими возможностями. Экзаменационная работа рассчитана на выпускников IX классов общеобразовательных учреждений (школ, гимназий, лицеев), включая классы с углубленным изучением математики. Результаты экзамена могут быть использованы при комплектовании профильных десятых классов, а также при приеме в учреждения системы начального и среднего профессионального образования без организации дополнительных испытаний.

Преподавание математики в 2011 – 2012 учебном году ведется в соответствии со следующими нормативными документами:

1. Приказ МО РФ №1089 от 05.03.2004 «Об утверждении федерального компонента государственных  образовательных стандартов начального, основного общего и среднего (полного) общего образования». Сборник нормативных документов. Математика. / Сост. Э.Д. Днепров, А.Г. Аркадьев.- М.: Дрофа, 2007.

2. Примерные программы основного и среднего (полного) общего образования по математике./ Сост. Э.Д.Днепров, А.Г. Аркадьев.- М.: Дрофа, 2007.

3. Приказ  МО и Н РФ №2080 от 24.10.2010 г. «Об утверждении перечня учебников, рекомендованных (допущенных) к использованию в образовательном процессе в образовательных учреждениях, реализующих образовательные программы общего образования  и имеющих государственную аккредитацию,  на 2011 – 2012 учебный год».

4. Приказ МО и Н Челябинской области «О формировании учебных планов общеобразовательных учреждений Челябинской области на 2011-2012 учебный год».

5.Областной базисный учебный план Челябинской области (приказ МО и   Н Челябинской области № 04-997 от 16.06.2011)

6. Письмо МО и Н Челябинской области № 103/3104 от 31.07.2009 г. «О разработке рабочих программ курсов, предметов, дисциплин (модулей) в общеобразовательных учреждениях Челябинской области.

7. Приложение к письму МО и Н Челябинской области от 28.06.2010 №103/3073 «О преподавании учебного предмета «Математика» в общеобразовательных учреждениях Челябинской области в 2010/2011 учебном году».

8. Приложение к письму МО и Н Челябинской области от 18.07.2011 №103/4275 «О преподавании учебного предмета «Математика» в общеобразовательных учреждениях Челябинской области в 2011/2012 учебном году».

1. Рекомендации для учителей математики по подготовке к ГИА по геометрии и совершенствованию учебного процесса  

Изучить нормативные правовые акты, регламентирующие проведение государственной (итоговой) аттестации обучающихся общеобразовательных учреждений в независимой форме.

Проанализировать результаты аттестации по математике в 2010-2011  году.

Изучить список литературы, обзор цифровых образовательных ресурсов и перечень ресурсов сети Интернет, полезных в работе учителя математики для подготовки к итоговой аттестации по геометрии.

Поскольку в  контрольно-измерительные материалы ГИА за курс основной школы  включены задания по геометрии, выполнение которых учитываются при определении порога успешности, то этот факт актуализирует своевременное изучение геометрии в полном объеме. Незнание фундаментальных метрических формул, свойств основных планиметрических фигур полностью лишает ученика возможности применить свои знания АО геометрии при решении соответствующих заданий ГИА.

Обратим внимание на основной список тем по геометрии, подлежащей контролю в конце 9 класса на уроках заключительного повторения, а также при прохождении текущего программного материала:

1. Виды треугольников. Замечательные линии и точки в треугольнике (медиана, средняя линия, высота, биссектриса, серединный перпендикуляр к стороне).
2. Вписанная и описанная окружности.
3. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника.
4. Теорема синусов.
5. Теорема косинусов.
6. Теорема Пифагора.
7. Виды четырехугольников. Свойства и признаки параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата и трапеции.
8. Формулы площадей плоских фигур.
9. Координатный и векторный методы решения геометрических задач.

Введение государственной итоговой аттестации по математике в новой форме в 9 классе вызывает необходимость изменения в методах и формах работы учителя. Это обусловлено тем, что изменены требования к знаниям, умениям и навыкам учащихся в материалах экзамена. Само содержание образования существенно не изменилось, но существенно сместился акцент к требованиям к знаниям и умениям выпускника. Изменились формулировки заданий: задания стали нестандартными, задаются в косвенной форме, ответ на вопрос требует анализа условия задачи. И это все в первой части экзаменационной работы, которая предусматривает обязательный уровень знаний учащихся. Содержание  заданий изобилует математическими тонкостями, на отработку которых в общеобразовательной программе не отводится достаточного количества часов. Кроме того, необходимо учитывать низкий уровень мотивации к учению, подготовленность  учащихся и уровень классов в разных общеобразовательных учреждениях. В этой ситуации в наиболее выгодном положении находятся  школы и классы с углубленным изучением математики. В общеобразовательных классах основное внимание необходимо уделить отработке первой части по математике, так как  только первая часть обеспечивает удовлетворительную отметку.

Для реализации этого  принципа необходимо изменить календарно-тематическое планирование (КТП). Учитель математики должен составить КТП  таким образом, чтобы осталось достаточное количество часов на заключительное повторение всего учебного материала. Количество часов можно сэкономить на тех темах, которые не требуют выработки навыков, а проходят в алане ознакомления, а также сократить число часов на отработку навыков невостребованных тем. Такие изменения  необходимо делать очень осторожно, тщательно проанализировав содержание КИМ.

1. Включить в изучение текущего учебного материала задания, соответствующие задания из открытого банка тестовых заданий.
2. В содержание текущего контроля включать экзаменационные задания.
3. Изменить систему контроля над уровнем знаний учащихся по математике.
4. Итоговое повторение построить исключительно на отработке умений и навыков, требующих  для получения положительной отметки на экзамене.

Подготовка ко второй части осуществляется как на уроках, так и во внеурочное время, на элективных курсах. Используются учебно-методические пособия, рекомендованные ФИПИ и МИОО.

Важным условием успешной подготовки к экзамену по математике является тщательное отслеживание результатов учеников по всем темам и своевременная коррекция уровня усвоения учебного материала. Данное условие требует большого количества времени учителя на подготовку к урокам, на проверку письменных работ, на проведение дополнительных занятий.  Учитель математики заинтересован в успешной сдаче его учениками выпускного экзамена.

Требования к уровню подготовки выпускников

В результате изучения геометрии выпускники основной школы должны

уметь:

1. пользоваться языком геометрии для описания предметов окружающего мира;
2. распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение;
3. изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию задач; осуществлять преобразования фигур;
4. распознавать на чертежах, моделях и в окружающей обстановке основные пространственные тела, изображать их;
5. в простейших случаях строить сечения и развертки пространственных тел;
6. проводить операции над векторами, вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами;
7. вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов), в том числе: для углов от 0 до 180° определять значения тригонометрических функций по заданным значениям углов; находить значения тригонометрических функций по значению одной из них, находить стороны, углы и площади треугольников, длины ломаных, дуг окружности, площадей основных геометрических фигур и фигур, составленных из них;
8. решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними, применяя дополнительные построения, алгебраический и тригонометрический аппарат, идеи симметрии;
9. проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя известные теоремы, обнаруживая возможности для их использования;
10. решать простейшие планиметрические задачи в пространстве;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

1. описания реальных ситуаций на языке геометрии;
2. расчетов, включающих простейшие тригонометрические формулы;
3. решения геометрических задач с использованием тригонометрии
4. решения практических задач, связанных с нахождением геометрических величин (используя при необходимости справочники и технические средства);
5. построений геометрическими инструментами (линейка, угольник, циркуль, транспортир).

Можно предложить учащимся список задач, которые они должны уметь решать для получения удовлетворительной оценки, например, в качестве заданий для самопроверки достижения обязательной подготовки по теме.

Заметим, что формирование умений решать задачи базового уровня – непременное условие для усвоения геометрии на любом уровне. Это обязательная часть учебного процесса, недооценивать которую нельзя. Только после этого этапа можно переходить к формированию умений решать геометрические задачи повышенного и высокого уровней.

Анализ данных о выполнении заданий повышенного уровня сложности  показывает, что они вызывают трудности у значительного числа учащихся, причем, не только у слабоподготовленных, но и у учащихся, продемонстрировавших при выполнении всей работы хороший уровень математической подготовки.

В числе причин неуспеха в решении таких задач можно выделить две основные:

1. во-первых, для решения задач повышенного уровня необходимо использовать имеющиеся знания в измененной учебной ситуации, т. Е. в ситуации, не всегда достаточно отрабатываемой на уроках геометрии;
2. во-вторых, при изучении некоторых разделов курса геометрии особенно проявляется слишком формальное усвоение материала учащимися. Результаты выполнения заданий повышенного уровня экзаменационной работы 2009-2010 годов выявили три таких раздела: «Векторы»,  «Правильные многоугольники»,  «Задачи практического содержания».

Таким образом, для того, чтобы быстро и успешно справляться с решением задач повышенного уровня, необходимо выполнение ряда условий. Одним из важнейших условий является уверенное владение свойствами ряда «опорных» геометрических конфигураций, которые часто используются в задачах. Другим, не менее важным, является умение проанализировать предлагаемую в задаче фигуру, распознать в ней опорную конфигурацию и установить связи между ее элементами: их взаимное расположение, метрические соотношения.

Для трех задач экзаменационной работы требуется записать решение. Для получения максимального числа баллов решение должно содержать все шаги, необходимые для получения ответа, все вычисления должны быть верными, и должны быть приведены обоснования основных моментов решения. В ходе обучения нужно обращать внимание учащихся на необходимость математически грамотно обосновывать каждый шаг решения.

Особо следует обратить внимание  на то, что задания, входящие в контрольные измерительные материалы по контролируемым в них элементам содержания не выходят за рамки образовательного стандарта. В этой связи, отметим, что успешное выполнение вариантов государственной итоговой аттестации всецело зависит от полноценного и глубокого изучения всего программного материала по действующим учебникам.

Таким образом, подготовка к государственной итоговой аттестации по геометрии в новой форме должна быть обеспечена качественным изучением нового материала, продуманным текущим повторением, и, наконец, обязательным обобщением, систематизацией знаний из различных разделов курса геометрии.

2. Список литературы для подготовки к экзамену по геометрии

К экзамену можно готовиться по учебникам, включенным в «Федеральный перечень учебников, рекомендованных (допущенных) к использованию в образовательном процессе в общеобразовательных учреждениях», помимо учебников, по которым ведется преподавание, рекомендуется использовать следующие пособия:

Существует много различных учебно-методических пособий, связанных с тестами по геометрии. Можно рекомендовать следующие издания:

1. Геометрия. 9 класс / И.И. Баврин. – М.: Дрофа, 2011.
2. Геометрия. Техника решения задач. Учебное пособие. / М.В. Лурье. – Ростов-на-Дону: Феникс: Издательский центр УНЦ ДО, 2002-2010.
3. Геометрия. Подготовка к ЕГЭ и ГИА-9. Учимся решать задачи: учебное пособие / Б.И. Вольфсон, Л.И. Резницкий. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011.
4. Геометрия: задачи на готовых чертежах: 7-9 классы / Э.Н. Балаян. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2009.
5. Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой форме. Математика. 2012. Учебное пособие. / А.В. Семенов и др.; под ред. И.В. Ященко; МЦНМО. – М.: Интеллект-Центр, 2012.
6. Математика. 9-й класс. Подготовка к ГИА-2012: учебно-методическое пособие. /Под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011.
7. Математика. 9 класс. Тематические тесты для подготовки к ГИА-2012. Алгебра, геометрия, теория вероятностей и статистика: учебно-методическое пособие /Под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. –Ростов- на-Дону: Легион-М, 2011.
8. ГИА. Математика. 9 класс. Государственная(итоговая) аттестация (в новой форме). Типовые тестовые задания / И.В. Ященко и др.  –М.: Издательство «Экзамен», 2011.
9. ГИА-2012. Математика: типовые тестовые варианты. 30 вариантов /под ред. И.В. Ященко. – М.: Национальное образование, 2011.

3. Использование цифровых образовательных ресурсов для подготовки учащихся  к государственной итоговой аттестации по геометрии

Обзор цифровых образовательных ресурсов по геометрии

При подготовке к итоговой аттестации по геометрии учитель может использовать цифровые образовательные ресурсы (ЦОР) как на различных этапах урока (проверка домашнего задания, организация фронтального опроса, подготовка учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала, объяснение нового материала, усвоение новых знаний, закрепление новых знаний, промежуточный и итоговый контроль ЗУН, информирование учащихся о домашнем задании, инструктаж по его выполнению, и др.), так и для реализации индивидуальной образовательной траектории  обучающегося.

Использование цифровых образовательных ресурсов в обучении геометрии способствует не только  повышению интереса у школьников к учебному предмету, но и развитию аналитических, проекционных и конструкторских способностей; развитию психических функций (логическое мышление, память, внимание, воображение, восприятие, др.); формированию коммуникативных навыков и готовности к самостоятельной  научно-исследовательской работе.

1) Учебники геометрии, к которым разработаны наборы цифровых образовательных ресурсов (ЦОР), расширяющие учебники/УМК – это представленные в цифровой форме фотографии, видеофрагменты, статические и динамические модели, объекты виртуальной реальности и интерактивного моделирования, картографические материалы, звукозаписи, символьные объекты и деловая графика, текстовые документы и иные учебные материалы, необходимые для организации учебного процесса.

Атанасян Л. С. и др. Геометрия, 7—9. — М.: Просвещение, 2010.

2) Информационные источники сложной структуры (ИИСС) – это цифровой образовательный ресурс, основанный на структурированных цифровых материалах (текстах, видеоизображениях, аудиозаписях, фотоизображениях, интерактивных моделях и т.п.) с соответствующим учебно-методическим сопровождением, поддерживающий деятельность учащихся и учителя по одной или нескольким темам (разделам) предметной области или обеспечивающий один или несколько видов учебной деятельности в рамках некоторой предметной области.

1. «Геометрический планшет для построения на плоскости»

Булычев В., Емельянов Л. ооо «дос»,2009.

Этот ресурс предназначен для использования в рамках курса планиметрии 7—9-х классов основной шко лы и 10—11-х классов профильной школы, а так же для проведения математических кружков и факультативов. Регулярное применение планшета призвано сделать изучение геометрии более осознанным и интересным, раскрыть творческие способно сти учащихся, помочь в нахождении законо мерности в геометрических конструкциях, дать возможность не только экспериментально про верять геометрические факты и гипотезы, но и выдвигать собственные гипотезы на основании эксперимента. Этот ресурс включен в Единую коллекцию цифровых образовательных ресурсов, можно скачать с http://school-collection.edu.ru/.

2. «Конструктивные геометрические задания»

Дубровский В., Егоров Ю., Ерганжиева Л.

М.:ЗАО «1С»,2009.

Этот ресурс представляет собой подборку 200 задач с про веркой их решений и представлением авторских решений в нескольких вариантах, выполненных в виде интерактивных моделей. Ресурс можно эффективно использовать для подготовки к итоговой аттестации по геометрии. Этот ресурс включен в Единую коллекцию цифровых образовательных ресурсов, можно скачать с http://school-collection.edu.ru/.

3. «Школьный математический словарь-справочник»

Дубровский В., Раббот Ж.  М.: ЗАО «1С»,2009.

Этот ресурс представляет собой гипертекстовую справоч ную систему, содержащую определения и разъ яснения основных понятий школьного курса ма тематики, описания их взаимосвязей, разбор основных методов и алгоритмов решения типовых задач и иллюстраций к ним. Словарные статьи, сгруппированные в алфавитном порядке, содер жат и понятия, и конкретные примеры в виде графиков и моделей. Этот ресурс включен в Единую коллекцию цифровых образовательных ресурсов, можно скачать с http://school-collection.edu.ru/.

4. «Дидактические игры на уроке математики»

Башмаков М., Дубровский В., Поздняков С.

М.: ЗАО «1С»,2009.

Этот ресурс предназначен для введения дидактической игры как одного из основных средств решения учебных задач в преподавании математики в 5-6-х классах, алгебры и геометрии — в 7-9-х классах. Активное использование на уроке игровых си туаций позволяет повысить мотивацию учебной работы, включить в работу недостаточно под готовленных учащихся, индивидуализировать процесс обучения, развивать коммуникативные способности и коммуникативные навыки. Этот ресурс включен в Единую коллекцию цифровых образовательных ресурсов, можно скачать с http://school-collection.edu.ru/.

5. Виртуальная школа Кирилла и Мефодия «Уроки геометрии 7 класс», «Уроки геометрии 8 класс», «Уроки геометрии 9 класс» .  

М.:ОАО «Кирилл и Мефодий,2008..

Этот ресурс предназначен для использования в рамках курса планиметрии 7—9-х классов основной шко лы, а так же для проведения математических кружков и  факультативов. Этот комплект позволяет осуществить

1. получение основополагающих знаний по изучаемому курсу;
2. дополнительные материалы – энциклопедические статьи;
3. отработку умений и навыков с помощью интерактивных тренажеров;
4. проверку знаний по отдельным частям темы, целиком по теме;
5. обучение самостоятельной работе с материалом;
6. выявление слабых мест в понимании предмета и стимулирование к более глубокому его изучению;
7. подготовку к экзамену.

3) Инновационные учебно-методические комплексы (ИУМК) – это полный набор средств обучения, необходимых для организации и проведения учебного процесса, который за счет активного использования современных педагогических и информационно-коммуникационных технологий должен обеспечивать достижение образовательных результатов, необходимых для подготовки учащихся к жизни в информационном обществе, включая:

• фундаментальность общеобразовательной подготовки;

• способность учиться;

• коммуникабельность, умение работать в коллективе;

• способность самостоятельно мыслить и действовать;

• способность решать нетрадиционные задачи, используя приобретенные предметные, интеллектуальные и общие знания, умения и навыки.

6.  «Геометрия. 9 класс. Динамическая геометрия»  

Вернер А., Никитин А., Поздняков С. и др.

М.: Просвещение,2009.

По сравнению с классическими подходами к преподаванию геометрии в  данном ИУМК ста вится задача познакомить выпускников основ ной школы с более современными методами гео метрии: векторным методом, методом координат и методом преобразований. При этом ключевой становится тема «Преобразования»: появление в школе компьютерной техники позволяет изу чать эту тему на новом, динамическом уровне, невозможном ранее при статичных иллюстра циях в школьных учебниках и учебных пособи ях. ИУМК предоставляет учителю и ученику воз можность дифференцированного подхода к изу чению геометрии: от опытной, наглядной геомет рии до углубленного уровня путем рассмотрения более серьезных вопросов, касающихся тонко стей теории. В ИУМК реализовано три уровня сложности: общеобразовательный, расширен ный и углубленный. Этот ресурс включен в Единую коллекцию цифровых образовательных ресурсов, можно скачать с http://school-collection.edu.ru/.

Далее приведены ссылки на ресурсы Интернет, полезные в работе учителя математики, позволяющие использовать материалы при подготовке учащихся к государственной итоговой аттестации:

1. Российский портал открытого образования http://www.openet.edu.ru/
2. Федеральный институт педагогических измерений http://www.fipi.ru/
3. Портал информационной поддержки Единого государственного экзамена http://www.ege.edu.ru/
4. Московский центр непрерывного математического образования

http://www.mccme.ru/

5. Сеть творческих учителей. Сообщество учителей математики  

http://www.it-n.ru/communities.aspx?cat_no=4510&tmpl=com

6. Открытый класс. Сообщество «Мир математики» http://www.openclass.ru/node/2367
7. Газета "Математика" Издательского дома "Первое сентября" http://1september.ru/
8. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» («Первое сентября») http://festival.1september.ru/
9. Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов                   http://school-collection.edu.ru/
10. Сайт УМК Смирновых по геометрии для 7-11 классов http://geometry2006.narod.ru/
11. Геометрия – электронный урок «Многоугольники»  –              http://www.geometry-exe.h17.ru/
12. Математика в Открытом колледже http://www.mathematics.ru/
13. Интернет-поддержка учителей математики http://www.math.ru/
14. AIlmath.ru — вся математика в одном месте http://www.allmath.ru/
15. Exponenta.ru: образовательный математический сайт http://www.exponenta.ru/
16. Вся элементарная математика: Средняя математическая интернет-школа http://www.bymath.net/
17. Геометрический портал http://www.neive.by.ru/
18. Задачи по геометрии: информационно-поисковая система http://zadachi.mccme.ru/
19. Математические этюды http://www.etudes.ru/
20. Математические олимпиады и олимпиадные задачи http://www.zaba.ru/
21. Международный математический конкурс "Кенгуру" http://www.kenguru.sp.ru/
22. Методика преподавания математики http://methmath.chat.ru/
23. Московская математическая олимпиада школьников http://olympiads.mccme.ru/mmo/
24. Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина http://www.mathnet.spb.ru/
25. Сайт Издательства «Просвещение» http://www.prosv.ru 
26. Сайт Издательства «Мнемозина» http://www.mnemozina.ru 
27. Сайт Издательства «Дрофа» http://www.drofa.ru 
28. Сайт Издательства «Вентана-Граф» http://www.vgf.ru 
29. Сайт Издательства «Интеллект-Центр» http://www.intellectcentere.ru 
30. Интернет-магазин ООО «Топ-Книга»  http://top-kniga.ru 

4.Тренировочные упражнения по теме «Векторы»

1. Сторона ромба KMNP  равна 4 см, М=120º. Найдите скалярное произведение векторов  и . Ответ: –8
2. Сторона ромба PMNK  равна 8 см, M=60º. Найдите скалярное произведение векторов  и . Ответ:  –32
3. Сторона ромба LMNP  равна 6 см, N=60º. Найдите скалярное произведение векторов  и . Ответ: 18
4. Сторона ромба PMNK  равна 9 см, M=60º. Найдите скалярное произведение векторов  и . Ответ:  –40,5
5. Сторона ромба LMNP  равна 7 см, N=60º. Найдите скалярное произведение векторов  и . Ответ: 24,5
6. Сторона ромба MLNP  равна 6 см, L=120º. Найдите скалярное произведение векторов  и . Ответ:  –18
7. Сторона ромба LNKP  равна 8 см, N=120º. Найдите скалярное произведение векторов  и . Ответ:  –32
8. Сторона ромба PKLM  равна 10 см, K=120º. Найдите скалярное произведение векторов  и . Ответ:  –50
9. В треугольнике PRS стороны RP и RS равны 8 см и 6 см, а угол между ними 60º. Найдите скалярное произведение векторов  и . Ответ: 24
10. В треугольнике PRS стороны RP и RS равны 6 см и 7 см, а угол между ними 60º. Найдите скалярное произведение векторов  и . Ответ: 21
11. В равностороннем треугольнике NPO стороной 4 проведена медиана NF. Найдите скалярное произведение векторов   и . Ответ: 12
12. В равностороннем треугольнике PRS стороной 6 проведена медиана SH. Найдите скалярное произведение векторов   и . Ответ: 27
13. В равностороннем треугольнике KLN стороной 12 проведена медиана КЕ. Найдите скалярное произведение векторов   и . Ответ: 108
14. В равностороннем треугольнике MLN стороной 14 проведена медиана NC. Найдите скалярное произведение векторов   и . Ответ: 147
15. В равностороннем треугольнике NPO стороной 20 проведена медиана NF. Найдите скалярное произведение векторов   и . Ответ: 300
16. В равностороннем треугольнике PRS стороной 40 проведена медиана SH. Найдите скалярное произведение векторов   и . Ответ: 1200

5. Практико-ориентированные задания по теме «Площадь»

6.Упражнения по теме «Параллелограмм»

7.Задачи по теме «Параллелограмм»

Задача №1

Вершина  С параллелограмма АВСD соединена с точкой К на стороне AD.

Отрезок  СК  пересекает диагональ  BD  в точке  N. Площадь треугольника CDN=12, а площадь треугольника DKN=9. Найдите площадь параллелограмма АВСD. 

Подсказка

Используйте свойство пропорциональности площадей треугольников: если треугольники подобны, то их площади относятся, как квадраты соответствующих сторон; если два треугольника имеют общее основание (или равные основания), то их площади относятся, как высоты, проведенные к этому основанию, а если у них одна и та же высота (или равные высоты), то отношение площадей равно отношению оснований.

Решение:

Задача №2  Вершина D параллелограмма АВСD соединена с точкой M на стороне AB. Отрезок DM пересекает диагональ AC в точке L. Площадь треугольника ALM=12, а площадь треугольника ADL=18. Найдите площадь параллелограмма  АВСD.

Ответ: 90.

Задача №3  Вершина B параллелограмма АВСD соединена с точкой K на стороне AD. Отрезок BK пересекает диагональ AC в точке M. Площадь треугольника AMK=18, а площадь треугольника ABM=30. Найдите площадь параллелограмма АВСD.

Ответ: 160.

Задача №4  Вершина D параллелограмма АВСD соединена с точкой L на стороне BC. Отрезок DL пересекает диагональ AC в точке M. Площадь треугольника CLM=9, а площадь треугольника CDM=15. Найдите площадь параллелограмма  АВСD.

Ответ: 80.

Задача №5  Вершина A параллелограмма АВСD соединена с точкой P на стороне BC. Отрезок AP пересекает диагональ BD в точке M. Площадь треугольника ABM=20, а площадь треугольника BMP=16. Найдите площадь параллелограмма  АВСD.

Ответ: 90.

Задача №6  Вершина B параллелограмма АВСD соединена с точкой M на стороне CD. Отрезок BM пересекает диагональ AC в точке K. Площадь треугольника BCK=6, а площадь треугольника CMK=4. Найдите площадь параллелограмма  АВСD.

Ответ: 30.

8.Промежуточная аттестация по геометрии в 7-8 классах

Введение ЕГЭ по математике в 11-х классах и новой формы государственной (итоговой) аттестации по алгебре и геометрии в 9-х классах показало необходимость перемен в традиционных педагогических технологиях, во всех формах обучения метаматематическим дисциплинам в школьном курсе математики и в осуществлении контроля  уровня подготовки учащихся.

На промежуточном контроле по геометрии проверяется соответствие знаний обучающихся требованиям государственных образовательных программ, глубина и прочность полученных знаний, их практическое применение.

Преодолевая за счет определенной системы упражнений психологическую интерференцию, учитывая преемственность в обучении, нужно искать и новые формы промежуточной аттестации по математике.

Одна из особенностей новых форм аттестации заключается в использовании тестовых технологий, которые позволяют увеличить число вопросов, выносимых на экзамен, разнообразить виды заданий, проверяя тем самым более широкий круг знаний и умений учащихся. Поэтому одной из задач учителей математики является внедрение тестовых технологий в учебный процесс. Следовательно,  переводной экзамен по геометрии в 7 – 8 классах должен проводиться по модели, которая готовила бы учащихся к итоговой аттестации в независимой форме за курс основной школы. Экзамен предусматривает проверку знаний  учащихся по основным разделам программы в каждой параллели, причем как на базовом, так и на повышенном, и высоком уровнях. Система заданий должна быть адаптирована для каждой возрастной категории.

 Содержание переводной экзаменационной работы определяется на основе следующих документов:  

1. Приказ МО РФ № 1089 от  05.03.2004г. «Об утверждении федерального компонента государственных образовательных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования».

2.Программы основного и среднего (полного) общего образования по математике./Сост. Э.Д. Днепров, А.Г. Аркадьев.- М.: Дрофа, 2007.

Характеристика структуры и содержания экзаменационной работы по геометрии (промежуточная аттестация)

Структура экзаменационной работы по геометрии отвечает построению в современной школе системы дифференцированного обучения, основными задачами которого являются:

1. формирование у всех учащихся базовой математической подготовки;
2. создание для части школьников условий, способствующих получению математических знаний повышенного уровня при дальнейшем профильном обучении.

В соответствии с этим работа состоит из трех частей.

Часть1 содержит задания базового уровня, обеспечивающие достаточную полноту проверки овладения соответствующим материалом. При выполнении этих заданий от учащегося требуется распознать ранее изученную ситуацию и сделать вывод на основании известного теоретического факта.

Количество заданий в первой части экзаменационной работы в 7 – 8-х  классах– не  более 8 заданий. За каждое верно выполненное задание – 1 балл.

Часть 2 включает задания повышенного уровня, при решении которых от учащегося требуется применить свои знания в измененной ситуации для описанных в условии геометрических фигур, используя при этом методы, известные ему из школьного курса. Выполнение этих заданий оценивается по 2 балла. Одна из задач носит практический характер. Для её решения учащимся необходимо самостоятельно составить математическую модель реальной ситуации. В другой задаче необходимо установить, какими из перечисленных свойств обладает указанная геометрическая фигура. Следует отметить, что это задание на знание и понимание изученных геометрических фактов позволяет в то же время проверить умение проводить рассуждения при решении задачи, обнаруживая возможности для их использования. Поэтому его выполнение и оценивается 2 баллами, если указаны все 3 верных ответа и при этом не указаны неверные ответы; 1 баллом – если правильно указаны 2 верных ответа и при этом указано не более одного неверного ответа; 0 баллов – во всех остальных случаях.

Количество заданий во второй части экзаменационной работы в 7 – 8-х  классах– не более 5 заданий.

 Часть3 включает самые сложные задачи, при решении которых учащимся надо применять свои знания в новой ситуации. Эти задачи проверяют, в том числе, и умения учащихся проводить доказательные рассуждения при решении задач, ссылаясь на известные теоремы, обнаруживая возможности для их использования. Поэтому от учащихся потребуется проанализировать условие, самостоятельно разработать способ решения, привести обоснования, доказательства выполненных действий и математически грамотно записать полученное решение.

Количество заданий в третьей части экзаменационной работы в 7 – 8-х  классах– не более 2 заданий.

Время выполнения работы и условия её проведения

На проведение экзамена отводится:

1. 7 – 8-е  классы – 120 минут (3урока).

Система оценивания выполнения отдельных заданий и работы в целом

Для оценивания результатов выполнения работ учащимися применяются два количественных показателя: традиционная отметка («2», «3», «4», «5») и рейтинг: от 0 до 20 баллов (7 – 8-е  классы); назначение рейтинга – расширение диапазона традиционной отметки.

Рейтинг формируется путем подсчета общего количества баллов, полученных учащимися за выполнение всех частей работы. За каждое верно выполненное задание первой части учащемуся начисляется 1 балл. За каждое верно выполненное задание второй части до 2 баллов. За задания третьей части до 3 баллов, которые засчитываются в рейтинговую оценку ученика при верном выполнении этого задания и характеризуют относительную сложность этого задания в работе.

Примерные задания

 для промежуточной (итоговой) аттестации по геометрии

7  класс

Часть I

1.Точка С принадлежит отрезку АВ. Чему равна длина отрезка АВ, если АС=3,6 см,  ВС =2,5 см.

1) 1,1                2) 7,2                3) 6,1         4) 5

2.Один из смежных углов острый. Каким является другой угол?

1) нельзя определить        2) острый        3) тупой        4) прямой

3.Сколько отрезков, равных данному можно отложить на луче от его начала?

1) 0                2) 1                3) 2                4) бесконечно много

4.На сколько частей делят плоскость две пересекающиеся прямые?

1) 2                2) 4                3) 6                4) 8

5.Сколько прямых можно провести через одну точку?

1) 1                2) 2                3) 3                4) бесконечно много

6.Какие элементы треугольника могут проходит вне его

1) диагональ        2) высота        3) биссектриса        4) медиана

7. Известны стороны равнобедренного треугольника:  2 см и 5 см. Чему равен его периметр?

1) 9                2) 6                3) 12                4) 15

8 .В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 25°. Чему равен второй острый угол?

1) 65°                2) 25°                3) 155°        4) 90°

Часть II

3.Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.

1) Медиана всегда делит пополам один из углов треугольника.

2) Точка пересечения медиан всегда лежит внутри треугольника.

3) Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна её половине.

4) Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади.

5) Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

Ответ: ________________________

Часть III

1.В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены две биссектрисы АР и СК. Докажите, что треугольники АКС и СРА равны.

8  класс

Часть I

1.Площадь прямоугольника АВСD равна 15. Найдите  сторону ВС прямоугольника, если известно, что АВ = 5.

1) 10                        2) 2,5                        3) 3                        4) 5

2.Найдите длину окружности, описанной около прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 12.

1) 6                        2) 12                3) 36                4) 144

3.Найдите координаты вектора , если известно, что  .

1) (-7; 10)                 2) (3; 4)                 3) (-3; -4)                 4) (-3; 4)

5.         В ромбе АВСD проведена диагональ АС. Найдите  АВС, если известно, что АСD = 35.

1) 70                        2) 110                3) 145                4) 125

6.Найдите абсолютную величину (модуль) вектора .

1) 4                        2) 8                        3)                 4)

Часть II

3.Диагонали трапеции АВСD пересекаются в точке Р. Найдите основание АD, если  ВР = 3,  PD = 15, ВС = 3,2.

Ответ:___________________

4 .Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.

1) Высота всегда образует с прямой, содержащей одну из сторон треугольника, равные углы.

2) В прямоугольном треугольнике высота может совпадать с одной из его сторон.

3) Точка пересечения высот произвольного треугольника – центр окружности, описанной около этого треугольника.

4) Высота всегда делит треугольник на два треугольника равной площади.

5) Высота может лежать и вне треугольника.

Ответ: ________________________

Часть III

1.Внутри треугольника ABC взята точка D, такая,                                                             что ABD = ACD = 45°. Докажите, что отрезки AD и ВС перпендикулярны и равны, если угол ВАС равен 45°.

2.В трапеции проведена диагональ. Площади полученных при этом треугольников относятся как 2:3. найдите площадь трапеции, если ее высота равно 6 см, а большее основание равно 9 см.

Шкала пересчета первичного балла за выполнение

экзаменационной работы в отметку по пятибалльной шкале

 (к представленным примерным вариантам для промежуточной (итоговой) аттестации по геометрии в 7-8-х классах)