Комплект заданий для подготовки к ОГЭ по теме "Треугольники" (Часть 2)
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9, 11 класс) на тему

ЗАДАЧИ  НА   ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

1. Отрезки АВ и СD пересекаются в точке О. СО = ВО, . Докажите равенство треугольников АОС и DОВ.

2. Докажите, что медианы, проведённые к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны.

3. Биссектриса прямого угла треугольника делит его на два равнобедренных треугольника. Докажите, что исходный треугольник равнобедренный.

4. Точки М, N, P – середины сторон АВ, ВС, АС треугольника АВС соответственно (см. рис.) Докажите равенство треугольников МNP и СРN.

5. Треугольник АВС – прямоугольный  (), СН – высота. Докажите, что треугольники АВС и ВСН подобны.

6. Точки М, N, P – середины сторон АВ, ВС, АС треугольника АВС соответственно (см. рис.) Докажите, что треугольник МNP подобен треугольнику АВС.

7. В треугольнике АВС АВ = 5, АС = 2, ВС = 4. Точка К лежит на стороне ВС и ВК = 1, точка М лежит на стороне АВ и ВМ = 1,25 (см. рис.) Докажите, что .

8. В треугольнике АВС проведены биссектрисы ВК и CL, пересекающиеся в точке О. Докажите, что треугольники KOL и ВОС подобны, если известно, что отрезок KL параллелен стороне ВС.

9. Медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена. Докажите, что данный треугольник прямоугольный.

10. Высоты треугольника равны 12, 15 и 20 см. Доказать, что треугольник прямоугольный.

Доказательство.

Пусть S – площадь треугольника, тогда его стороны:   

 по теореме, обратной теореме Пифагора треугольник – прямоугольный.

Задачи повышенного уровня сложности.

1. Найдите гипотенузу  прямоугольного треугольника  с острым углом , если известно, что высота треугольника, опущенная на гипотенузу, равна 2.

Решение.

1) CН – высота прямоугольного треугольника АВС,  Проведем медиану СМ.

2) , как внешний угол  равнобедренного .

3) - прямоугольный.  .

4)

Ответ. 8.

2. В треугольнике MNP проведена медиана MD. Найдите её длину, если   

Решение.

1) Проведём высоту МК. Тогда .

2) - прямоугольный. По теореме Пифагора

3) - прямоугольный. По теореме Пифагора

4)

5) Т.к. , то - прямоугольный по теореме, обратной теореме Пифагора  

Ответ. 2.

3. Вычислите биссектрису большего угла , если АВ=6, ВС=9, АС=10.

Решение.

1) АС – большая сторона- больший.

2) Т. к. ВК – биссектриса, то

3) ;  .

4) Т. к. ВК – биссектриса, то

,

Ответ. 

4. Основание равнобедренного треугольника равно , а медиана, проведённая к боковой стороне, равна 5. Найдите длины боковых сторон.

Решение.

1) - равнобедренный, значит высота BD является медианой.

2) По свойству медиан

3) - прямоугольный. По теореме Пифагора    (по свойству медиан)

4) - прямоугольный. По теореме Пифагора

Ответ. 6.

5. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определите площадь треугольника.

Решение.

1) Т.к. BD – биссектриса, то .

Значит , т.е. AD = 5 см, DC = 4 см.

2) Пусть , тогда по теореме Пифагора  и  ;

;

3) см2

Ответ. 54.

6. Площадь треугольника АВС равна 30 см2. На стороне АС взята точка D так, что . Длина перпендикуляра DE, проведённого к стороне ВС, равна 9 см. Найдите ВС.

Решение.

1)  и   имеют общую высоту, значит    см2.

2)

;    см.

Ответ. 4.

7. Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 8 и 9. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота треугольника делит ее пополам.

Решение.

Треугольники АНМ, ВКМ и ВНС подобны, т.к. они прямоугольные и первые два имеют равные углы (- вертикальные), а вторые два имеют общий угол - . Имеем: , т.е. , откуда .

Следовательно, ВМ = 6, ВН = 12.

Ответ. 12.

8. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 3: 2, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 12 см.

Решение.

1) Т. к. ВЕ - биссектриса , то

2) Т. к. АО - биссектриса , то , значит  и .

3) см.

Ответ. 30.

9. В равнобедренном треугольнике высоты, проведённые к основанию и к боковой стороне, равны соответственно 10 и 12. Найдите длину основания.

Решение.

1)  и подобны (- общий, - прямые)  

Пусть  , тогда

2) - прямоугольный. По теореме Пифагора , т.е.

3) Получаем:

Ответ. 15.

10. В остроугольном треугольнике АВС из вершин А и С опущены высоты АР и СQ на стороны ВС и АВ. Известно, что площадь  равна 18, площадь  равна 2 и . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Решение.

1) Т. к. , то точки A, Q, P, B – лежат на одной окружности, причем АС – её диаметр.

2)  по свойству вписанного четырехугольника, но

3) и подобны по двум углам

Т.к. , то  

4)

5)

Ответ. 4,5.

Задачи высокого уровня сложности.

1. На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты точки К, L  и М соответственно так, что . Найдите площадь треугольника КLМ, если площадь треугольника АВС равна 321.

Решение.

1) Пусть К1, М1 и L1 – середины АМ, СL и ВК

соответственно.

Тогда из условия.  следует, что

, , .

2)  подобен ( - общий, ).

Аналогично  подобен  и  подобен , где .

Значит .

3) , т.к.  и  имеют общую высоту и равные основания.

Аналогично , .

4)

Ответ. 107.

2. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Найти расстояние между точками пересечения его биссектрис и точкой пересечения медиан.

Решение.

1) - прямоугольный. По теореме Пифагора см

2) CD – медиана, значит см

Пусть Е – точка пересечения медиан, тогда  см

3) Проведём , тогда DF – средняя линия ; см, см

4) Проведём  , тогда  и  и  подобны  см, см

5) Пусть М – точка пересечения биссектрис, т.е. центр вписанной окружности в .

Тогда , где .

, где см2, см  см

Т.к. СМ – биссектриса, то см, см.

Ответ. 1.

3. Точка М лежит внутри равностороннего треугольника АВС. Вычислите площадь этого треугольника, если известно, что АМ = ВМ = 2, а СМ = 1.

Решение.

1) Т.к. АМ = ВМ, то точка М лежит на серединном перпендикуляре,

 проведенном к стороне АВ.

Т.к.  - равносторонний, то М лежит на высоте СD.

2) Пусть АВ = .

- прямоугольный. По теореме Пифагора , т.е.  (1)

- прямоугольный. По теореме Пифагора , т.е.  (2)

Из (2) равенства: . Подставим данное выражение в равенство (1):

, тогда

3)

Ответ. 

4. Один угол треугольника в 2 раза больше другого, а разность длин противоположных им сторон равна 2 см. Длина третьей стороны треугольника равна 5 см. Вычислите площадь треугольника.

Решение.

1) Пусть , тогда см, а см

Проведём биссектрису AD, тогда  подобен  

( - общий, )  , т.е.  (1)

2) Т.к. AD биссектриса, то .

Получим:  или , тогда

   или  (2)

3) Из равенств (1) и (2) следует, что , откуда

см,  тогда см

4) По формуле Герона , где см

 см2

Ответ. .

5. Биссектриса угла В треугольника ABC делит медиану, проведенную из вершины С, в отношении 7:2, считая от вершины С. В каком отношении, считая от вершины А, эта биссектриса делит медиану, проведенную из вершины А?

Решение.

1) Пусть - биссектриса угла В треугольника АВС,  - его медиана.

.

Т.к. , то в   (по свойству биссектрисы угла треугольника) - рис. 1.

2) Пусть - медиана .  - рис. 2.

Т.к. , , то .

3) Значит в :

Ответ. 8 : 7.

6. Прямая пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках Р и М соответственно. Найдите отношение площади треугольника АРМ к площади четырёхугольника МСВР, если АР : РВ = 5 : 4, АМ : МС = 3 : 5.

Решение.

1) Т.к. , то . Т.к. , то

2) , значит .

3) Тогда , значит

Ответ. 5 : 19.

7. Найдите площадь остроугольного треугольника АВС, если известно, что , , а медиана

Решение.

1) В :

2) Проведём через т. М прямую . Тогда по теореме Фалеса  (АМ - медиана), т.е.  - средняя линия .

3) Т.к. , то - прямоугольный и .

По Т. Пифагора .

4) Т.к. , то ,

5)

Ответ. 

8. Внутри прямого угла дана точка М, расстояние от которой до сторон угла равны 4 и 8 см. Прямая, проходящая через точку М, отсекает от прямого угла треугольник площадью 100 см2. Найти катеты треугольника.

Решение.

1) Пусть ; тогда , т.е.

2) Т.к. и  подобны, то  или

3) Получаем систему:    или   

откуда ;  

Ответ. 40 и 5 см или 10 и 20 см.

9. Дан треугольник АВС такой, что АВ = 15 см, ВС = 12 см и АС = 18 см. В каком отношении центр вписанной в треугольник окружности делит биссектрису угла С?

Решение.

1) Т.к. CD - биссектриса, то , откуда см,  см

2) см

3) Проведём OF , ОЕ - радиусы окружности. Пусть CF=x, т.к. , то , см.

4) По формуле Герона  см2

5) Т.к. , то см, значит см.

см, значит

Ответ. 2 : 1.

10. Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н, а медианы - в точке М. Точка К - середина отрезка МН. Найдите площадь треугольника АКС, если известно, что АВ = 6, СН = 3, .

Решение.

1) СР - высота, BL - медиана, ,  и - основания перпендикуляров, проведенных соответственно из точек Н, К и М  к АС.

2) В  - прямоугольном, , значит

3) В  - прямоугольном,

4) Аналогично в   - прямоугольном,

5)  и  подобны по двум углам (, - общий)

По свойству медиан треугольника: , значит

6) Т.к. К - середина МН, то по т. Фалеса - середина , значит  - средняя линия трапеции .

7)

Ответ. 5,625

Задачи для самостоятельного решения

1. Точка на гипотенузе прямоугольного треугольника, равноудаленная от обоих катетов, делит гипотенузу на отрезки длиной 30 и 40 см. Найдите катеты треугольника.

Ответ. 42 и 56 см.

2. Длины двух сторон остроугольного треугольника равны  и . Найдите длину третьей стороны, если она равна длине, проведённой к ней высоты.

Ответ. 3.

3. Медиана, проведённая к одной из боковых сторон равнобедренного треугольника, делит его периметр на части длиной 15 и 6. Найдите длину боковой стороны.

Ответ. 10.

4. На стороне АС треугольника АВС взята точка Е такая, что ЕС = АВ. Пусть К – середина ВС, М – середина АЕ. Найдите градусную меру угла ВАС, если .

Ответ. 40.

5. Периметр прямоугольного треугольника АВС () равен 72 см, а разность между длинами медианы СМ и высоты СК равна 7 см. Найдите длину гипотенузы.

Ответ. 32.

6. В треугольнике АВС АВ = ВС, BF и AE – высоты, . Найдите косинус угла при основании треугольника.

Ответ. 

7. В треугольнике АВС угол В в два раза больше угла А, АС = 6, ВС = 4. Найдите длину медианы, проведённой к третьей стороне треугольника.

Ответ. 

8. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Определите площадь треугольников, на которые данный треугольник разбивается его медианами.

Ответ. 14.

9. В треугольнике АВС сторона АВ = 10, а угол А – тупой. Найдите медиану ВМ, если АС = 20, а площадь треугольника АВС равна 96.

Ответ. 16.

10. Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна  и делит прямой угол в отношении . Найдите больший катет.

Ответ. 6.

11. Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 4 и 18. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота треугольника делит ее пополам.

Ответ. 12.

12. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении

4 :3, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 9 см.

Ответ. 21.

13. Биссектриса угла А треугольника АВС делит медиану, проведенную из вершины В, в отношении 5 : 4, считая от вершины В. В каком отношении, считая от вершины C, эта биссектриса делит медиану, проведенную из вершины С?

Ответ. 16 : 5.

14. Прямая пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках Р и М соответственно. Найдите отношение площади треугольника АРМ к площади четырёхугольника МСВР, если АР : РВ = 2 : 5, АМ : МС = 1 : 4.

Ответ. 2 : 33.

15. Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н, а медианы -  в точке М. Точка К - середина отрезка МН. Найдите площадь треугольника АКС, если известно, что АВ = 24, СН = , .

Ответ.

16. Около равнобедренного треугольника МРК с основанием МК, равным 48, описана окружность с центром О. Радиус окружности равен 25. Найдите расстояние от точки О до боковой стороны треугольника.

Ответ. 15.

17. В треугольнике АВС биссектриса угла А делит высоту, проведённую из вершины В, в отношении 13 : 12, считая от точки В. Найдите длину стороны ВС треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 26 см.

Ответ. 20.

18. Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см2, а гипотенуза равна 10 см. Найдите радиус вписанной окружности.

Ответ. 2.

19. В треугольнике АВС известны длины сторон: ВС = 12, АС = 15. На стороне АВ взята точка D так, что BD = 8, на стороне ВС взята точка Е так, что величины углов BDE и ВСА равны. Найдите длину отрезка DE.

Ответ. 10.

20. Около равнобедренного треугольника МРК с основанием МК, равным 48, описана окружность с центром О, радиус которой равен 25 см. Найдите расстояние от точки О до боковой стороны треугольника.

Ответ. 15.