Сечение конической поверхности. Гипербола. Геометрия. 11 класс.
презентация к уроку по геометрии (11 класс) на тему

Слайд 1

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ Для данного конуса рассмотрим коническую поверхность, образованную прямыми, проходящими через вершину конуса и точки окружности основания конуса. Сечения конической поверхности плоскостью можно рассматривать как центральную проекцию окружности основания конуса на эту плоскость. Поэтому, если плоскость параллельна плоскости основания и не проходит через вершину конуса, то в сечении конической поверхности получается окружность.

Слайд 2

Теорема 3 Если плоскость образует с осью конуса угол, меньший угла между образующей и этой осью, то в сечении конической поверхности получается гипербола.

Слайд 3

Доказательство Впишем в коническую поверхность сферы, касающиеся плоскости сечения в некоторых точках F 1 и F 2 и конической поверхности по окружностям C 1 и C 2 соответственно. Пусть А - точка сечения, расположенная в той же части конической поверхности, что и точка F 1 . Проведем образующую AS и обозначим через А 1 , А 2 точки ее пересечения с окружностями C 1 , C 2 соответственно. Воспользуемся тем, что отрезки касательных, проведенных к сфере из одной точки, равны. Тогда AF 1 = AA 1 , AF 2 = AA 2 . Поэтому AF 2 - AF 1 = AA 2 - AA 1 = A 1 A 2 . Но длина отрезка А 1 А 2 не зависит от выбора точки А сечения. Она равна сумме образующих соответствующих конусов. Следовательно, разность AF 2 - AF 1 расстояний от точки А до точек F 1 , F 2 будет постоянной. Таким образом, сечением конической поверхности в этом случае является гипербола.

Слайд 4

Построение сечения конуса (гиперболы) Построим сечение конуса, параллельное его оси SO . Проведем хорду C 1 D 1 , параллельную CD . Через точку O 1 ее пересечения с диаметром AB проведем прямую, параллельную SO и ее точку пересечения с SB обозначим B’ 1 . Она будет принадлежать искомому сечению. Аналогичным образом построим несколько других точек. Соединяя их плавной кривой, получим искомое сечение. В эллипсе, изображающем основание конуса, проведем сопряженные диаметры AB и CD . Через какую-нибудь точку O 2 хорды C 1 D 1 проведем прямую OO 2 и ее точку пересечения с эллипсом обозначим B 2 . Через точку O 2 проведем прямую, параллельную SO и ее точку пересечения с SB 2 обозначим B’ 2 . Она будет принадлежать искомому сечению.