Тренажер геометрия 11 по теме: "Пирамида в задачах ЕГЭ"
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (11 класс) на тему

Пирамида 

1. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 2; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка OS.

6. В правильной четырехугольной пирамиде  точка  – центр основания,  – вершина, , . Найдите боковое ребро .

7. В правильной четырехугольной пирамиде  точка  – центр основания,  – вершина,   Найдите длину отрезка .

8. В правильной четырехугольной пирамиде  точка  – центр основания,  – вершина, , . Найдите боковое ребро .

9. В правильной четырехугольной пирамиде  точка  — центр основания,  — вершина, , . Найдите длину отрезка .

11. В правильной треугольной пирамиде SABC точка M – середина ребра AB, S – вершина. Известно, что BC = 3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезка SM.

12. В правильной треугольной пирамиде SABC точка L — середина ребра AC, S — вершина. Известно, что BC = 6, а SL = 5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

13. В правильной треугольной пирамиде SABC точка K – середина ребра BC, S – вершина. Известно, что SK = 4, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 54. Найдите длину ребра AC.

16. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

17. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

18. Объем параллелепипеда  равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды .

19. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

20. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

21. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна .

22. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен .

23.  Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?

24. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.

25. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.

26. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.

27. Объем треугольной пирамиды , являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды , равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

29. От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

30. Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

31.  Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

32.  Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.

33. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?

34. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 и высота равна 4.

35. Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2 раза?

36. Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

37. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а основание – прямоугольник со сторонами 3 и 4.

38. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

39. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем пирамиды.

40. Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро.

41. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен 45. Найдите объем пирамиды.

42. Объем параллелепипеда  равен 12. Найдите объем треугольной пирамиды .

43. Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

44. Найдите объем параллелепипеда , если объем треугольной пирамиды  равен 3.

45.

Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.

46. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S вершина, SO = 4, AC = 6. Найдите боковое ребро SC.

47. В правильной четырехугольной пирамиде  точка  — центр основания,  вершина, , . Найдите длину отрезка .

48. В правильной четырехугольной пирамиде  точка  — центр основания,  вершина, , . Найдите длину отрезка .

49. В правильной треугольной пирамиде SABC точка R — середина ребра BC, S — вершина. Известно, что AB = 1, а SR = 2. Найдите площадь боковой поверхности.

50. В правильной треугольной пирамиде SABC точка N — середина ребра BC, S — вершина. Известно, что AB = 1, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка SN.

51. В правильной треугольной пирамиде SABC точка L — середина ребра BC, S — вершина. Известно, что SL = 2, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка AB.

52. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 3, объем пирамиды равен 1. Найдите длину отрезка MS.

53. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 3, MS = 1. Найдите объем пирамиды.

54. В правильной треугольной пирамиде  медианы основания пересекаются в точке . Объем пирамиды равен , . Найдите площадь треугольника .

55. В правильной четырёхугольной пирамиде  с основанием  боковое ребро  равно 5, сторона основания равна . Найдите объём пирамиды.

56. В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.

57. Диагональ  основания правильной четырёхугольной пирамиды  равна . Высота пирамиды  равна . Найдите длину бокового ребра .

58.

В правильной четырехугольной пирамиде  точка  − центр основания,  − вершина, ,  Найдите длину отрезка

59.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD высота SO равна 13, диагональ основания BD равна 8. Точки К и М- середины рёбер CD и ВС соответственно. Найдите тангенс угла между плоскостью SMK и плоскостью основания ABC.

60. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD высота SO равна 13, диагональ основания BD равна 8. Точки К и М — середины ребер CD и ВС соответственно. Найдите тангенс угла между плоскостью SMK и плоскостью основания AВС.

62. Даны две правильные четырёхугольные пирамиды. Объём первой пирамиды равен 16. У второй пирамиды высота в 2 раза больше, а сторона основания в 1,5 раза больше, чем у первой. Найдите объём второй пирамиды.

63. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 22, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен  Найти сторону основания пирамиды.

64. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 5, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен  Найти ст

Ключ

№ п/п

№ задания

Ответ

1

901

9

2

902

2

3

903

7,5

4

904

6

5

905

4,5

6

911

17

7

912

5

8

913

17

9

914

16

10

915

15

11

920

10

12

921

45

13

922

9

14

923

45

15

924

4

16

27069

340

17

27070

360

18

27074

1,5

19

27085

8

20

27086

4

21

27087

0,25

22

27088

3

23

27089

4

24

27109

256

25

27110

48

26

27111

4,5

27

27113

6

28

27114

3

29

27115

3

30

27116

10

31

27131

4

32

27155

96

33

27157

9

34

27171

60

35

27172

4

36

27175

0,25

37

27176

24

38

27178

13

39

27179

12

40

27180

7

41

27181

48

42

27182

2

43

27184

2

44

77154

18

45

245353

27

46

284348

5

47

284349

4

48

284350

6

49

284351

3

50

284352

2

51

284353

1

52

284354

1

53

284355

1

54

284356

3

55

318146

24

56

324450

0,25

57

500249

5

58

59

6,5

60

61

12

62

72

63

11

64

8