Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
план-конспект урока по геометрии (10, 11 класс) на тему

  Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми 

     В координатах

     Угол между двумя прямыми 

     Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых 

 или 

     Взаимное расположение прямой и плоскости 

     Плоскость  и прямая 

     1) пересекаются 

     2) прямая лежит в плоскости 

     3) параллельны 

     Если  то случаи 1 - 3 имеют место, когда:

     1) 

     2) 

     3) 

СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ

- прямые в пространстве, не лежащие в одной плоскости.

Углом между С. п. наз. любой из углов между двумя параллельными им прямыми, проходящими через произвольную точку пространства. Если а и b - направляющие векторы С. п., то косинус угла между С. п. выражается формулой 

Общим перпендикуляром двух С. п. наз. прямая, пересекающая каждую из прямых и им перпендикулярная. Для любых двух С. п. существует единственный общий перпендикуляр. Уравнения (как линии пересечения двух нек-рых плоскостей) общего перпендикуляра к двум С. п. r=r1+at1 и r=r2+bt2 имеют вид 

Расстоянием между С. п. наз. длина отрезка общего перпендикуляра к этим двум прямым, концы к-рого лежат на этих прямых (или расстояние между параллельными плоскостями, в к-рых лежат С. п.). Расстояние dмежду С. п. выражается формулой 

Использование аналитической геометрии в задаче C2 ЕГЭ по математике

Материал из Викиучебника

[править]Расстояние между скрещивающимися прямыми

Обычная геометрия: в обычной геометрии расстояние между скрещивающимися прямыми находят так: Находят плоскость, перпендикулярную одной из прямой, ортогонально проецируют вторую прямую на эту плоскость и из точки пересечения первой прямой и плоскости проводят перпендикуляр к проекции второй прямой. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние между прямыми.

Аналитическая геометрия: Вводят декартовую систему координат Oxyz, находят направляющие вектора двух прямых  и  (направляющим вектором прямой называется вектор, коллинеарный данной прямой) и вектор, соединяющий любую точку первой прямой с любой точкой второй прямой , где . Расстояние между скрещивающимися прямыми находят по формуле:

, где  — это модуль смешанного произведения данных векторов, подмодульное выражение которого равно

,

а  — это модуль векторного произведения направляющих векторов данных прямых, подмодульное выражение которого равно

, а сам модуль равен 

[править]Пример

В кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние между прямыми A1D и CC1, если ребро куба равно 1.

[править]Решение с использованием обычной геометрии

Найдём плоскость, перпендикулярную прямой CC1. Это будет плоскость (ABC). Проекцией прямой A1D на плоскость (ABC) является прямая AD. Из точки С, как точки пересечения прямой CC1 и плоскости ABC опустим перпендикуляр на прямую AD, этим перпендиккуляром является прямая CD, длина которой равна 1. Откуда расстояние между данными прямыми равно 1.

Ответ: 1.

[править]Решение с помощью аналитической геометрии

Введём в точке A декартовую систему координат так, что , тогда координаты интересующих нас точек равны , а нужные нам вектора имеют координаты .

Смешанное произведение трёх векторов равно , а его модуль, соответственно, равен 1. Векторное произведение направляющих векторов равно , а его модуль тогда равен , и расстояние между прямыми равно .

Ответ: 1.

[править]Угол между двумя плоскостями

Обычная геометрия: Пусть плоскости пересекаются. Проведём плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым, угол между которыми и является искомым.

Аналитическая геометрия: Вводят декартовую систему координат Oxyz, находят координаты трёх точек каждой плоскости, находят нормальные вектора  к каждой плоскости, и находят угол между ними. Зная координаты точек A(s,t,u),B(m,n,o),C(p,q,r) находят уравнение плоскости согласно уравнению

 и упрощают его. Коэффициенты при x, y и z и будут координатами вектора нормали к плоскости. Угол между нормальными векторами находится по формуле , где в числителе стоит скалярное произведение векторов.

[править]Пример

В кубе ABCDA1B1C1D1 найти угол между плоскостями ACC1 и BB1D1, если ребро куба равно a.

[править]Решение методом обычной геометрии

1. , где 

2. 

3.  (как угол между диагоналями квадрата, ABCD — квадрат, как одно из оснований куба.

Ответ: 

[править]Решение методом аналитической геометрии

Введём декартовую систему координат Oxyz так, что , тогда координаты интересующих нас точек равны . Уравнение плоскости ACC1:

Уравнение плоскости BB1D1:

. Так как скалярное произведение векторов равно 0, то угол между ними и, соответственно, искомый равен 

Ответ: 90circ

Кратчайшее расстояние между двумя прямыми

Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми (прямые не лежат на данной плоскости) называется длина перпендикуляра к данным прямым, концы которого лежат на этих прямых соответственно.

Пусть относительно ПДСК даны две скрещивающиеся прямые своими каноническими уравнениями. l1: x-x0/a1=y-y0/b1=z-z0/c1, l2: x-x1/a2=y-y1/b2=z-z1/c2. a={a1, b1, c1}, b={a2, b2, c2} - направляющие векторы l1 и l2 соответственно, тогда расстояние d между l1 и l2 определяется по формуле d=|(M1M0×a)•b|/|a×b|.