Памятка для подготовки ГИА "Четырехугольники"
методическая разработка (геометрия, 9 класс) по теме

Четырехугольники

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков,  никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.

  Выпуклый ABCD  и невыпуклый A1B1C1D1.

Две несмежные стороны,  две вершины, не являющиеся соседними, четырехугольника называются противоположными.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:  противоположные стороны равны;  противоположные углы равны;       диагонали точкой пересечения делятся пополам;                                  сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;                                                биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник;                                                                сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:     d12+d22=2(a2+b2).

Признаки параллелограмма. Четырехугольник является параллелограммом, если:  1)  две его противоположные стороны равны и параллельны;  2)  противоположные стороны попарно равны;      3)  диагонали точкой пересечения делятся пополам.  Площадь  параллелограмма:

S = aha    или   S = ab sin α    или   S =d1d2 sin φ   ,  где   a и b — смежные стороны; α— угол между ними; ha — высота, к стороне a.                                    d1, d2 — диагонали;  φ— угол между ними.

Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие не параллельны.   Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.

Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Свойства трапеции:  ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;

если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;

если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;

если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.

Признак трапеции:   четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны.          

  Площадь трапеции:

S=(a+b)h       или  S =  lh                                                                              a и b — основания; h – высота ; l — средняя линия.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника:  диагонали равны.    И все свойства параллелограмма.

Признаки прямоугольника.  Параллелограмм является прямоугольником, если:       1) один из его углов прямой;  2) его диагонали равны.       Площадь прямоугольника:

                          S = ab     или S =d1d2 sin φ                                                                            

 где   a и b — смежные стороны , d1, d2 — диагонали;  φ— угол между ними.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба: диагонали перпендикулярны и  делят его углы пополам.  Все свойства параллелограмма.

Признаки ромба.   Параллелограмм является ромбом, если:  1) две его смежные стороны равны; 2) его диагонали перпендикулярны;  3)  одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

Площадь  ромба: 

     S = aha      или   S = a2sin α       или S =d1d2           где   a - сторона; α— угол между сторонами;    ha — высота, к стороне a;  d1, d2 — диагонали

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата: все углы квадрата прямые;  диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Признаки квадрата.  Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.  

Площадь  квадрата:  S = a2    и ли   S =d2         где d — диагональ, a - сторона

 Площадь  произвольного  выпуклого четырехугольника: 
d1, d2 — диагонали; — угол между ними; S — площадь.

S =d1d2 sin φ